人类知识的革命

第八章　人类知识的革命

上述经济革命之所以有可能实现，只是因为苏美尔人、埃及人和印度人归纳整理了他们以往积累的丰富经验，并应用了科学知识。这场革命开创了交流经验的新方式，总结出梳理知识的新途径，还有更为精确的科学。对革命必不可少的科学一直是以口耳相传和榜样的方式传承。书写和计算及度量衡的标准化，在时间上与革命的发生同步。这种同步绝非偶然。实际上，是新经济的实际需求引发了革新。

在苏美尔，我们看到凡使经济模式改观所需要的资源都集中在庙宇里，由祭司们来管理。这些管理者并非孤立的个人，而是持续合作的团队。那些庙宇也不是孤立的单位。在历史时期初，我们发现苏美尔的许多城市的庙宇都崇拜同样的神祇。这些庙宇中崇拜的神祇并不，或至少不排斥地方性的神祇。它们是整个大陆的普通神祇，就像基督教堂里供奉的许多圣贤。很可能的是，庙宇中的祭司也未必效忠于一个城市，而也像中世纪的神职人员那样，是一种“天国”里的国际公民。虽不能确定，但非常可能的是，这种情况可以上溯至史前期。整个大陆上相同的神祇权威可能与整个苏美尔（最终遍及整个巴比伦）物质文化同一性的神权政治相对应。

如同我们已经看到的，一座苏美尔庙宇处置大批产业、羊群、牛群和岁赋。它依靠向其信徒租赁和放贷的手段来经营自己的财产，并使其增值。现在管理这批财产的祭司，须向他们的神主提供一份处理财产的账目，并保证其财产保值与增值。他们面临一个人类历史上前所未有的问题，此前从未有这样的巨额财富被集中控制。记录神祇的收入和支出，祭司不敢依赖自己的记忆。也没有什么个人的记忆工具——如在手帕上打个结能有所帮助。[1]作为个人，祭司的生命固然有限，但其所属的那个管理团队如同他们为之服务的那尊神一样——是不朽的。祭司可能在其主人的贷款尚未偿还之前亡故，但其追债的职责，将会由同事或继任者继续履行。上帝的主管必须记录有多少罐和何等质量的种子已经预支；有多少数量和什么品种的羊已托付给牧羊人。这类交易必须以这样的方式记录，即不仅某个祭司，而且整个祭司团队都能解释这些记录，并使上帝满意。一言以蔽之，书写作为社会公认的记录系统对于令人满意地保持庙宇的账目是必不可少的。

我们还记得，埃立克的第一座庙宇里曾经发现了一块账目板，它标志着由农村到城市的转变。那上面的符号证实，即使它不是文字记录系统，至少也是数字记录系统。较晚些时候（但不迟于公元前3000年），记录账目的泥板，不仅在埃立克，而且在杰姆代特奈斯尔及其他遗址都有发现。

在泥板上，祭司画了字以及数字。那些字大多是笔划简单的图形，比如一个陶罐、一个公牛头、两个三角形等等。因此，这种文字符号体系被称为象形文字。粗一看，你就可以猜出这些文字的含义。即便如此，它们已经有了某种程度的惯例。社会选择并规定了表达与概括一头公牛特点的几种方式。某些符号已经含有比简单图形所示更多的意思：一个陶罐意味着一罐东西，事实上成了一个计量单位。这种表达一个意思的符号被称为表意文字，在门类上被称为表意文字（我们的数学符号如“+、-、×、÷”等等，就是表意文字的例子）。

最后，有些符号已经无法以描绘任何特定东西来分辨。这些表意符号的意思完全是约定俗成的。祭司们对用简单笔画来区别几种不同的羊完全束手无策。于是，他采用一些常规符号来表示欧洲盘羊、东方盘羊、公羊、阉羊、母羊等等。这些符号是由个别祭司特地创造出来，但是必须为其团队所接受，为社会所认可。

正是因为账目不是私人文件，符号也不仅是个人的提示，所以使用的书写系统就必须成为惯例。必须建立一套符号的准则，并由社会赋以权威。实际上，我们已拥有该时期一批实际符号以及账本。而所有管理者必须被传授这套准则。这一传授过程我们称之为学习阅读与书写。（当然，这包括学习我们这个社会赋予二十六个随意符号的语义、语音和用法，以及学习以一种大家认可的方式把字母组成单词。）因此，很可能会有培养文书的学校。有些发掘出来的符号列表，可以作很好的教材。

而且自从同样的符号在苏美尔的埃立克及阿卡德的杰姆代特奈斯尔广使用以来，很可能在各个城市之间存在着学生与教师的交流。该书写系统并非是某个特定庙宇管理团队的惯例，而是被整个苏美尔社会所认可并赋予权威。

出土于苏鲁帕克（法拉）（Shuruppak［fara］）的大批书版说明，苏美尔文字始于公元前3000年后的历史时期之初。这些文件全都是庙宇的账本和作为学校教材的符号表。后者的符号列表按标题归组，比如不同的鱼被依次列出。而在每个符号之后，还附上发明该符号的文书或祭司的名字。

到此，符号已经高度规范化了。这些图像文字如此简洁和减缩，以至于很难分辨所指的东西了，即使并非全部如此。而且符号现在也像代表意义和实物一样来代表读音。它们变成了表音字，同时又是表意字；或成了表音字而不是表意字。例如这个符号（第182页里它用手画出）表示长胡须的头，代表苏美尔词汇Ka即脸。它现在只表示Ka这个音节，与头或脸没有任何关系。选择有适当语音价值的符号，现在就可以拼出单词来了——给予那些很难用图像表达的概念和行为以恰当名字或名称。（实际上，上面那个符号也可以用来表示“说”、“哭”、“字”等，以及苏美尔语里的dug、gug、enim！）

然而，符号继续以它们本身的表意价值被使用（而非用发音来表达事情或概念）。即使当一个词已用语音拼出，但往往还要加上一个表意字，向读者说明这类是何种词。如此使用的表意字叫指示词。

公元前3000年之后，我们开始发现账簿、合同和符号列表之外的文件——开始主要是名字与头衔，而后是条约、祷词和历史文献、咒语和法典片断等。而书体进一步简化，不再是画，而是用一种楔形笔尖把各种符号的笔划压印在柔软的陶土上。因为这些符号由楔形印迹构成，所以这种古典的巴比伦文字就叫做楔形文字。一直到我们这个时代开始，这种文字还在使用。之后，它还被采纳以书写多种外国语——赫梯语（小亚细亚）、万尼克语（亚美尼亚）（Vannic）、波斯语等。

但甚至在公元前2500年之前，由苏美尔发明的字体被用来表达他们闪族同胞——阿卡德人的语言。用苏美尔文字来书写闪族人的名字，可能加快了由表意字向表音符号的转变。但是，这可能使结果复杂化了。一个特定的符号，现在竟然可以表示一个或更多的概念了。它既为这一概念的苏美尔语名称的发音，又有相应的闪语单词发音。（实际情况还要复杂，因为苏美尔语中的一个符号可以代表几个字，也代表了几种不同的发音。）或许苏美尔人和巴比伦人从不觉得这里面有什么困难，但是现代学者要想把苏美尔名称音译成欧洲字母，往往是十分棘手，连读法也得改变。例如，在过去十年中，Ur-nina一词就变成了Ur-nanshe一词，Ur-engur一词就变成了Ur-nammu一词等等。

幸运的情况是，苏美尔人用粘土作为书写材料，再烘烤粘土使之成为不朽文献，这使得我们可以追溯美索不达米亚文字书写的历史直至其源头。它显示了文字和城市生活前进的发展步伐。世界上最早的书写文献是账册和词典，这决非偶然。它们揭示了促成苏美尔文字发明的迫切的实际需求。

没有任何地方能够把文字起源的实际经济原因揭示得如此清楚，因为也没有任何地方能够把这种艺术追溯到它的源头。其他民族很可能开始是在容易朽烂的材料上书写，而只是当他们的书写有了长足进步的时候，才将他们的文稿铭刻在耐久的材料上。幸存至今的年代最久远的古埃及文件是刻在印章和瓶子上的名字和称号、账簿和物资清单，还有发现于阿拜多斯第一、第二王朝王室陵墓中记录在木简上的事件简录。此时（最早在公元前3200年或公元前3000年）这套系统已比最古老的苏美尔文献的系统要成熟得多。确实，那些符号是比较容易识别的图形，原来很可能是象形文字。实际上，早期国王的名字和称号有时充满生气。而有些作为象形文字保留了其价值。实际上，作为指示词（第183页），它们在埃及文字流行的整个历史时期内自始至终为人们所使用。

