逻辑学概论：自然语言的谓词表达式

第二节　自然语言的谓词表达式

一、性质命题的谓词表达式

在词项逻辑中，我们把所有的性质命题分为A、E、I、O四种（单称肯定命题被看做A命题，单称否定命题被看做E命题来处理）。在谓词逻辑中，我们把所有的性质命题可以写成谓词表达式。

（一）全称命题

全称命题分为全称肯定命题和全称否定命题。全称肯定命题是断定一类事物都具有某种性质；全称否定命题是断定一类事物都不具有某种性质。例如:

（1）所有的事物都是运动的。

（2）所有的犯罪行为都是违法行为。

（3）所有的科学都不违反自然规律。

（4）所有的行星都不是自身发光的天体。

一般来说，全称命题转化为谓词表达式需要经过以下几个步骤:

首先，用谓词符号表示命题中的性质；

其次，将主项和谓项用蕴涵符号连接；

最后，用全称量词限定个体变项，写出整个表达式。

在例（1）中，令Sx表示“x是事物”；Yx表示“x是运动的”。则该命题可以表示为:

A x（Sx→Yx）

即为，对于所有的x，如果x是事物，那么x是运动的。

在例（2）中，令Fx表示“x是犯罪行为”；Wx表示“x是违法行为”。则该命题可以表示为:

A x（Fx→Wx）

即为，对于所有的x，如果x是犯罪行为，那么x是违法行为。

在例（3）中，令Kx表示“x是科学”；Zx表示“x违反自然规律”。则该命题可以表示为:

A x（Kx→～Zx）

即为，对于所有的x，如果x是科学，那么x不违反自然规律。

在例（4）中，令Hx表示“x是行星”；Tx表示“x是自身发光的天体”。则该命题可以表示为:

A x（Hx→～Tx）

即为，对于所有的x，如果x是行星，那么x不是自身发光的天体。

（二）特称命题

特称命题分为特称肯定命题和特称否定命题。特称肯定命题是断定部分对象具有某些性质；特称否定命题是断定部分对象不具有某种性质。例如:

（5）有些天鹅是黑色的。

（6）有些工人是人大代表。

（7）有些新闻报道不是真实的。

（8）有些细菌不是病毒。

一般来说，特称命题转化为谓词表达式需要经过以下三个步骤:

首先，用谓词符号表示命题中的性质；

其次，将主项和谓项用合取符号连接；

最后，用特称量词限定个体变项，写出整个表达式。例如:

在例（5）中，令Tx表示“x是天鹅”，Hx表示x是黑色的。则该命题可以表示为:

E x（Tx∧Hx）

即为，存在x，x是天鹅并且x是黑色的。

在例（6）中，令Gx表示“x是工人”，Dx表示x是人大代表。则该命题可以表示为:

E x（Gx∧Dx）

即为，存在x，x是工人并且x是人大代表。

在例（7）中，令Bx表示“x是新闻报道”，用Zx表示“x是真实的”。则该命题表示为:

E x（Bx∧～Zx）

即为，存在x，x是新闻报道，并且x不是真实的。

在例（8）中，令Jx表示“x是细菌”，用Bx表示“x是病毒”。则该命题表示为:

E x（Jx∧～Bx）

即为，存在x，x是细菌，并且x不是病毒。

注意:全称量词并不能断定对象是否存在，但是存在量词断定对象一定存在。例如:A x（Yx→Dx），其中Yx解释为“x是永动机”，Dx解释为“x是运动的”，整个命题解释为，“所有的x，如果x是永动机，那么x是运动的”，即所有的永动机都是运动的。但这个命题并不能断定永动机存在。而E x（Yx∧Dx），符号的解释同上，则整个公式解释为“存在x，x是永动机并且x是运动的，有些永动机是运动的”。在这里，特称命题意味着，永动机就一定存在。

在把全称命题转化为谓词表达式的过程中，不能把全称命题用合取符号来连接，也不能把特称命题用蕴涵符号来连接，否则就会改变命题原有的涵义。例如，在例（1）中，只能把“所有的事物都是运动的”表示为“A x（Sx→Yx）”（符号代表的涵义同上），而不能写为“A x（Sx∧Yx）”，意为“所有的x，x是事物，并且x是运动的”。在例（5）中，只能把“有些天鹅是黑色的”表示为“E x（Tx∧Hx）”，而不能把它表示为E x（Sx→Yx）。如果采取其他的表示方法，则与该命题的本意相违背。在汉语中，“所有”一词并没有断定事物“存在”，与“全称量词”相对应；而“有些”则有“存在”的涵义，正好与“存在量词”相对应。用合取符号连接，表示几种事情情况都存在；而蕴涵符号则仅仅表示为一种条件关系，并没有断定两种事物情况都存在。

