第二节　理论模型

第二节　理论模型

一、囤地现状分析

尽管1994年7月公布的《城市房地产管理法》明确规定，以出让方式取得土地使用权进行房地产开发的，超过出让合同约定动工开发期满一年未动工开发的，可以征收相当于土地使用权出让金20%以下的土地闲置费；满两年未动工开发的，可以无偿收回土地使用权。1999年4月国土资源部颁布的《闲置土地处置办法》、2005年3月底国务院出台的“国八条”，都重申了这些规定，但是由于地方政府与房地产开发商之间有着千丝万缕的联系，这些政策很多并没有得到真正执行，土地闲置并由此导致的土地囤积现象在全国各地依然十分严重。

根据2007年12月4日北京师范大学金融研究中心对外发布的《中国房地产土地囤积及资金沉淀评估报告》，到2007年底房地产开发商囤地约10亿平方米。报告主要编写人钟伟教授更是表示“开发商目前的囤地规模大约可支持开发商静态开发4年或者动态开发3年，即可支撑一个完整的开发周期”。报告同时显示在2002—2006年，山东省、江苏省、浙江省和四川省是土地囤积最多的省份，分别占近五年全国土地囤积总量的8.9%、8.8%、7.7%和7.7%。他们最后的结论是：地价对房价的占比不是推动房价的决定性因素，供地方式和规模的改变，导致的房地产市场严重的供求失衡，才是推动房价飙升的关键。

按照钟伟等人的分析，令闲置土地面积＝购置土地面积－完成开发土地面积，从图6.1可知12年来累计土地闲置规模为13.7亿平方米，并有如下三方面特点：①以近6年来土地闲置情况最为突出，2005—2010年，总的土地闲置量超过了7亿平方米；②以单个年份的情况来看，2004年情况最为突出，仅当年的土地闲置总量就超过了2亿平方米；③从增长率看，购置土地面积（除2008年）增长率在15%—30%，开发土地面积增长率则呈逐年下降的趋势，其中，2005年、2006年、2008年开发土地面积增长率呈负值，有限的土地供应甚至也未能充分形成有效的商品房供应。

之所以有大量土地闲置，除了事先囤积一大堆土地作为土地储备以防备地价上涨，更多的是由于在很多开发商眼里，建房子的不如倒地的更赚钱。下面图6.2给出了房地产开发企业土地转让收入的变化情况，2012年全国房地产企业累计土地转让费高达3 891亿元，除了2005年和2006年出现小幅下降，在其他年份平均都保持了10%以上的增长率，2010年当年更是突破500亿元大关。分地区来看，东部地区的走势跟全国差不多，只是在2007年以后土地转让收入小幅下降。中部和西部地区在2007年以前土地转让收入基本持平，在2008年以后西部地区的土地转让收入有了一个非常大的增速，从而超过了中部地区的水平。

二、假设条件

假设某一地区房地产市场上存在着A、B两家房地产企业^[2]，每一个时期的市场需求函数pi＝［a－b（QAi＋QBi）＝a－b（qAiδAi＋qBiδBi）］（i＝1，2，a足够大）。其中QAi和QBi分别代表企业A和B在时期i销售的房屋面积，qAi和qBi分别代表两个企业建造房屋所使用的土地面积，δAi和δBi是政府为其各自规定的容积率。在这里房屋生产函数设为Qj＝δjqj，（j＝A，B）。除了将以往通常使用的CD生产函数线性化以便于求解，另外一个最大的好处就是能够充分体现房屋的异质性，因为政府经常为不同的楼盘制定不同的容积率，使δAi和δBi不经常相等。如果δAi＝δBi＝δi，则需求函数变为pi＝ab′（qAi＋qBi）（b′＝bδi），这就是标准的同质商品需求函数^[3]。而房屋建筑面积＝使用土地面积＊容积率是房地产中普遍存在的关系式，因此采用Qj＝δjqj这个生产函数就有了它的理论和现实意义。为了简化分析，这里只考虑两期，预期地价将来会上涨，因此CA1＜CA2，CB1＜CB2。同时为了更好地分析地价上涨而导致的房地产企业囤积土地行为对房价造成的影响，本书将建筑安装费用、财务成本等其他成本忽略不计^[4]。