然而，即令在美尼斯时代，许多图形符号具有纯粹表音价值，这些词汇也是按一定的规则拼写，并非仅以表意字表达。纯粹象形文字阶段已成往事，凭人猜测。不久，埃及人就有了字母表：采用二十四个符号，每一个符号代表一个单独的辅音（元音就不写了）。但是，尽管每一个词可以拼出，但是表意字和指示词却从来不曾被废弃。

当然，即使图形符号比苏美尔象形文字更真实，但更符合社会习俗。除这种象形文字外，埃及的文书很快就发明了一种手写体（术语叫做僧侣体），文字如此简化，以至于它们曾经描绘的事物已不能再识别。

构成埃及文献而幸存下来的最古老文件的名字、称号和历史简介，很难被用作激发尼罗河文字发明原因的证据。这种艺术的实际应用，在最古老的王朝时期就被证实。在王室的官员中就明确提到文书。对尼罗河水位高度的观察，以及据此而作的估算（第160页），很可能记录在案。在后来的墓室壁画上（第165页），我们看到文书忙于登记佃户和牧人缴纳的租金和贡品。在作坊的场景中，他们正在登记从库房里运出、将由各个工匠加工的原料。

这些文书都是官员，是一个有组织的、永久性的公共服务部门的成员。他们的账簿和记录，必须让他们的同事、上级，最后还有一位地位最高的主人——一位世间的上帝——所读懂。像在苏美尔那样，他们必须符合社会规范，必须学会读和写。

对印度的符号没有什么可说的，因为幸存至今的只有一些印章和铜牌上面未破译的铭文。在此值得指出的是，公元前2000年前，米诺斯人在克里特岛开始创建一种符号，大部分现存的文件都是账册泥板和清单。任何地方都有可能像苏美尔那样，由城市经济特殊的实际需求而激发文字的发明。诚然，苏美尔文字是由祭司发明并被他们所专用。然而，苏美尔祭司发明文字，并非来自他们迷信教主的能力，而是作为世俗财产管理者的能力。就像埃及和米诺斯的文书那样，他们最先不是为施展魔法和仪式目的使用这项发明，而是出于实际业务和管理的目的。

书写的发明（就如这里所定义的）确实标志着人类进步的一个纪元。以我们现代人看来，它之所以意义重大，最主要的是因为它提供了一个机会去透视我们文化祖先的思想，而不必试图从他们不完善的具体行为的表现来推导这些思想。然而，文字真正的意义在于，它注定对人类知识的传播是一个革命。有了这种工具，一个人可以将他的经验永存，并传递给遥远的同仁，以及尚未诞生的下一代。这是使科学冲破时空限制的第一步。

早期文字使用的重大使命不应被夸大。书写并非作为公众交流之中介而发明的，而是为了管理机构的实际需要。早期的苏美尔和埃及文字作为表达思想的工具相当笨拙。即使经历了二千年之久的简化过程，楔形文字还是使用了六百个至一千个不同的符号。一个人在学会阅读与书写之前，必须记住这种深奥的符号系列，掌握它复杂的组合规则。埃及象形文字和僧侣体，尽管具有字母表的因素，但仍因大量倍感困惑的表意字和指示词而显得累赘，以至于所需要的文字多达五百个。

在这种情况下，文字难免成为一种高难度的特殊技艺，必须有一个漫长的师承才能掌握。阅读则是一种秘境，唯有经过长期的学校教育，方能得入其门。几乎无人既有闲暇又有天赋来深究文字的奥妙。东方的古代，文书像欧洲中世纪的职员，是一个相对狭小的阶级。事实上，这一阶级从来不曾成为一个特权阶级。入学并不取决于出身，尽管如何选拔学者还不清楚。但是，在庞大的文盲人口中，“读书人”很可能是极少数。

实际上，文字工作要比冶金、纺织或作战更像是一种职业。不过，这是一种享有特权的职业，提供了一种可以晋身高官、权力和财富的前途。读写能力的价值不仅在于它是知识的钥匙，更在于它是财富和社会地位的垫脚石。引自古埃及晚期文献的一段平凡的引文，说明了一种很难被认为仅为尼罗河河谷或有文献时代所特有的态度。

有一批年代为埃及新王国时期的有趣文献，将文书的特权和威望与工匠和农夫的困苦作了对比。他们采用了父亲教训儿子的方式，其中所表达的观点，也是今日一位农夫或者一位小业主写给儿子时所持有的看法，当他们的儿子面临继续深造或进工厂做工的抉择。

把文字工作放在你的心里，这样你就可以保护自己而不做任何的体力劳动，而将成为一个声望很高的长官。文书被免于体力劳动，他就是发号施令的人……你不是拿着文书的调色板吗？这就是使你和那个摇桨的人所不同的地方。

我看见一个金属匠在炉口干活，手指像鳄鱼的爪子。他的味儿比鱼腥味还臭。每一个拿凿子的工人都比锄地的农民更辛苦；木头是他的田地，凿子是他的鹤嘴锄。晚上下了工，他还得劳累至双臂难以承受（？超时工作）。甚至晚上他还得点上灯（在灯边工作）。石匠则在每一块坚硬的石头上找活干。当他干完了大部分工作的时候，双臂已经筋疲力尽，累得要命……作坊里的纺织工人还不如妇女；（他蹲伏着）用膝盖顶着腹部，呼吸不到新鲜空气。他必须送面包给那些看门人才能见到亮光。

上述告诫中所暗示的社会进步前景，在较早的时期或在其他国家里并非那么光明或肯定。但是，人们对待文字工作和理论科学与体力劳动和应用科学有反差的一般态度，一直可追溯到城市生活的早期阶段，而且在苏美尔和埃及都一样。上述引文因而说明了这样的事实：第二次革命造就或强化了社会不同阶级的分化。事实上，国王、祭司、贵族和将军站在农民、渔夫、工匠和普通劳工的对立面。而在这样的阶级分化中，文书属于前面的阶级，文字工作是一种“可敬”的职业。

史前期的物质进步主要归功于技术的改善，而且想必是由工匠、农夫和牧民本身作出的。但是，在此阶级分化中，文书属于“上层阶级”，与工匠、农夫有别。文字工作是一种受人尊敬的职业，而农耕、冶金、木工却不是。所以，植物学、化学和地质学这些实际应用科学因此都不算在读写的传统之内，该传统的倡导者也看不起体力劳动。工匠的手艺既并不予以记录，也不以书本流传。

另一方面，某些科学和伪科学——如数学、外科学、医学、占星术、炼金术和卜算，都成为文章的题材。它们因此构成了学术性科学的主体，只有那些掌握了读写奥秘的人才可涉足。但正由于这一事实，这些探索的学科易于脱离实际生活。一进学校，学生便不再理睬犁和板凳，他不再想回头。

书写十分困难而又如此费力辨认的文字，也不可避免地拥有了它们自己的权威。书写中一个词的永存很可能好像是一种超自然的过程。一个从生活土地上早已消失的人居然能在陶板或一卷纸莎草纸上说话，肯定具有某种魔力。这样表述的文字必定具有某种“玛纳”。因此，东方的学者，如同我们中世纪的学者一样，很容易对书本的偏爱更胜于自然。埃及古王国时期（公元前2500年前）编撰的数学、外科学和医学著作，到公元前2000年之后，还在被人盲目地、常常是拙劣地抄袭。在公元前800年至公元前600年间，那些暴发的亚述国王为自己的文库苦苦搜寻上溯到汉穆拉比时代（约公元前1800年）或公元前2500年阿卡德萨尔贡时期的文献抄本。

对于一本书，埃及和巴比伦的学者所看重的并不是它是否最新，体现了最近的发现，而是它的古老性。于是，一个出版者宣传他的出版物，并不在于它是“最新修订的版本”，而是对最古老版本的可信复制。于是，莱茵（Rhind）数学抄本的封套上就写着这样的文字：“探究自然和了解所有存在事物的法则。本卷写于奥塞瑞国王（Aauserre）时期第三十三年，系尼迈尔国王（Nemare）时期（公元前1880年至公元前1850年）古本之抄本。抄写者为文书阿莫斯（Ahmose）。”埃伯斯（Ebers）医书抄本中的一篇论文名为“治病之书，古本发现于乌萨菲斯（Usaphais）国王（即第一王朝的一位国王）时期的阿努比斯神（Anubis）脚下的一只木箱里”。

