第四节　二元关系的若干性质

一、关系的性质:属性的属性

对象的性质以及对象之间的关系，统称对象的属性。对象的属性作为一种对象，自身自然也就具有属性。这就是属性的属性。

例如，“同案犯”是一种关系。但是这种关系总是相对于一定对象而言的，换一组对象的话，这种关系可能就不存在。因此，“同案犯”这种关系具有相对性。“相对性”就是对“同案犯”这个关系的性质，即属性的属性。

本节将对二元关系的一些基本的性质，如自返性、对称性、传递性进行探讨。

二、二元关系的若干性质

（一）自返性

就自返性而言，二元关系分为三类:自返的、反自返的和不自返的。

1.自返关系

设R为二元关系。如果A x Rxx（即对任一对象而言，该对象与自身具有关系R），则称R为自返关系。例如，“相等”、“全同”关系就是自返关系。

2.反自返性

设R为二元关系。如果A x～Rxx（即对任一对象而言，该对象不与自身具有关系R），则称R为反自返关系。例如，“属种”关系就是反自返关系。

3.非自返性

设R为二元关系。如果E x Rxx∧E x～Rxx（即存在某些对象，该对象与自身具有关系R，并且存在某些对象，该对象与自身不具有关系R），则称R为非自返关系。例如:“相信”关系就是非自返关系。

（二）对称性

就对称性而言，二元关系分为三类:对称的、反对称的和非对称的。

1.对称关系

设R为二元关系，如果A x A y（Rxy→Ryx）（即对任意对象x和y而言，如果x和y有关系R，则y和x也有关系R），则称R为对称关系。例如，“同学”关系就是一种对称关系。

2.反对称关系

设R为R关系。如果A x A y（Rxy→～Ryx）（即对任意对象x和y而言，如果x与y有关系R，则y与x没有关系R），则称R为反对称关系。例如，“大于”关系就是反对称关系。

3.非对称关系

设R为R关系。对任意对象x和y而言，如果x与y有关系R，则y与x可能具有关系R，也可能不具有关系R，则称R为非对称关系。例如，“相信”关系就是非对称关系。

◎案例

唐代著名文学家王勃少年时就才华出众。在他的名篇《腾王阁序》中有:“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”一句。

请问:“齐飞”与“一色”为哪种对称关系？

（三）传递性

就对称性而言，二元关系分为三类:对称的、反对称的和非对称的。

1.对称关系

设R为二元关系，如果A x A y A z（Rxy∧Ryz→Rxz）（即对任意对象x、y、z而言，如果x与y有关系R，y与z也有关系R，那么x与z有关系R），则称R为传递关系。例如，“重于”关系就是一种传递关系。

2.反传递关系

设R为二元关系，如果A x A y A z（Rxy∧Ryz→～Rxz）（即对任意对象x、y、z而言，如果x与y有关系R，y与z也有关系R，那么x与z没有关系R），则称R为反传递关系。例如，“种属”关系就是一种反传递关系。

3.非传递关系

设R为二元关系，对任意对象x、y、z而言，如果x与y有关系R，y与z也有关系R，那么x与z可能具有关系R，也可能不具有关系R，则称R为非传递关系。例如，“同学”关系就是一种非传递关系。

◎案例　聪明的老人

相传古时候有一位非常聪明的老人，他有很多朋友。有一天，一个打猎的朋友给他送来了一只兔子。老人非常高兴，杀了兔子做成菜请打猎的朋友吃。过了几天，有五六个人老找老人。他们对他行了一个礼，说:“老人家，我们是送您兔子的那位朋友的朋友，今天想在您这里住一夜，请多关照！”“原来是打猎的朋友的朋友，好，请住下吧！”老人家热情地说，并拿出兔子汤来招待他们。又过了几天，又来了八九个人，很客气地对老人说:“老人家，我们是送你兔子的那位朋友的朋友的朋友，麻烦您让我们在这里住一夜，请多关照！”“原来是打猎的朋友的朋友的朋友啊，那就住下吧！我去给你们弄些吃的。”老人也客气地说。“不好意思，打扰您了！随便弄些什么东西吃吃就行了。”老人家给他们端来一碗泥水，说:“亲爱的送我兔子朋友的朋友的朋友，请用吧！”“您老怎么用泥水招待我们？”客人很生气。“这就是我那位朋友送来的兔子的汤的汤，现在请送我兔子的朋友的朋友的朋友吃，不是很恰当吗？”老人笑着说。客人们无言以对，一个个悄悄离去了。