在第一期企业A一次性从政府手中购买数量为L的土地，这部分土地可视为土地囤积，第一期只选择用其中的qA1进行生产，剩下的L－qA1部分在当期就成为闲置土地。而企业B只在第一期购买实际需要的土地qB1，并全部用来生产房屋而没有土地囤积^[5]。前期的土地不会一直闲置，理性的开发商会看准时机选择第二期将其出手，其中企业A把α（L－qA1）的土地用于生产，而将（1－α）（L－qA1）的土地按照第二期的市场价c2卖给企业B。这样企业B在第二期除了从政府手中购买qB2的土地以外，还从竞争对手企业A那里购买土地（1－α）（L－qA1）^[6]。这时候企业A一方面从卖地中通过赚取土地差价而获利，另一方面由于增加了土地供应导致房屋建筑面积增加，这样会对房价造成不利影响。理性的开发商这个时候会选择一个最优的比例α对这两方面影响进行权衡取舍，以最大化自身利润。为了简化分析，假设在同一时期两个企业的地价成本是一样的，第二期的地价比第一期高，即CA1＝CB1＝C1，CA2＝CB2＝C2，C1＜C2。同一企业不同时期容积率是一样的，企业A的容积率比企业B高，即δA1＝δA2＝δA，δB1＝δB2＝δB，δA＞δB。事实上本书曾考虑了如下更一般的情形：CA1＜CA2，CB1＜CB2，CA1≠CB1，CA2≠CB2；δA1≠δA2，δB1≠δB2，因此，本书的目标函数十分复杂，如果包括这么多的参数将无法求解，因此必须对相关参数做出简化。之所以作出上述假设，主要基于以下几个原因：根据第五章国土资源部对外正式公布的全国30个省（区、市）105个城市620个楼盘调查数据，以其中样本最多的重庆市为例，重庆市2006年出让土地的24个楼盘和2007年出让的22个楼盘的容积率均值分别为3.77和3.91，两年之间只相差0.14。楼面地价的标准差分别为264元／平方米和574元／平方米，远远小于1 206元／平方米和1 462元／平方米的房价标准差。现实生活中，资本实力雄厚的大型房地产公司往往与政府之间更容易建立良好的合作关系，而在税收、土地方面的政策优惠，获得一个比中小企业更大的容积率也在情理之中了。虽然放松了一系列假设条件，但是本书坚持了房地产市场中两个最重要的假设：即由于土地供给刚性造成的地价上涨趋势（C1＜C2）和房屋的异质性（δA≠δB）。

三、模型建立及求解

假设两个企业在每期都进行的是cournot竞争，企业A在第一期和第二期分别通过选择qA1和α以最大化两期的总利润，企业B在第一期和第二期分别通过选择qB1和qB2以最大化两期的总利润。不考虑时间贴现，因此两个企业的利润函数分别为：

对上述两式分别求一阶条件，则有：

此时有两组解：

第一组解由于qA1＝L，企业A在第一期就用完所有土地，不符合我们要求舍去。

上面是每个企业各期所使用的土地数量，将上面这些式子代入房屋生产函数，可以进一步算出每个企业在各期的房屋产量。

在第二组解中，由于qA1、qB1、qB2、QA1、QA2、QB1和QB2的分母都为正，而分子都与a正相关，之前我们假设a足够大，因此总可以保证它们都大于0。对于α也总可以通过限制a、b、L、c1、c2、δA和δB使它处在（0，1）这个区间。为了证实确实存在这么一个α能够使企业A获得最大利润，我们对πA求关于α的二阶导数，＝－2b（L－qA1）2（δA－δB）＜0，二阶条件满足。

根据上面两个企业的产量，算得两个时期的房屋销售价格分别为：

房价对地价的弹性：

两个企业的利润分别为：

四、理论命题及其解释

首先，分析本书最关注的房价对地价弹性的影响因素，对其进行比较静态分析则有：＝0，＜0，且很容易证明ξ＜1。

这说明土地囤积虽然不直接改变房价对地价的弹性，但是当土地市场存在囤积时，房价对地价的弹性却是与住房需求负相关的，而住房需求越大的地方往往也是经济越发达的地方，从而能够在一定程度上解释为什么最发达的东部大城市的房地产市场会有倒数第二低的地价弹性。也从理论上证明了房价对地价为什么是缺乏弹性的，地价变动只会引起房价一个更小的变化。

为什么会出现上面这个结果，本书进一步分析土地囤积对其他变量均衡结果的影响，对上面几个式子求关于L的偏导数，则有：

因此可以得到如下命题：

命题1：在房地产市场处于寡头垄断的条件下，以投机为主要目的的土地囤积，对住房市场的产量和价格都不会产生直接影响。因此土地囤积也不会影响房价对地价的弹性。随着大房地产企业囤积土地的增加，它会更多地把闲置土地用来倒卖而不是生产，囤积面积每增加一个单位，都会给自身带来两期地价之差的超额利润。