然而，文书学校的功能实际上类似于我们今天所说的研究所。即令为了教学目的，也有必要将传授的知识组织和系统化。导师的作用以一种“理论研究”来为增加知识提供机会和引导。

特别在美索不达米亚，刚才批评的那种“学究式”态度，促进了学习的系统化。自公元前2500年以降，讲闪语的民众在巴比伦占据优势。大约公元前1800年，巴比伦的第一王朝最终统一了苏美尔和阿卡德。于是，闪语族的阿卡德语就成为王朝的官方语言。苏美尔语成了一种死亡的语言。但是，受人尊敬的古代典籍都是用苏美尔语写就。而苏美尔语仍作为一种宗教语言而保留，正如中世纪欧洲的拉丁语。自苏美尔的史前期起就一直保持着团队身份的庙宇祭司，仍然受苏美尔传统的训练，尽管很可能他们在被委任之前说的是土语。

祭司们很自然地认为，这块土地上的古代的神祇，仍然必须要用苏美尔传统的祷文来抚慰；古老的魔力只能靠苏美尔符咒才能被激发出来。因此，庙宇学校要传授和学习苏美尔语言，正如中世纪的学校必须学习拉丁语一样。除了培养读写能力之外，学校最终还要向某些学生提供“较高级的教育”，并且学习一些在世俗事务中毫无实用价值的科目。在研修过程中，他们学会了制订文法、编制词典，借以领悟古老的苏美尔宗教圣歌和咒语，正确地背诵，并收集、整理古代经典。激励他们的是获得超自然力量的梦想，尽管如此，这种研修还是让学者们在组织语言和研究等方面获得了培训，也让我们今天仍然能够读懂苏美尔文。

即令在埃及，对于古代传统的崇敬也可以追溯至光荣的金字塔时代，我们在本书第189页所引述的那些著作标题可以证明这一点，这就迫使后人系统研究用某种文字和某种书体写成的文献，它们要比乔叟（Chaucer）（14世纪英国诗人。——译者注）时代的语言文字离我们更远。

在两个国家里，文书所受的教育都不会仅限于读与写。为使满足对他们能力的常规要求，文书还必须学习数学。有些人很可能还要学习占星术、医术、外科学，甚至炼金术。现代学者归为“数学”、“医学”，或者一般“科学”知识的大批纸莎草纸或泥板，很可能是在这类学校里产生和使用的。其中我们还要加上账簿、田地规划图、历法和说明算术、几何、天文学应用的其他文献。从这些来源，我们可以推断古代的学习是如何组织、如何传递和学到了什么。

显然，记账和历法与数学科学之间的关系，正如矿物冶炼和铸造与化学科学之间的关系一样。从两者，我们可以推断会计师与冶金匠在他们的业务中对科学知识的实际运用。土地规划图因这样的事实而有别于“史前考古学家”处理的材料，这就是上面写着数字和文字。

其次，“科学”的文献里包含有各种类似于我们今天乘法表和利息表这样的表格。当然它们有助于计算，是计算用的工具。虽然现存的例子大部分是为“学校”的使用而制定的，但是它们与一个工匠在其科学分支中使用工具完全类似。乘法表所起的功用，就如熔炉、坩埚、风箱的功用相似。它们所提供的对数学知识的深入见解，恰如通过对无文字的考古遗物观察而获得应用化学知识一样，是一个相同的过程。

可是，现存的文献在纯考古学用以说明应用科学的材料中没有完全相同的对应物。这些文献是传播科学知识的实用工具。它们的地位就好像我们现在的学校教科书、参考书，也许还有学术杂志的交流。但是，它们又完全不同于现代教科书，其目的在于传播整个学科的一般理论和方法。它们也不像专著，其目的在于展示和说明一项特殊的发现或总结。

那些数学文献只是详细解答各种问题的具体案例。它们向读者说明如何作各种总和。然而仅靠这一系列案例，还不足以开导初学者学会新方法，也很难授予新知识。它们很可能只作为口授的一种补充。同样的道理也适用于医书。它们最多也就是对一些症状、诊断概述的摘要，随后附有一张处方。因此，它们看起来就像一个学生在医院实习时所做的病例笔记。它们想必有某种教授提供的口头指导。

那么，看来学术科学和应用科学或工艺的传授之间并无真正的区别。向一个学习数学或医学的学生传授知识，和向一个学冶炼或纺织的学徒传授技艺的指导方法基本相同。学徒在工作中观摩他的师傅怎样示范操作，然后在师傅的监管下干活，以便在出错时得到纠正。埃及和巴比伦的学文书和学医的学生正是以同样的方式观摩他的教授如何处理简单案例，或诊治实际病例。文献并没有提供任何线索，表明这种实际指导事先给予或辅以一种对一般原理和抽象理论的合理讲解，而这是今天大学的工科训练有别于培养学徒之所在。

古代东方的学术科学，其目标与手工艺联系更加明显。埃及和巴比伦的数学、医学和占星术被埃及和巴比伦的社会公认为其目的在于满足社会的特殊需要。它们的目的在于解决在商业和建筑中产生的实际问题、在于治疗已知的疾病、在于确定农业的节气、还在于预测人的命运。

数学就如书写一样，明显是城市革命经济需求的结果。庙宇管理团队的业务往来以及公共服务中的岁赋管理需要标准的度量衡，一种数字记录系统和方便计算的规则，就如他们需要文字一样。

当然，计量并非始自该次革命。计量仅指从长、宽、重等来比较物体。在某种式样方面，它像人类的工业一样悠久。没有计量，你不可能给弓配一根弦，也无法给斧头配一把柄。起初，都是用相互直接比较来使物件衔接。等到工业操作变得比较复杂的时候，将每个部件与某一标准加以比较，就更为方便。在造船时，将每块正在切割的船板必须和已经放在地上的龙骨比较、还要与最后切割那块船板相比较，是很不方便的。以你的手臂为尺度，测量龙骨有几个臂长，再按照这个长度加工每块船板，这就比较容易了。

最初，这些标准可能是一些个别的自然物体。你的手指、手掌和前臂（ell或腕尺。前者为英国古尺名称，相当于四十五英寸；后者为肘关节至中指尖的长度，约为十八到二十二英寸。——译者注）提供了个人的长度单位。在交换时，一颗大麦粒或者一袋谷物可以作为一个重量单位。但是，对于既需精确又需多人合作的社会劳动而言，个人的尺度就不适当了，因为没有两个人的手臂长度完全一样。同理，在重量交换中，不同的大麦颗粒重量有别，口袋里谷物的分量不同会可能导致不公。重量与长度必须标准化。这就是说，社会必须给一指、一拃、一腕、一粒和一袋以一个统一固定的数值等等。于是，社会的长度标准被刻在标杆上，石头和金属也被制造来代表谷物和口袋的重量。不久，几种方便的长度、体积、重量等单位将拥有各自的数学关系，尽管还保留着老的名称。一腕被定为一拃的两倍等等。因此，如同单词和文字一样，重量与长度的标准化都是按照习惯来确定的。重量与长度如同单词和文字一样被社会应用所认同。

顺便说一下，采用公认标准的计量要比用具体个别物件相比更为抽象。而所有计量都包含抽象思维。计量物品长度时，你忽略了它们的材质、颜色、式样、质感等等，而集中在长度上。这一过程最终导致“净重”和“欧几里德空间”（Euclidean space）这样的概念。

断不能以为，古代社会对无尽的长度或虚无的空间会有什么兴趣。他们的抽象思维仅限于实际的兴趣。古苏美尔人面积计量单位有时与重量计量单位重名，特别是在两个表格里的最小单位都是“粒”（se或grain）。换言之，苏美尔人的“平方测量”源于一粒种子的测量。苏美尔人的兴趣是想知道他的田里需播多少种子。他不是考虑农田占据多大的“空间”，而是需要如此多的种子。他从不关心那些无法耕种的荒漠或蓝天的面积。

需要指出，如欲称重需要一件特殊器物——衡器的发明。发现于史前埃及墓葬里发现的某些东西，被皮特里（Petire）推测是衡器。如果皮特里是正确的，那就必须承认衡器之发明与重量之标准化皆始于第二次革命前的某一时候。