（三）单称命题

单称命题分为单称肯定命题和单称否定命题。单称肯定命题是陈述某个确定的对象存在，单称否定命题是陈述某个确定的对象不存在。例如:

（9）商鞅是先秦法家的代表人物。

（10）钓鱼岛不是日本的固有领土。

在谓词逻辑中，单称命题既不表示为全称命题，也不表示为特称命题。一般来说，单称命题转化为谓词表达式需要经过以下两个步骤:

首先，将谓项用谓词符号表示；

其次，将主项用个体常项表示；

最后，区分肯定和否定，写出整个表达式。

在例（9）中，令Fx表示“x是先秦法家的代表人物”；a表示“商鞅”。则该命题可以表示为:

Fa

在例（10）中，令Rx表示“x是日本固有领土；a表示“钓鱼岛”。则该命题可以表示为:

～Ra

单称命题就相当于将命题形式Fx和～Fx进行带入，用个体常项代替个体变项。

在把自然语言转变为谓词表达式的时候，一定要注意:单独概念一般处理为个体常项，普遍概念一般处理为一元谓词。例如:动物，一般都用Dx表示“x是动物”。

二、复合命题的谓词表达式

把复合命题用谓词表达式进行表示，命题间的逻辑关系不会改变，但需要注意一些细节，不同的谓词表达式可能表达不同的意思。一般来说，将复合命题写为谓词表达式，有以下四个步骤:

首先，将原子命题中的主项和谓项用符号表示；

其次，将各个原子命题表示为谓词表达式；

再次，用主联接词连接各个支命题；

最后，调整量词，使表达式的涵义与复合命题的涵义一致。

这四步只是一个指导性的步骤，由于每个命题的特殊性，还需要具体问题具体分析。

（一）联言命题

联言命题是断定几种事物情况同时存在，各个命题间用合取符号连接。对于主语不是单独概念，而是普遍概念的联言命题，情况更为复杂一些。

（1）北京是中国的首都，并且石家庄是河北省的省会。

（2）有些数是有理数，并且有些数是无理数。

（3）牛都是食草动物，并且老虎是肉食动物。

在例（1）中，令Sx表示“x是中国的首都”；Hx表示“x是河北省的省会”；a表示“北京”；b表示“石家庄”。则该命题可以表示为:

Fa∧Hb

在例（2）中，令Sx表示“x是数”；Yx表示“x是有理数”；Wx表示“x是无理数”。则该命题可以表示为:

E x（Sx∧Yx）∧E x（Sx∧Wx）(https://www.daowen.com)

在例（3）中，令Nx表示“x是牛”；用Cx表示“x是食草动物”；用Lx表示“x是老虎”；用Rx表示“x是肉食动物”。则该命题可以表示为:

A x（Nx→Cx）∧A x（Lx→Rx）

在这里，该表达式也可以写为:A x（Nx→Cx）∧A y（Ly→Ry）。两个表达式并无本质区别。

（二）选言命题

选言命题是断定事物若干可能情况的判断，各个命题间用析取符号连接。选言命题又分为相容选言命题和不相容选言命题。两种选言命题表示方法类似，下面只以相容选言命题为例。例如:

（4）明天或者是晴天或者是阴天。

（5）所有的花或者是红色的，或者不是红色的。

在例（4）中，令Qx表示“x是晴天”；Yx表示“x是阴天”；a表示“明天”。则该命题可以表示为:

Qa∨Ya

在例（5）中，令（Hx表示x是花）；Rx表示“x是红色的”。则该命题可以表示为:

A x（Hx→Rx∨～Rx）

这个谓词表达式也可以写为A x（（Hx→Rx）∨（Hx→～Rx）），但是不能写为A x（Hx→Rx）∨A x（Hx→～Rx）。否则意为“所有的花都是红色的，或者所有的花都不是红色的”。

（三）假言命题

假言命题是断定事物情况之间条件关系的复合命题，分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题。三种假言命题表示方法类似，只以下面两个例子为例，其他情况与此类似。

（6）只有一个人年满十八周岁，他才有选举权。

（7）一个意见如果正确，那么它会得到支持。

在例（6）中，令Rx表示“x是人”；Nx表示“x年满十八周岁”；Qx表示“x有选举权”。则该命题可以表示为:

A x（Rx∧Nx←Qx）

在例（7）中，令Yx表示“x是意见”；Tx表示“x是正确的”；Sx表示“x会得到支持”。则该命题可以表示为:

A x（Yx∧Tx→Sx）

（四）负命题

负命题是否定某个命题之后形成的命题。

（8）并非所有的植物都在潮湿地方生长。

（9）并非只有下雪，天才冷。

在例（8）中，令Fx表示“x是植物”；Cx表示“x在潮湿地方生长”。则该命题可以表示为:

～A x（Fx→Cx）

在例（9）中，令Tx表示“x是天气”；Sx表示“x下雪”；Cx表示“x是冷的”。则该命题可以表示为:

～A x（Tx∧Sx←Tx∧Cx）

三、自然语言的形式化

一般来说，将自然语言翻译成谓词公式主要有以下几个步骤:

（1）确定个体域，如无特别说明，一般使用全总个体域；

（2）根据个体域，分析命题中的个体、个体性质以及各个个体间的关系，确定谓词；

（3）根据表示数量的词确定量词；

（4）利用联结词将整个命题符号化。

接下来，我们看几个更为普通的句子，熟悉一下日常语言形式化的思路。自然语言形式化需要注意三点:

（1）仔细分析，了解原命题的含义；

（2）尽量使所采用的符号清楚；

（3）必须使所有的个体变项都在量词的辖域中，受量词约束。

例如:

（10）教室里有同学在讲话。

（11）在我们班中，并非所有同学都能取得优秀成绩。

（12）没有最大的自然数。

（13）今天有雨雪，有些人会跌跤。

（14）没有不散的筵席。

（15）尽管有人自私，但未必人都自私。

（16）每个自然数都有比它大的自然数，但是没有最大的自然数。

解:

在例（10）中，令S（x）表示“x是同学”；R（x）表示“x在教室里”；T（x）表示“x在讲话”。则命题可符号化为:E x（S（x）∧R（x）∧T（x））。

在例（11）中，令S（x）表示“x是同学”；C（x）表示“x在我们班中”；E（x）表示“x能取得优秀成绩”。则命题可符号化为:

～A x（（S（x）∧C（x））→E（x））

或者，此命题也可以理解为“在我们班中存在不能取得优秀成绩的同学”，则该命题也可符号化为:

E x（S（x）∧C（x）∧～E（x））

在例（12）中，命题中“没有最大的”显然是对所有的自然数而言，所以可理解为“对任意的自然数x，存在着比x更大的自然数”。令N（x）表示“x是自然数”；G（x，y）表示“x大于y”。则命题可符号化为:

A x（N（x）→E y（N（y）∧G（y，x）））。

在例（13）中，令R表示“今天下雨”；S表示“今天下雪”；M（x）表示“x是人”；F（x）表示“x会跌跤”。则命题可符号化为:

（R∧S）→E x（M（x）∧F（x））。

在例（14）中，令Yx表示“x是筵席”；Sx表示“x是要散的”。则该命题可以表示为:

～E x（Yx∧～Sx）

意为:不存在x，x是筵席，并且x是不散的。

在例（15）中，令Sx表示“x是自私的”；Px表示“x是人”。则该命题可以表示为:

E x（Px∧Sx）∧～A x（Px→Sx）

意为:存在x，x是人并且是自私的；并且并非任一x，如果x是人，那么他就自私。

在例（16）中，令Zx表示“x是自然数”；Gxy表示“x大于y”。则该命题可以表示为:

A x（Zx→E y（Zy∧Gxy））∧～E x（Zx∧A y（Zy→Gxy）

一个完整的推理形式，也可以使用量化表达式进行符号化处理。

（17）所有的自然数或者是奇数或者是偶数，有的自然数不是奇数；因此，有的自然数是偶数。

令Nx表示“x是自然数”；Ex表示“x是偶数”；Ox表示“x是奇数”。则该推理可以表示为:

A x（Nx→Ex∨Ox）

E x（Nx∧～Ox）

E x（Nx∧Ex）

（18）所有既勤奋又聪明的人都能获得了不起的成就，小李是自学青年，他既勤奋又聪明，所以，有些自学青年能获得了不起的成就。

令Qx表示“x是勤奋的人”；Cx表示“x是聪明的人”；Lx表示“x能获得了不起的成就”；Zx表示“x是自学青年”；a表示“小李”。则该推理可以表示为:

A x（Qx∧Cx→Lx）

Za

Qa∧Ca

E x（Zx∧Lx）

使用谓词表达式可以把推理表达出来，但是，我们面临的下一个问题就是，如何才能判定一个谓词推理是否有效呢？在下一节，我们将介绍一种判定方法，使用这种方法可以判定一个谓词推理是否有效。