上述命题直观经济学含义是这样的：在寡头垄断市场，企业都是通过限制产量来维持高产品价格的。比较两个企业在不同时期的房屋产量后，不难发现QA2＞QA1＞QB1＞QB2。QA2＞QA1＞QB2这很好理解，因为企业A在第一、二两期都有相对于企业B在第一期的成本优势，理性的开发商总会选择在成本低的时候尽可能多生产。比较难理解的是为什么在成本同为c1的情况下，会有QA2＞QA1＞QB1成立。这主要是因为本书中企业的目标函数是最大化两期利润之和，由于第二期地价上涨造成成本上升，使企业B市场份额在第二期严重缩水，考虑到这个不利因素，在第一期企业B通过比企业A减少产量来提升当期市场价格^[7]，通过第一期的超额利润来弥补第二期的损失。同样也是因为企业B在第二期的产量急剧减少，给企业A留下了很大的市场空间，所以企业A这个时候会尽可能多生产以填补这个市场缺口。但是即便如此，企业A这时候也不会生产太多，它只会比自身第一期多生产，由于企业B第二期产量比第一期减少了，导致第二期的市场总产量仍然减少了。在市场需求前后没有发生变化的情况下，自然第二期的房价会高于第一期。由于QA2＞QA1＞QB1＞QB2，则有QA2－QB2＞QA1－QB1。由于土地囤积使企业A在两期都占有更多的市场份额，而且在第二期因为土地囤积带来的成本优势，企业A的市场势力在第二期得到进一步增强，这无形中加大了房地产行业的市场集中度^[8]，因此得到以下推论：

推论1：大型房地产企业在前期囤地的最直接后果就是拉开了与其他企业的成本差距，使其自身的市场份额得到提高，导致房地产行业市场集中度进一步上升。

大房地产企业囤积土地一方面固然是为了减轻地价上涨带来的成本压力，另外一个更重要的目的是从事土地投机。由于＝c2－c1＞0，每囤积一单位面积的土地都会给企业A带来两期地价之差的总利润增加。这样第一期多囤地，第二期多卖地，对企业A总是有利可图的。所以有＜0，第一期囤积的土地越多，在第二期会有更多的闲置土地用来倒卖。虽然企业A第一期闲置土地在第二期用于自身生产的比例α和企业B第二期从政府购买的土地数量qB2，都与企业A在第一期囤积土地数量L负相关，但是经过计算发现，囤积土地数L并不影响两个企业在第二期最终用于生产的土地，使两个企业在两个时期实际用于生产的土地都与囤积数量无关，这样生产出来的房屋产量也与囤积土地数量无关。同时土地囤积并没有明显改变整个行业的生产成本，因为第二期企业B不管是从政府购买土地还是从企业A购买土地，价格都是c2。而企业A虽然在第二期不用从市场上购买高价土地，但是如上所述，它会把更多土地拿来倒卖，所以这个时候企业A真正用来生产的实际成本并没有因为土地囤积而得到明显的降低。王松涛和刘洪玉（2009）将土地供应数量对住房价格的影响概括为“生产函数渠道”，其具体作用机理概括如下：

可见土地供应主要通过改变生产成本和房屋供应数量这两个渠道对房价产生影响。在本书的模型中已经证明，土地囤积不影响住房市场供应量，在住房需求不变的情况下，所以不会对房价产生直接影响，因而土地囤积数量也不会影响房价对地价的弹性。虽然土地囤积同房价上涨之间没有直接影响，但是它确实通过加深房地产市场的垄断程度，使房价进一步上升。

下面这个简单的示意图对土地囤积、市场结构和房价三者之间的关系进行小结：

通过这个模型还得到了其他几个有意思的结论，例如p1的表达式中包含有c2，这意味着理性的企业在制定当期房价的时候已经考虑到了未来地价上涨的预期，能够在定价中把并不构成当期成本的未来地价上涨预期也包括进来，这也是房地产企业垄断势力的一个突出表现。正如上面所述，虽然在房地产这个寡头垄断市场中，企业A和B可以通过行使土地囤积和限制产量等策略性行为而获利，但是这个市场并不是完全垄断，企业之间的竞争因素使开发商并不能把成本上涨的压力完全转嫁给消费者，这也是为什么（6.3）式中的房价对地价弹性处在（0，1）这个区间之内。

同样人口和收入等住房需求因素也会对均衡结果产生影响，对a求偏导则有：

只要a足够大，都会有、大于0，所以进一步得到下面命题：

命题2：随着影响住房需求因素的增长，土地需求、房屋数量、房价、房地产企业的利润都会上升，大型房地产企业也会把更多的闲置土地用来生产，倒卖土地的现象会有所减少，同时也降低了房价对地价的弹性。

这个命题的经济学意义也很明显，住房需求的增长自然会对房价、房地产企业利润产生明显拉动作用，这个时候房地产企业发现从事房地产开发会更有利，房屋市场的火爆同时也带动了作为引致需求的土地需求的增加。伴随着房地产行业的蓬勃发展，房价更多的是受人口、收入这些来自经济基本面的需求因素拉动，而不是由地价等成本推动（况伟大，2010），这样地价对房价的影响力自然会逐渐减少，所以在人口多、收入水平高的地区房价对地价的弹性就比较低。