那是非常有可能的。无论如何，在第八章里追溯过其革命的几个社群，开始将他们的几个单位赋予不同的常规值。革命之后，我们在埃及、美索不达米亚和印度发现了不同的衡量系统。甚至，美索不达米亚本身称重单位的微小差异，可能是因为在几个自治城市里采用不同的标准。不过，贸易的国际化足以使一个国家的标准可以被另一个国家承认和使用。于是，埃及人有时用巴比伦的、而非本地的重量单位称重。

计数可以追溯到最早的人类社会，尽管据说今天的一些蒙昧人计数仍不过五。估计人类从用手指计数开始。因此，普遍应用的一至十的十进制，都有专门的名称。

当然，在所有情形中人们都是计算具体的东西，如捉住的鲑鱼、圈里的羊、织物的线等等。一个旧石器时代猎人或新石器时代牧民想要记住的适度总数，可以用在一根棍子上划痕予以记录。如果记录苏美尔庙宇或埃及法老的巨额岁收，这种划痕方法就太笨拙了。祭司团队和民间机构必须采用一套便捷的系统来记录巨额数字。苏美尔和埃及都有采用便捷计数系统的文献，它们早于现存最早的文字。

上述两个国家，还有印度（随后在克里特岛），这种用来记录巨额总数的规则大致相同。许多单位都用一个符号来表示，并常常重复必要的次数直至任何数目达到“9”。用一个不同的符号来表示“10”和多个“10”，下一个更高单位也是如此。在埃及，下面的符号早在第一王朝时期就已被证实：Ⅰ∶|=1；∩=10；=100；=1000。在美索不达米亚，该系统则沿着不同的路径发展。

出自埃立克和杰姆代特奈斯尔最古老的账册泥板上，有下面的数字：D=1，0=10，O=100。但是在出自同一城市的其他文献中，很可能较晚些，这些数字具有这样的值：D=1，0=10，D=60，O=600。这就是苏美尔人所使用的所谓六十进位系统，后来也被巴比伦人随其文明的延续所使用。自然，就如在埃及一样，这些数字的式样随时间而简化。但是在巴比伦，这一简化具有惊人的后果。

当楔形尖笔的印痕取代了字体的手写符号时，“D”变成了“”，“o”变成了“”，“D”变成了“”，“O”变成了“”或数学课本中的“”。因此，约公元前2000年，同一符号分别代表了六十个（包括“1”）和十个这种单位的任意次幂。只有符号顺序用来区分它们的值：意味着2×60+3×10+1，或以我们的记法为151。这样，巴比伦人发现他们拥有了与我们相同的一种用“位值”（place value）的系统。它有个缺陷：没有符号表示零。但是，大约在公元前1000年后，这一缺陷被弥补了。

所有这些系统都相当笨拙。例如，用埃及符号写“879”，就必须画二十四个专门符号。另一方面，加和减几乎和掰手指计算一样容易：加上便等于。用“10”来乘除也一样容易。把“2”乘以“10”，只须将“”改为“”就可以了。

我们的最古老的数学文献，象形文字的账册泥板，仅代表最简单的数学运算。它们记载具体的羊只、大麦份量或酒罐的数量。总数用加减法得到。土地面积（按第194页定义的意思）是用两边相乘来计算。在这种情况下，不会出现分数。文书在计算实际的人和羊时，八分之一只羊和八分之五个人是没有意义的。在处理度量和体积时，有几个单位，各有其专门的名称，来代替分数，就如在初级算术中用盎司、本尼威特（pennyweight）、粒（grain）来表示磅的分数。所以在苏美尔，习惯确定了几个长度“自然单位”的值，于是十五指等于一拃，两拃等于一腕等等。在苏美尔和埃及的文字中，简单的数字并无需其他符号和单词配合，就可用来表达重量和长度的单位。所以，在苏美尔D代表一“干”（gan），o可以代表一“培”（bur）即十八“干”。也许，从这样的实践中产生了“个别符号”用以表示某些分数：在埃及文中，表示1/2，1/4未知如何表示，表示1/3，表示2/3；在巴比伦文中，表示1/2，表示1/3，表示2/3。

但是，因城市革命给社会生活带来的复杂性，出现了许多问题，这就是需要更为先进的数学方法来得到满意的结果。大批劳力集合在一起实施巨大的公共工程，对此必须事先作好分配。必须计算粮食的供应与原料的采购，所需的时间也要作相应的估算。但是，它也会包括计算土堤或金字塔斜面的体积，或井壁的砖头数目。大批工人的工资必须根据每一个人的质量或劳力支出来发放。

谷物被贮藏在谷仓里，它们往往呈圆柱形或金字塔形。监督和财政官员同样需要知道如何预计这样的谷仓里有多少粮食。贸易以伙伴关系为基础组织起来，所以利润也必须按各自贡献的多少而分成。一位苏美尔神祇每天都用大量的酒供奉，其酒精度要依照各礼仪的功能而配置。庙宇酿酒师需要知道作麦芽和酿造具体数量的酒所需多少麦子。而监督者必须知道，对每项目的和每次酿造应提供他多少大麦。埃及人的迷信要求金字塔的营造必须绝对精确，石匠必须知道每一块石头确切的尺寸，而且加以切割，使该纪念性建筑表面平整。

一位埃及文书可能必须解决的问题后来被记载在约公元前1200年的纸莎草纸上。发话者似乎是在教训一个对手的不称职：

“你说：‘我是一个颁布法令征收税款的文书。’这就给了你一个可发掘的仓库。然而，你却跑了来向我询问士兵的口粮，对我说：‘把它算出来。’你荒废了你的职务，教育你的担子就落在我头上了。

“你是一个领导税务的聪明文书。现在要建造一个斜坡，长730腕、宽55腕，内有120个隔间，并填满芦苇和木梁……所需砖头的数量要向老百姓征集。而召集来的一大群文书竟然没有一个懂行的。他们信任你，称‘你是一个聪明的文书，我的朋友！回答我们，这项工程需要多少砖头？’

“曾对你说过，‘清空那个填满了你主人纪念碑下面从红山运来的沙子的仓库。它地面延伸长度为30腕、宽20腕。仓库分成几部分，每部分高50腕。现委托你估算在6个小时之内拆除这个仓库需要多少工人。’”

（当然，这些问题就如所言，是无法解决的，但这里是笑话的一部分。）

埃及和巴比伦现存数学文献所解决的正是上述这一类问题。大多数问题在我们看来难度并不大，鲜有能难倒今日小学生的问题。但是，以现代标准来评判生活在五千年前的文书是非常不公平的。困扰他们的运算对我们而言却非常熟悉，只是因为我们通过希腊人和阿拉伯人继承了他们发明的技巧。

实际上，苏美尔和埃及的文书经历的是一种极其陌生和未知的领域，是由城市革命史无前例的事件所开创。他们必须解决的问题是全新的，此前从未有过，因为这些问题是城市革命本身所产生。就如成果的其余部分一样，它们就像我们自身革命的基础一样为人熟知。但是，古代数学家实际上必须发明解决问题的方法。

首先，他们必须制造一种计算的机械。第一步是设计一种记数系统，以便将已经存在于口语中的所有数字变成文字。第二步是改进运算技巧。加减法只不过是用已获得记忆的结果加以简化来计算。5加3，我们只要记住其结果是8即可（第一次还是靠计算得到），不必再一步步计算。就如已经提及，苏美尔与埃及的记数是用绘画来表示这个事实的。

乘法是加法的进一步简化。5×3的意思是把3个5加到一起。在学校里我们学到的得数是15。埃及人看来并没有把这样的得数当作必须记忆的东西记载于文献。无论如何，他们从来都不曾用过这些我们十分熟悉的步骤。他们总是靠“重复”的办法解决问题。他们用乘数自身的累加。但是他们确实记得12+12（即12× 2）=24，并将解题过程简化到那种程度。下面就是埃及人如何计算12×12与14×80的：

1　12　　　　　　　　　　1　　　80

2　24　　　　　　　　√10　800

√4　48　　　　　　　　　　2　　160

√8　96　　　　　　　　√4　　320

———

总数　144　　　　　总数　1120

（你把“1”写在被乘数的对面，然后两边都加倍，直到你在第一列里面的数字加起来等于乘数，再把相关的几行做上记号。然后，你再把第二列里的相关数字相加。在第二题中，解题过程被本书197页所描述的十进制所简化。）