结合本节内容，请问，为什么说老人很聪明？

练　习　题

1.将下面的自然语句翻译成谓词表达式

（1）所有的劳动财富都是劳动者创造的。

（2）自然科学不是上层建筑。

（3）有些电子产品是中国制造的。

（4）有些动物不用肺呼吸。

（5）鱼和熊掌不可兼得。

（6）张三或者是艺术家，或者是诗人。

（7）只要天下雨，地就湿。

（8）并非一个地方越有钱，它的环境一定好。

（9）只有主观上故意，才能构成纵火罪。

（10）张局长不认识李局长的上司。

（11）小张不是工人。

（12）他是田径或球类运动员。

（13）小莉是非常聪明和美丽的。

（14）若m是奇数，则2m不是奇数。

（15）直线A与直线B平行当且仅当直线A与直线B不相交。

（16）王教练既不老但也不健壮。

（17）如果5大于4，则4大于6。

2.请给下面的符号表达式一个解释，使得该解释下命题为真。给出一个解释，使得在该解释下命题为假。

（1）A x（Fx→Yx）

（2）E x（Qx∧～Wx）

（3）A x（Fx∧Cx→Ex∧Bx）

（4）～A x（Bx→Yx）

（5）A x（Px→E y（Cy∧～Dxy）

（6）A x（Fx→Cx∨Sx）

（7）E x E yGxy

（8）A x A y Txy

（9）A x（Qx∧Cx→Lx）(www.daowen.com)

（10）A x（Px∧～Rxx）

3.将下列各式翻译成自然语言，然后在不同的个体域中确定各命题的真值。

（1）E x A y（xy＝1）；

（2）A x E y（xy＝1）；

（3）A x E y（xy＝0）；

（4）E x A y（xy＝0）；

（5）A x E y（xy＝x）；

（6）E x A y（xy＝x）；

（7）A x A y E z（x－y＝z）。

个体域分别为:a）实数集；b）整数集；c）正整数集；d）除0外的实数集。

4.指出下列推导中存在的错误，并给予改正。

（1）任何整数都有整数比它小，因此，存在整数比任何整数小。论域限制为整数。推理过程为:

①A x E y（x＞y）前提

②A x（x＞t）①E－

③E y A x（x＞y）②E＋

（2）所有的人都和自己一般高，因此有人和每一个人一般高。

论域限制为“人”。Gxy表示“x和y一般高”。推理形式为:

①A x Gxx前提

②Gax①A－

③A x Gax②A＋

④E y A x Gax③E＋

5.指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题:

（1）A x（P（x）∨Q（x））∧R（R为命题常元）

（2）A x（P（x）∧Q（x））∧E xS（x）→T（x）

（3）A x（P（x）→E y（B（x，y）∧Q（y））∨T（y））

（4）P（x）→（A y E x（P（x）∧B（x，y））→P（x））

6.请用量化自然推理证明下面推理的有效性。

（1）所有数学家都很聪明，华罗庚是数学家，所以，华罗庚很聪明。

（2）只有不守旧的人是善于创新的人，有些善于创新的人不是年轻人，所以，有些不守旧的人不是年轻人。

（3）所有的历史学家都是学者，有的历史学家精通宋代史，所有精通宋代史的历史学家都是学识渊博的，所以，有的历史学家是学识渊博的人。

（4）所有的绿色食品都是健康食物，因此，有的健康食物是绿色食品。

（5）所有的老虎都不是食草动物，因此，所有的食草动物都不是老虎。

（6）没有一个大量吸烟的人是健康的，有些大量吸烟的人营养很好，所以，有些营养很好的人不健康。

（7）药物既危险又有用，有些药物是甜的，所以，有些甜的东西是危险的。

（8）有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

（9）不存在能表示分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。

（10）所有牛都有角，有些动物是牛，所以，有些动物有角。

（11）鸟会飞，猴子不会飞；所以猴子不是鸟。

（12）如果一个人长期吸烟或酗酒，那么他身体绝不会健康；如果一个人身体不健康，那么他就不能参加体育比赛。有人参加了体育比赛，所以有人不长期酗酒。

（13）每个科学工作者都是勤奋的，每个既勤奋又聪明的人在他的事业中都将获得成功，王大志是科学工作者并且是聪明的，所以王大志在他的事业中将获得成功。

7.证明下列推理是有效的。

前提:每个非文科的一年级生都有辅导员。

小王是一年级生。

小王是理科生。

凡小王的辅导员都是理科生。

所有的理科生都不是文科生。

结论:至少有一个不是文科生的辅导员。

8.指出下列关系的性质

（1）反对

（2）合伙

（3）信任

（4）重于

（5）是直系亲属

（6）朋友

（7）种属

（8）保护

（9）密不可分

（10）欺骗

9.下列命题中划横线的关系是哪种关系？（1）A概念与B概念交叉。（2）

甲命题与乙命题等值。（3）

陶渊明早于李白。（4）

科学技术与生产相互促进。（5）

老师批评了小李。