6.4　非线性求解研究

求解非线性方程组一直是应用数学界和工程技术界的研究热点，国内外许多数学工作者给出了多种有效的求解方法，如Newton－Raphson迭代法、消元法和智能计算方法等。其中，Newton－Raphson迭代法局限性是：对初值比较敏感，每一次迭代都要计算Jacobi矩阵，计算量大；当Jacobi矩阵奇异或接近奇异时，计算将不能进行。

消元法主要是利用计算机的代数系统演绎推导出多项式方程组的零点集结构式，这个过程不但要求有较高的数学推导技巧，而且推导出的解析方程烦琐冗长。由于智能计算方法在解决优化问题中的优势，许多研究者将粒子群优化（PSO）算法应用于求解非线性方程组中。与传统的智能优化算法相比较，PSO算法具有更强的全局搜索能力，能较快地收敛于全局优化解。它不依赖于初始值和目标函数是否可导，可以求解一般的非线性方程组。

作为一种典型的群体智能优化算法，于1995年由从事社会心理学研究的博士Kennegy和从事电子工程学研究的博士Eberhart提出的粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法，一直沿用至今，该模型是受Bird模型启发并经过了长时间的深入研究所提出来的，设想一个这样的情景：一个鸟群在一个区域内随机地搜索食物，但是并不知道食物具体在哪里，同时也不清楚食物距离自身的远近，此时鸟群继续进行寻找的方式是按照领头鸟的飞行轨迹飞行。于是依据此种搜寻方式萌生出PSO算法，可以运用在处理问题寻优中。在算法中每个待优化问题的可能解通常被认为是在整个可能解空间中的一个粒子，所有的可能解的所取值的好坏都由一个适应度函数所决定的适应值来进行评价。每个粒子都具有一个随机的速度在整个空间内进行搜寻，与其他粒子之间以特有的形式进行信息交换，这样，相互之间获得的启发式的信息引导整个群体的运动［97］。粒子群优化算法的计算方法与遗传算法相似，区别在于粒子群优化算法是通过模仿一些群居动物的群体行为来进行搜索的，并没有像遗传算法中用到如同交叉和变异等进化的计算因子。自从粒子群优化算法的概念提出来以后，粒子群优化算法便受到了学术界的广泛而热切的关注，它的基本原理十分简单，其中需要控制和调节的参数很少粒子群优化算法并且容易实现，具有一定的并行性等特点［98］。