在除法中，解题过程颠倒过来。用8除19。埃及人将其表述为“用8计算以发现19，”表示如下：

1　　　　　　　　　　　　8

√2　　　　　　　　　　　16

2　　　　　　　　　　　　4

√4　　　　　　　　　　　　2

√8　　　　　　　　　　　　1

得数　2++

（在此，他把除数加倍，并一分为二，直到第二列里的数字加起来等于被除数，再把第一列里面的整数与分数做个记号，再把带有记号的数字相加。1/2与1/4可以写作2和4，与埃及人的分数记法一致。）

很可能的是，苏美尔人率先运用同样的“添加”方法。但是在公元前2000年前，巴比伦人已经熟悉我们所知的乘法。这意味着他们拥有了乘法表，由此流传给我们。也就是说，他们记下用添加方法得到的结果，为记忆和查询将其制成表格。这样，他们便为自己装备了便捷的计算工具，因而极大地减轻并加速了运算工作。

有可能正是巴比伦至关重要的贸易，激发了对这一运算步骤的简化过程。在史前时期，美索不达米亚要比埃及更加依赖对外贸易，并一直如此。地理位置使它处于许多自然贸易路线的枢纽，而埃及相对孤立。大规模国际业务的来往就必须采用新的程序来提速。同时，表格的编制，也即系统记录和安排用简化计算所得的结果，应归功于庙宇学校的“研究机构”。

现存的表格将把乘数与所有20以下的整数，还有30、40、50相乘的结果都列出，并像我们现在一样表示和安排。但是，那些乘数也包括了诸如1、15和44、26、40之类看上去很大的数目（全都是用60进位制来表示）。因此，它们就像下面解释的那样，也能作为除法表使用。平方、立方及乘幂、平方根、立方根等表格，也都留存下来。

很明显，文书所面临的实际问题，诸如在工人中分配口粮最终迫使他们去处理分数。要理解它意味着什么，最好回忆一下在我们早年的学校岁月里，分数曾如何困扰过我们。对于埃及人和巴比伦人而言，分数绝对是一种新奇事物。你当然可以用手指和算盘便捷地运算整数，但是，若以同样的方式去对付分数可就不灵了。必须设计出一种记数法来表示完全是想象的数字。

埃及人表示分数（分子为1），是在分母上作个记号，以代表我们计算中划的那条线（当然，它们就是表示1/2、1/3和2/3这些特殊符号）。如果用这种记数法表示2/5或7/10明显较难。事实上，埃及人从来没有用这种计数法表示过这类分数。除了2/3被引入该系列外，他们总是用分子为1的分数相加来表示它们，或像我们要说的，用除得尽部分的和来表示。我们下面的例子就是这样解决的：2/5=1/3+1/15（或以埃及记数法，3+15），而7/10=2/3+1/30。编制的表格给了所有分子为2、分母为3至101之间单数的所有分数以正确的答案。上文提及的“莱茵古本”的第一编就将这个表格附上了“算法”。

那时埃及人很难领会，分数完全可以用整数的规则一样处理。这种失败应归因于他们原始的运算技巧。根据埃及的办法所做的除法正好得到一系列除尽的结果。有缺陷的记数法是使这种用法长存的原因。

约公元前2000年，第196页所描述的记数系统的转变，凑巧使巴比伦数学家完全掌握了分数。字体的简化意味着，一个数的值完全取决于它相对于其他数字的位置。对于我们，会把同样的5来表示5×10、5×1、5/10等等。在每个特定案例中，它具有的值是由它相对于其他数字包括零和十进制小数点在内的位置所决定。约公元前2000年，巴比伦人开始在数学课本里用同一组符号来表示20和20/60，但是他们缺少“0”和“.”，并采用六十进位制。于是，他们能将对数字的精通扩展到整个有理数领域。因为，他们能像我们用小数那样来表示分数：1/5可以写成；12（对于我们插入一个；来代表“点”很方便，这是巴比伦人所没有的），2/5写成；24等等。他们就像整数那样来处理他们六十进位制的分数。

这种记数法简化了除法的困难运算。他们把1与60之间那些数字的倒数列成了表：

2　30　　　　　　　　　　5　12

3　20　　　　　　　　　　　6　10

4　15　　　　　　　　8　7；30，等等。

由此，比如说，除以“5”可代之以乘其倒数：12（12/60）。但是，如果这个倒数不是一个定数——例如60/7的话，那会发生什么就不得而知了。

六十进位制的分数体系以及由此产生的新办法，是字体一种变化的偶然结果。但是，意识到它的潜力以及对它们的开发，显然都是庙宇学校的成就。实际上，这种系统仅限于在这类学校中编撰和使用的“数学课本”。可是在最早的课本中，它被用来解决建筑和军事工程学的问题，并计算利息和本金。明显的是，仅在1000年后，新数学就被用于天文学计算，尽管在庙宇的课程里占星术仍很重要。

如要传授和运用新的计数方法，理想的是在各种运算中采纳习惯性的标准术语。要使数学成为一门科学，一套精确的专用术语是必不可少的。当然，术语的定义是一种社会功能，而学校就是一种选择表述的机构，以便使这类表述专门用来作每次运算的规定和表示。就埃及来说，“莱茵古本”中用于做加、减等表述差异很大：4乘5可用“将4算5次”、“把4数5遍”来表示。在“莫斯科古本”中，专门术语变化不大，但也不是十分固定。

另一方面，从公元前2000年起，巴比伦文献采用了一种非常明确的专门术语。的确，巴比伦人顺利地创造出一套数学符号，大大加速了运算。首先，几种运算的技术术语是用单一楔形符号表示的单音字。其次，虽然巴比伦人讲的是闪语，但在演算上他们还是用老的苏美尔语汇，如“以……乘”、“求……之倒数”等。最后，许多技术术语都是以表意字写成，而不是拼写而成。（我们的算术与几何符号+、×、△、∥当然是表意字。）文献的年代越晚，因此苏美尔语就越式微，而苏美尔词和表意字就用得越多。它们变成了十分抽象的符号，与诸如“点头”和“断开”源于埃及的具体表述分离开来。但是，即使埃及的表意字有时也被用作数学符号。在“莱茵古本”中，两条腿可以表示+或-，究竟是哪个要根据脚的方向来判定。

被我们认为是比例的专门术语十分奇妙。巴比伦和埃及的文献中经常提及角锥体诸边的“倾斜度”或“斜率”。我们会将其以比例来表示，比如说这个山坡的坡度是1∶10。埃及人总是以长度来表示，比如5+1/25拃。他们的真正意思是说每高1腕，水平距离便是5+1/25拃，或如我们所说，“AE/ED，这里ED是一个单位长度即1腕。”巴比伦人表达得更清晰：“1腕即1倾斜值。”（总是以GAR计算）。这两段话说明了古人的数学思维是如何地具体。

第197页指出的城市经济条件，需要有一些几何学知识。土地面积必须确定以估计要播多少种子，并以此确定租金或税款。但是，这种估算和推测不必太精确：管家只想约略知道每块地能够产多少谷物；而收税人只需一个预期产量的大致想法。我们已见到，甚至在公元前3000年前，苏美尔人已在用长乘以宽的方法计算土地面积。这就是说，他们已能用正确的几何公式来计算长方形面积了。

在稍晚的文献中，不规则的四边形面积只能用各种近似值来予以计算。多边形的土地面积被分成许多四边形和三角形，其面积以类似方法计算。在埃及，即使在新王国的合同中，不规则四边形土地面积也是以相邻两边边长之和取半，再乘以另外两条边边长之和的一半来得到。对于三角形土地，将两边长之和取其半，而后乘以第三条边长之一半。(https://www.daowen.com)

刚才考察的文献一般都含所论及土地的平面图。长度沿各边标出，但平面图绘得不准，或不按比例。认为精密几何学源于埃及和巴比伦土地测量这种理论，就我们掌握的证据来看并不支持这一说法。

再者，知道一个带斜坡长方形地窖可放多少谷物以便核对是有用的，但也无须非常精确。所以，估算一个截顶角锥体地窖的容量，巴比伦人和我们今天用V=h+的公式所表示的计算方法相一致，尽管这个公式并非十分准确。

另一方面，建筑师和工程师经常需要更为精确的计算以完成交给他们的工作。金字塔的精确度是具有宗教意义的事情。为了确保这点，覆盖其表面的每块石头的尺寸都必须精确计算。于是，埃及的文书发现和运用了正确的公式来计算截顶角锥体的体积。“莫斯科古本”举了一个著名的题目：

