3.1.3 移动边界模型
137Cs进入土壤表层之后的再分配是一个复杂的综合作用过程，包括物理、化学和生物作用[181184]，影响137Cs再分配过程的因素包括土壤属性、地形和土地利用等[185-190]。137Cs再分配模型多数建立在没有侵蚀作用条件下，其中包括对流-分散模型[15，178，191，192]、分隔模型[193-195]和其他模型[196]。剖面分布模型和扩散模型都是基于137Cs再分配原理进行建模，扩散模型相对于剖面分布模型考虑更为全面。扩散模型主要包括传输模型[169]和简化传输模型[179]。传输模型建模虽然充分考虑了137Cs再分配的多个环节，但是模型结构复杂，参数较多，很难应用到实际研究中。简化传输模型结合前人研究成果，忽略扩散方程的对流项，极大地简化了计算过程，提高了模型的实用性，具有很重要的科学意义。
模拟侵蚀条件下137Cs扩散过程比较复杂，难点主要包括两点：①扩散的上边界（土壤表层）会随着侵蚀向下移动；②边界处在侵蚀作用下，137Cs向系统外部流失，影响系统内部的扩散。简化传输模型假设侵蚀只发生在每年年底较短的时间内，忽略侵蚀过程对侵蚀表层以下土壤137Cs扩散的影响，模型特别适用于年降雨量少，且降雨集中的地区，但是对于雨季较长，月降雨平均的地区该模型具有一定局限性。本书旨在简化模型基础之上，借助地球化学动力学移动边界问题的解决方法，完善该模型。
3.1.3.1 模型建立
模型采用张信宝教授的两点假设：①不考虑对流作用；②初始条件为瞬间面源，即在初始时刻（1963年）137Cs以总质量M以极高的浓度集中于x=0处，浓度视为无限大。未侵蚀剖面在固定于实验室的参考系中土壤剖面中137Cs扩散方程可以描述为
侵蚀剖面中的137Cs的扩散，可将土层视为半无限介质，如图3-2所示。
图3-2 侵蚀剖面的扩散移动边界
图3-2中，在t=0时刻，土壤与空气的界面为x=0处，表层经过时间t侵蚀作用移动到x 0处，即移动边界。假设移动速度（侵蚀速率）为u，本章假设移动速度为恒速。侵蚀过程中，边界向下移动。界面位置与时间的关系为
为了便于下文讨论边界处的物质迁移，需要对坐标系进行转换，即由实验室固定参照系转为界面固定的参照系。在新的参照系下，坐标用y表示，且两相（空气和土壤）界面固定于y=0处。具体的变换为
将式（3-27）和式（3-28）代入式（3-26），变换新参照系下的扩散方程为
式（3-30）与式（3-18）相似，但是它们有着完全不同的物理意义。式（3-18）中V代表对流项的达西流速，式（3-27）中u代表侵蚀速率，且两个方程的坐标系是不同的。改变坐标系后微分方程t=0时刻初始条件没有发生变化。
界面y=0的组分通量为
边界处137Cs吸附的黏土颗粒随雨水以泥沙形式带走，可看作与热传导一维杆在边界处与移动的流体（例如空气）接触时扩散的相同问题。这种情况第一类边界条件或者第二类边界条件都不合适，需要用到第三类边界条件（牛顿冷却定理），即在边界处，流出杆的热流近似地与杆和外部的温差成比例，同理，则在左端点（y=0）处，137Cs损失的组分量为
C B（t）表示外部空气中137Cs的浓度，在这里C B（t）=0。这里需要特别注意u＞0，且u前面的符号为负号，本文扩散为半无穷介质，不存在右边界，只有左边界。如果为有限介质内的扩散，右边界处u前面的符号要取正号。137Cs损失的组分量式（3-33）应当与扩散通量式（3-32）相等，即
3.1.3.2 模型解法
式（3-30）中λC为衰变引起的浓度变化，放射性组分的扩散方程需要先对方程两边同时乘以eλt，简化模型，消去衰变项，式（3-30）变换为
综合以上，土壤侵蚀剖面137Cs扩散模型如下：
为求解式（3-36）～式（3-38），需要先去掉式（3-36）中一阶项
，为此令
其中a，b为待定常数。
对将K代入，对y和t求导
将式（3-40）～式（3-42）代入式（3-36），消掉e ay+bt
由上面公式可知K（y，t）应满足方程：
K（y，t）应满足的定解条件为
由数理方程知
上式的求解公式为
由此可得式（3-48）～式（3-50）的解为
其中，
。
将式（3-54）和式（3-55）代入，利用式（3-39）将K（t，z）替换为ω（y，t），再根据ω=C eλt，得到的最终结果为
式（3-56）两边对x求积分，结果为
式中 A rm（T）——剖面剩余137Cs面积比活度；
A ref（T）——取样年份137Cs面积比活度背景值。
3.1.3.3 讨论
令侵蚀速率u=0，即在非侵蚀条件下137Cs剖面浓度变化，方程可以简化为
式（3-58）与简化扩散模型非侵蚀条件下解相同式（3-23）。若侵蚀速率u≠0，式（3-56）可以分为两部分：式（3-59）和式（3-60）。
C 1（x，t）可视为C（x，t）向上平移u×t个单位。
式（3-60）中令t和u保持不变，观察C 2（x，t）随深度增加的变化趋势，如图3-3所示，图中C 2（x，t）在表层取最大值，随深度增加以指数形式减小。
图3-3 137Cs浓度变化曲线
如果忽略边界位置137Cs通量变化对其本身扩散的影响，则C 1（x，t）则可以近似看做在侵蚀条件下137Cs浓度随时间和深度变化的分布函数，即非侵蚀分布函数式（3-58）向上平移u×t个单位。如果在雨量充沛的地区，侵蚀作用较长，必须考虑边界条件，C 2（x，t）可看做通量变化对表层以下137Cs浓度的影响因子，表层部分所受影响最大，浓度减少最大，随深度增加以指数形式减小。综上所述，C 1（x，t）-C 2（x，t）构成了在雨量充沛地区，侵蚀条件下137Cs扩散方程的完整解。
3.1.3.4 模型验证
式（3-56）和式（3-57）提供了两种获取侵蚀速率的方法。式（3-56）可通过不同深度137Cs浓度值进行曲线拟合直接获得侵蚀速率和扩散系数。图3-4为样点剖面137Cs浓度分布，样品于2013年采于贵州省遵义市新浦镇附近未干扰林地山顶。面积比活度为504Bq/m2，该区域的2013年的本底值为802Bq/m2，1963年的本底值为2497Bq/m2，137Cs衰变常数取0.0227，将图3-4数据和相关系数代入，使用MATLAB进行曲线拟合，如图3-5所示。获得扩散系数D=0.54，侵蚀速率为0.034，曲线拟合指标R 2为0.92。
图3-4 采样点137Cs浓度分布图
图3-5 模型曲线拟合结果
使用式（3-57）计算侵蚀速率需要先通过背景值剖面获取扩散系数D。为了对比与简化传输模型之间的差异，本章使用2004年开县数据[179]，扩散系数D取1.98cm2/a，得到在不同损失率下的侵蚀速率，表3-1列出了模拟结果对比。
表3-1 模拟结果对比
如前文所述，在年降雨充沛的地区，简化传输模型得到的侵蚀速率会大于实际值，本文移动边界侵蚀模型在相同137Cs损失率的条件下结果均小于前者，约为前者的60%，结果符合预期。