沾泥巴的孩子

一个教室中有10个孩子，其中7个孩子的额头上沾了泥巴。每个孩子都能看到别的孩子额头上是否有泥巴，但无法看到自己的。这时，老师走进教室，他说：“你们之中至少有一人额头上有泥巴。”然后，他问：“谁知道自己额头上有泥巴？知道的请举手。”他如是连续问了6遍，无人举手，当问到第七遍的时候，所有额头上有泥巴的孩子都举起了手。

假设所有的孩子都有最佳的逻辑分析能力，那么，他们是如何思考并得出结论的？特别有意思的是，事实上，在老师走进教室之前，每个孩子都已经知道他们之中至少有一个人额头上有泥巴，因此，老师所说的那句话对孩子们提供的信息量似乎等于零，但显然，没有老师这句话，没有一个孩子能得出结论。为什么？

答 案

如果只有一个孩子额头上有泥巴，则当老师第一遍提问时，他立即就会举手，因为他没有发现任何一个孩子额头上有泥巴，同时他又知道至少有一个孩子额头上有泥巴，因此立即推断出自己额头上有泥巴。

如果有两个孩子额头上有泥巴，则他们都只看到一个孩子头上有泥巴。当老师第一遍提问时，他们都无法确定是否自己额头上有泥巴，但是当第一遍提问结束没有人举手时，他们立即明白自己额头上有泥巴，因为，如果自己额头上没有泥巴，他们所看到的那个额头上有泥巴的孩子在第一遍提问时就会举手，理由如上所述。因此，当老师第二遍提问时，这两个额头上有泥巴的孩子会同时举手。

如果有3个孩子额头上有泥巴，则他们都只看到两个孩子的额头上有泥巴。当老师第一遍和第二遍提问时，他们都无法确定是否自己的额头上有泥巴，但是当第二遍提问结束没有人举手时，他们立即明白自己的额头上有泥巴，因为如果自己的额头上没有泥巴，他们所看到的那两个额头上有泥巴的孩子在第二遍提问时就会举手，理由如上所述。因此，当老师第三遍提问时，这三个额头上有泥巴的孩子会同时举手。

由此我们可得出一般性的结论：如果有n个孩子的额头上有泥巴，则当老师n遍提问后，所有额头上有泥巴的孩子会同时举手。

老师所说的至少有一个孩子的额头上有泥巴是个不可缺少的条件。当有两个孩子的额头上有泥巴时，确实所有的孩子都已经知道至少有一个孩子的额头上有泥巴。但是，如果两个额头上有泥巴的孩子光知道至少一个孩子的额头上有泥巴，而不知道对方也知道至少有一个孩子额头上有泥巴，他们是不能在两遍提问后举手的。

老师说的话，使所有孩子都知道至少有1个孩子的额头上有泥巴。这是本题的一个关键性条件。