“计算一个？截顶角锥体体积的例子。

如果某人对你说，一个？截顶角锥体高6腕，底部边长4腕，上部边长2腕。

以4的平方计算，得16。

4乘以2，得8。

以2的平方计算，得4。

将16、8、4加到一起，得28。

计算6的1/3，得2。计算28的2倍，得56。

结果：就是56，你答对了。”

这里展示的过程可以表示为V1/3h（a2+ab+b2）——是截顶角锥体的正确公式。例子所附的一张草图，是一个不规则角锥体——实际上，一个石块就是一个规则的角锥体。

对于一个圆的圆周与直径之间的关系问题，我们称之为“π”的无理数便不可避免地产生了。在巴比伦人的算法中，他们只是满足于一个非常约略的近似值3，大概是由直接测量得到。另一方面，埃及人却用一个令人惊讶的非常接近的近似值来计算圆面积。“莱茵古本”举了这样一个例子：

“计算一块直径为9khet的圆形土地之方法。其面积是多少？

你把它减去1/9，也就是1，余8。

你将8算8次，它成了64。这就是这块土地的面积：6“千土”另4setat”。

采用的公式是（d-1/9d）2，它使“π”=（16/9）2。巴比伦人从公元前2000年就完全熟悉毕达哥拉斯定理的结果（即在一个直角三角形中，直角对边边长的平方等于其余两边边长各自平方之和）。当然，人们还不能把它用于所有计算中，因为他们还不会处理开不尽的平方根。当两平方之和得出的数字本身不是一个完全的平方，他们必须求助其他方法来得到一个近似的结果。柏林的一个算板上给了一扇门对角线的两种计算，40GAR高；10GAR宽。分别给出了；41，15和；42，13，20的值，可以用d=h+w2/2h与d=h+2w2h两个公式表示。前一个公式是的两个近似值之间的算术平均值。

在埃及，没有应用毕达哥拉斯定理的直接证据。常有一个说法，一个边长分别是3、4和5的三角形被用来确定一个直角，并没有什么根据。

巴比伦人甚至能根据弦的长度与圆的直径来计算弧的高度。其实际运算可用公式表示（欲求弧的高度，要首先求直径的平方减去弦长的平方之差，其次求此差值的平方根，再次用直径减去这个平方根，而后取其差值的一半即可。——译者注），并完全正确。这意味着对类似三角形的性质有所了解，当然这并不意味巴比伦人已经掌握了欧几里得用来推导其公式的那些纯几何学的各种步骤。

实际上，我们并不知道前面那些几何学定理是如何得到的。它们肯定不是像欧几里得几何学那样，有目的地从抽象空间的性质里推导出来。根本就没有“纯几何学”的证据。在数学古本和算板上的几何问题常附有图，但这些图即使和合同上的土地平面图相比，也不见得更合比例。另一方面，装饰工艺品的图案、一堆堆的砖块、拼装的木盒都常常给予几何学命题非常直观的表现。方格图案几乎在篮子、席子的编织过程中同时产生，具体说明了求四边形面积的几何公式。凑巧的是，陶罐上流行彩绘方格纹，正好是最早象形文字泥板的时代，在这些泥板上苏美尔人运用了这个公式。

早期东方的装饰艺术很大程度上是几何图形。纺织品或镶嵌物品上的三角形和长方形图案很容易说明毕达哥拉斯定理。基于横截圆圈或方形及三角形的设计十分流行，可以显示如何计算弧度的高。但是，这些花样都出自艺术家与工匠之手，与数学家无关。

数学文献从未阐明过一条普遍规则或公式，也不曾提出求长方形或圆形的面积和求圆柱体或截顶锥体的体积。除了像介绍的两个埃及例题那样提供实际运算之外，没有任何陈述。除了引用问题本身，课本都不对算法的原理作任何解释。实际上，所处理的数量很少是纯粹的数字，一般是多少条面包或者多少腕或多少蒲式耳（英、美计量干散颗粒的容量单位，一个英制蒲式耳≈36.37升。——译者注）。

实际上，数学课本完全由一些在生活中一步步出现的具体问题所组成，就像学校里的算术例题一样。而且就像学校里的算术，问题的值可以如此选择，使得一个理想的结果能够用文书所掌握的方法得到：圆的直径总是正好可以被“9”除尽，而平方则不会产生开不尽的平方根。这些例子并不说明一个纯数学题的推导过程可以用来解决日常问题。它们只说明一些实际中产生的问题所能圆满解决的办法。

不过，产生我们数学课本的活动并不限于记录交给文书的问题以及他解决这些问题的方法，也不仅是将这些问题简化来教初学者。那些例题看起来是有意识编成的。它给人以这样的印象：较高学习中心的学者们自己准备一些问题，看看自己能如何完美解决。这样，他们可以构建一些技巧，以后不仅可以用于处理例题中的熟悉任务，而且也能解决其他同行——星相家——面临的问题。

到了这种程度，巴比伦的数学算板至少表现出一种和提交给皇家学会那些论文一样，具有严格的科学“理论性”。它之所以有理论性，从某种意义上说是因为它的每项调查并不刻意针对任何具体问题的答案。但是从整体上来说，被调查的问题是严格根据所有特定实际问题而制定的。确实，这看上去好像他们所展示的研究，局限于在一个有意可预见实用可能性的范围内。不管怎样，都没有对结果加以总结的任何企图。

如果我们能够确切了解调查成果是怎样安排的，那么这将有助于我们估计埃及和巴比伦数学的科学价值。在一本科学的算术书里，今日的例题都是按所使用的方法归组，不管问题是涉及食品商、建筑师、测量师还是将军。现存材料中很少指出埃及和巴比伦所遵循的安排规则。在莫斯科古本中，没有任何可分辨的系统安排。莱茵古本中的例题被按如下方法特地归组：

ⅰ.问题1—6，将10块面包在1、2、6、7、8和9个人之间分配。

ⅱ.7—20，“求全法”（completions）：普通分数和假分数的乘法。

ⅲ.21—23，“求全法”：分数的减法。

ⅳ.24—38，一元一次方程式。

ⅴ.39—40，按不等份分配面包。

ⅵ.41—47，各种不同形状仓库里所藏谷物的数量。

ⅶ.48—55，不同形状的土地面积。

ⅷ.55—60，角锥体的斜度。

ⅸ.60—78，酿酒人的问题。

ⅵ—ⅸ基本上与它们的题材相关——所处理的材料或关注的工作。确实，题材的相似性常常包含了解决办法的相似性。但是，ⅶ中的面积包括四边形、三角形和圆形；vi中的容器有立方体、圆柱体等等。“求全法”一词被用于两种明显不同的运算中。

看来，埃及那些例子是为便于雇主、仓库管理员、测量师、酿酒师的参考而非由任何逻辑共性而安排。

在巴比伦，我们总的来说必须依赖单一算板上的小批题例。一块斯特拉斯堡的算板上有三十道题，全部是关于划分三角形土地。其中三道今天可以用一次方程解决，其余七题须用二次方程。大英博物馆的一块算板上有三十二道题能解读。它们涉及：（ⅰ）土方搬运并将工作指定给个别劳工以完成工程；（ⅱ）砌一个圆柱形井壁的砖头数目；（ⅲ）水钟的划分；（ⅳ）编织所耗工时；（ⅴ）估算不同面积土地所产的谷物；（ⅵ）一个圆圈的弓形高度。它们涉及各种几何关系的问题。但是，如果熟悉这些几何关系，所有问题都可以用简明的比例或简单的面积、容积计算来表达。算板的书写者难道意识到表面差异如此之大的问题之间的内在关系吗？

总之，我们必须根据其结果来判断我们文献中所含工作的科学价值。它们展示了将问题系统陈述的高超技巧。题例研究使学者习惯于安排材料，专业的实践可以将其用一种适于数学处理的方法来加以表现。

而这些题例说明了编撰者的能力。埃及人因其不完善的象征性和粗糙的运算技巧而受到严重连累。尽管他们能够惊人地成功处理分数，但是这些很可能仍阻碍了进步。在纯数学中，从现存的题例判断，埃及人的最高成就，应该是今天被称为复合比例和一元一次方程。后者的一个题例引自莱茵古本（No.34）：

某数，将它和其半与其四分之一相加等于10：

∨1　　　　　　　　　1+1/2+1/4

2　　　　　　　　　　3+1/2

∨4　　　　　　　　　　　7

∨1/7　　　　　　　　1/4

1/4+1/28　　　　1/2

∨　1/2+1/14　　　　1

该数和为5+1/2+1/7+1/14。

这里采用的方法只是做加法1+1/2+1/4以求10。随后还有一个验证：答数的一半和四分之一，加上答数，结果显示此和确为10。

借助六十进位分数，巴比伦人要比埃及人更胜一筹，并具体解决了一些十分细致的问题，包括二次方程甚至三次方程。可以举一个较为简单的二次方程。（注意：深度总是以GAR表示，其他度量则以腕表示，如，1/12GAR）

“长，宽。长1；40。长超过宽1/7，加上1腕也就等于深。所掘容积为；50。求其宽和深是多少？

你，用深的分数12乘以长1；40，得20。求20的倒数，得；3。将；3乘以；50，得；2，30。用7乘；2，30，得；35。从长1；40中减去；35，得1；5。从1；5（；32，30）之中分出一半，求；32，30的平方，得；17，36，15。从中去掉；17，30，得；0，0，15。以平方根；2，30加；32，36，并（从中）减去，你就会得到宽度为；35和；30，深度为7，35，5。此即运算过程。（总数未计算完毕）

这些和其他技术方法通过直接或者间接的途径传入古希腊，形成了他们更高的数学基础。就巴比伦人而言，仍受制于他们实用性目的。由于他们的将军和商人满足于粗略估算，于是他们一直满足于截顶角锥体容积的错误公式和“π=3”这个荒唐的近似值！

早期人类为了航海与农业的实际需要，必须研究天体的运动。得益于纬度10度线至35度线之间大体来说总是晴朗的天空，天上事件以及与人间俗事之间的规律性很可能马上就被人们所认识。借助对天体仔细观测以预测收获季节和洪水来临的成功，由此而引发了一种荒唐的希冀——借助于这种观测来预测影响人类命运的其他事件（第103页）。城市革命之后，天文学仍然被研究，兼有调节农业生产和相关节气的合理目的，以及出于占星术预测的虚幻目的。该研究现在得到了有组织国家权力的支持，并用新工艺所能制造的各种机械装备起来，其成果被文字记载下来。

在埃及，天文学仍为指导农业实践所必需。确实大约在公元前4236年，埃及人已经发明了一种历法，试图将按月计算的旧历法与太阳年历法加以协调。不过，该历法不够精确，无法用来成功调节农耕。最初几个王朝中曾试图对其加以修改，但被放弃了，究竟因其不中用，还是祭司的反对则无从知晓。但是，真正的年伴随着那个含糊不清、不够可靠的官方年一起被认识了。

大约写在公元前2000年的一段铭文说道：“年初盛宴上的祭品，在新年宴会上，大年，小年……”提及的第一年就是那部历法中含糊的官方年。新年是根据天文学天狼星升起的时刻确定。大年也许是长达1461年的天狼星周期，小年也许是根据我们闰年规则来纠正历法的一个4年周期。调节因计算矛盾而产生的令人头疼数字被留给了王室官员，最终交给了太阳的祭司们。

在巴比伦，有组织的天象观测活动依然十分必要。巴比伦人从来未曾为官方目的建立一个太阳历，而一直承认三百五十四天为一年的阴历，甚至那些月份的开端也都是根据经验而定。在汉穆拉比王朝的通信录里（大约公元前1800年），我们读到了官员们的报告，这些官员专司观察新月出现。新月份的开端正式始于这些官员向国王报告月亮再次出现的时刻。负责这样的工作，王室天文学家们自然被训练得敏于观察，事实上已经成为令人惊叹的专家。

当然，阴历如不修正，会对社群与农业节气交织在一起的宗教生活产生极大的混乱。在实践中，它用阶段性设置闰月来予以纠正。但并不曾正式建立设置闰月的系统，这项工作交给了国王，当需要时他发布旨令将官方年加上一个闰月。他很可能是依星相家的建议行事。后者很可能知道相当于太阳年的年历。但就像在埃及，这是根据星体观察来决定的。

所以在埃及和巴比伦，天体运动被系统观察来兼用于实用和迷信的目的。要把这类观察变成一种精确科学的材料，就必须对时间划分和测量仪器的设计加以标准化。不过，这种划分与测量对于城市文明的生活同样是必需的。

对于工场和田间的劳作而言，分别对昼夜加以等分应该更有用。实际上，埃及人只承认这种划分。他们把昼夜各分成相等的十二“更”（季节小时），自然地随季节绝对长度的变化而变更。另一方面，巴比伦人将昼夜，也即地球自转一周划分为十二个双时。在两种情况里，“12”这个数字很可能是根据一年的十二个月份设定的。

为了确定白昼的时刻，这两个民族采用了固定物体投影的移动。现存的埃及日晷（新王国及较晚的时期）利用了石板投影的宽度。较早的例子看起来不像是根据太阳高度的变化来进行校正。在巴比伦，则用日晷的指针，即一个直立部件的投影，但无实物留存至今。

为了划分夜晚，两个国家都采用了水钟（即我国古代计时装置“滴漏”。——译者注）。时段的长度用定量的水从标准或有刻度的容器流出或流入来测量。在埃及，那些滴漏水的容器是圆锥形的，因此难以得到准确的结果。惟有外壁呈抛物线形状的容器，水平面在等长的时段中才会下降等长的距离。这种仪器因为人们必须测量“更”的季节性差异而变得更为复杂。

起初，这些“钟”依靠附加两个或者更多的排放口来进行调节，大约是钻不同的孔。在公元前1557年至公元前1541年之间有所改进。一位高级官员阿默海特（Amenemhat），在其墓志铭中告诉我们，他在早期文献中发现，冬夜与夏夜之比为“14”∶“12”。于是，他为君王制作了一座只有一个排放口的钟，将一年中所有季节的夜晚作了正确的划分。

这篇非同寻常的铭文证实，当时已经有历代归集的观察结果可供后人利用。但同时该文也记载了一项发明，它只有以一种特定目的，通过精心实验方可实现。显然，这项发明应该归功于阿默海特这位并非专司计时的官员，他应以此而感到骄傲。这听起来像是阿默海特在闲暇之中做了一项他并无兴趣的研究。

巴比伦的水钟为圆柱形。前面提及，一块数学算版上的问题关注它们的刻度。季节差异的调节已经没有必要（第216页）。但是，自亚述时代以来我们已有了一张逐月把“时辰”（双时）转化为“更”的表。

既有动机的启发，又有了前文提及的装置，东方的星相家就处于一个地位，来了解天体运动中那些甚至难以察觉的规律，并积累数据来构建一门数理天文学。

埃及人将天象制成图，画出群星系列，并将成组的星体合成星座。这些星体围绕北极星特别引人注目，所获得的知识看来很早就被发现有实际的用处。自古王国时期起法老就举行一种名为“牵索”的仪式。在这种场合上国王发表的传统演说词仍留存至今。

我用锤把握住了栓。我和萨非哈比女王（Safekhabui）一起拿着测量线，我注视着群星向前运动。我的眼睛凝视着（？）大熊星座。我以小时为准计算着时间，决定你的庙宇的边界线。我面向群星的轨迹。将我的目光投向（？）大熊星座。那里站着以小时计时的人。我决定了你庙宇的各个边缘。

该仪式显然关注于庙宇的方位。显而易见，其目标在于用观察某种相当于我们“北极星”的最高点来决定子午线。这种测定之成功也许是借助大金字塔的判断，其两边分别仅偏离正北2′30″和5′30″。当然，准确测定子午线是进一步准确观察的基础。

公元前2000年之前，埃及人已在对角线原理上进行恒星钟或日历的实验了。这些只能从棺材中了解到，它们被绘于棺盖的内侧，以便让墓主能读出时辰。棺盖被分为三十六条纵列，每列代表一旬，也即为期十天的一个星期。十八、十九两列之间又有一个间隔，或许表示夏至。横向被分为十二排以代表夜间十二个小时，并以六与七排之间的一道线表示午夜。在黄昏与黎明之间较短夏夜中升起的旬星（decans）（充当黄道十二宫功能，但处于天空的赤道带上），被画入十八与十九列间适当的排位中。它们在其他排位的余下行列中沿对角线反复出现。

这种表格忽略了五个闰日、季节性小时的不同长度及其他一些因素，因此充其量并不准确。棺材装饰者并非天文学家，所以绘出了这种滑稽的图像。这个棺盖仍然提供了埃及人所拥有的知识、以及他们如何应用它们的线索。五百年之后，森穆特（Senmut）的墓葬装饰以一种太阳系的图案，它所反映的天文学知识与棺盖上的没有根本差别。那里有几对孔表示北极星。看上去像是为岁差作的准备。底比斯的纬度被当作北极星高度。

这些丧葬纪念物是埃及天文学仅存的资料，因为还没有发现天文学文献。它们肯定体现了好几个世纪系统观测和记录的结果。然而，它们没有一种能够借助复杂运算帮助来作预测的数理天文学迹象。埃及未见有日月食记录的留存。事实上看来对月亮以及行星的运动不太关注，或许是由于较早采用非阴历的历法，及太阳神在国教中地位极其重要的缘故。

像埃及一样，巴比伦的星相图被精心绘制，并附有黄道带作为一个参考的平面。但是，阴历与星相学的先入之见导致古代天文学家特别关注月亮和行星的运动，还有日月食及掩星现象。对于这些现象的细致观测全部被忠实地记录下来，为巴比伦人揭示了一些不太清楚的规律性。例如，公元前2000年之后不久，有记载指出，大约在8年中，金星将在地平线的同一点上重现五次。

大约1000年之后，巴比伦人开始将本书第202页以后诸页介绍的数学应用于天文学，然后从事测量、计算和预测等非凡的工作。幸好这种数理天文学并不在本书探讨的时期之内，不然又须用好几章的篇幅做解释。但仍需强调的是，在埃及所有这种研究基本上都是以荒谬的星相学目的而从事的。可是它提供了正确的资料，没有它，希腊与现代天文学都将不可想象。

试图治疗疾病很可能在城市革命前好几个世纪已在尝试。大概早期医药学理论就像今天那些野蛮人一样，基本上是巫术；而医疗实践也与咒语和魔术密不可分。第55页旧石器时代葬俗的解释使这种推测较为可信。即使如此，求助于外敷药、内服药和推拿术，某些确实有效的疗法由此而被发现。一旦精于魔法的专业人士在社会上出现，他们很可能会垄断诊疗的技艺。

第二次革命之后，我们发现美索不达米亚的医生同时也是祭司；而在埃及，祭司与医生的职能同样密不可分。然而，伊姆霍特普（Imhotep），第一个留名于医学编年史的人物，却曾是佐瑟王（Zoser King）的建筑师，尽管他最终成为医疗之神。苏美尔和埃及的医师都是文书，他们像星相家那样，将其观察用文字记录下来。在尼罗河谷，早在第三王朝就提到了医书。这些医书的样本从公元前2000年后不久就流传至今。在美索不达米亚，留存的医书都是在公元前1000年后编撰的。不过，有些可能是再早一千年书版的抄本。

在这两个国家里，留存至今的医书都是像第102页所解释的那样，采取病例手册的式样。没有解剖学或生理学的论文。然而，特别是埃及人，很可能从制作木乃伊的实践中获得了准确的人体解剖学知识。尽管如此，身体器官的象形符号来自动物，而非人体解剖学。“心脏”的符号是公牛的心脏；“子宫”的符号是母牛器官。因此，埃及的医药文献可能上溯到广泛实践木乃伊之前的时期。

实际上，医学几乎不受尸体防腐师所获知识的影响，他们从事的是一种独特和专门的职业。虽然心脏在血管系统中的中心地位被认识，但文献表明生理学知识十分粗浅。同样的评论也适用于巴比伦的医学著作。甚至在亚述文献中，器官的功能也常被误解。膀胱从未被提及，神经与肌腱也不分。

在埃及和美索不达米亚，疾病都被认为是邪恶或神秘魔力作祟所致。于是，治疗基本上是靠咒语和仪式活动以去邪驱魔。可是在行动中往往采取内服符水和外敷药膏的形式。符水越令人厌恶，魔鬼逃逸越快，人与动物的粪便常常被使用。这种令人作呕的医疗传统是疾病由魔力使然理论的残存，并可在现存最古老的医学文献中找到。同一理论自然赞成采用强烈的泻药或呕吐剂作为去邪驱魔的主要手段。

受上述理论的主导，埃及与巴比伦的医师缺乏研究致病客观原因，或系统调查人体器官功能的积极性。维持这种理论与祭司的特权交织在一起，以至于对其挑战会像异端一样被视为叛逆。将医书归功于神，将“医学置于人类观察范畴之外，好像一种超自然的起源”。毫不奇怪的是，除了发现某些有用的药物和认识到一些明显的生理学真相之外，东方医学鲜有价值可言。

外科处于一种不同的地位，它更像一门手艺而不是宗教的分支。外科医师必须处理外伤，它们完全由具体动力所造成，无法将其归因于超自然力量。于是可以想见，外科较少像内科那样受巫术思想的支配，自然就比较客观和科学。

汉穆拉比法典（公元前1800年）规定了外科医师的酬金（二至十个舍克尔，当时一个机械匠的年薪是八个舍克尔）和手术失败的罚款。但是，美索不达米亚没有外科文献流传至今。难道这是因为外科被看作是一门手艺而不予记载传世吗？

我们从埃及得到一篇有价值的论文，被称为埃德温·史密斯古本（Edwin Smith Papyrus）。就其现存的形式而言，其年代应定于公元前第二千年上半叶，但是布雷斯特德提出一种很有分量的见解，认为它基于可上溯至金字塔时代（公元前2500年）的一个原本。这证实了我们的推测，就是它已经摆脱了巫术成规，记录客观的观察，并完全依赖药物和手术进行治疗。

就像医学文献，这是一种病例的集子，但是与所有埃及医学古籍一样，这些病例是系统编排的。它们按患病的部位归类，始于头部止于脚部。亚述人的医学文献及甚至中世纪的医学论文也遵循这一系统。每一个病例，首先对伤病分类；然后是检查，在必要的地方作触诊；接下来做预测或诊断；最后是治疗的措施。最为突出的是，有十四个病例描述十分详细，尽管最后还是宣布无可救药，是“一个不可救治的病例”。对于外科医生不想治疗的伤患的详细记录和描述，看来显示了比早期文献中常见的对知识更加客观的态度。实际上，布雷斯特德甚至指出该古本是“已知最早的自然科学观察的记丛”，并将作者称为“第一位自然科学家”。

这样一种描述夸大了观察的客观态度特点。十分重要的是要知道，何时一个病例无可救治，就像在巴比伦，特别是如手术导致死亡或永久残疾，在埃及会受到严厉惩处。还有，记载的观察是深刻的，它甚至记录了错位的颈椎如何伴有瘫痪和阴茎的勃起。下面这一段文字，值得我们完整地引述：

关于他头皮下颅骨受伤的指导。如果你检查某人颅骨上有伤……你发现他的颅骨受伤部位像是熔化铜上形成的皱纹，里面有东西在你的手指下颤动和抽搐，就像婴儿头骨尚未愈合时那最薄弱的地方，一旦当你手指下的部位不再抽搐，这就是个“无法治愈的病例”。

这是一个对大脑非常出色和准确的描述。这里纪录的观察不可能在制作木乃伊的过程中获得，而必须是对一个受伤士兵或工人充满智慧的研究。

就目前来说，这篇论文为埃及外科学塑造了良好的印象。但是，如果它如布雷斯特德所想，是基于可追溯至金字塔时代的古本的话，那么埃及外科学也像其他学术科学一样经历了相似的困境。自公元前2500年以来，我们没有任何进步的证据。我们匿名的作者没有显示任何科学精神的发展，而只是对古老成果的盲目抄袭和对古人智慧的膜拜。当然，后来医学古籍中的荒谬之处不能作为当时外科水平的证据。但是，同样也缺乏进步的正面材料。

总的来说，对埃及与巴比伦“科学文献”的审视，并没有表现出在文字为知识传播带来革命之后，我们最先曾期望的那种进步的加速。现有的文献确实是太少而无法用来作为确凿结论的基础但它们至少与本书（第188页）表达的那种预兆并不矛盾。

另一方面，文献来源确实为知识和传播的汇聚提供了证据，就如前几章所追溯的那样影响了学术科学。就像我们曾经对它们的描述，在埃及和巴比伦，数学、天文学和医学具有十分不同的形式，并沿各自的路线发展。它们并不排除思想交流的可能性，而这种交流确实影响到这两个国家科学的基础结构。例如，埃及的数学家从巴比伦人那里学来了几何定理，但没有修改他们的符号系统、他们的术语或他们的分数概念。事实上，一个克里特？处方为一个埃及医学古本所引用，而俾布罗斯一位亚洲人所开的处方，被收入埃伯斯（Ebers）古本中。

几个朝廷之间交换医师、占星术士和魔法师，在埃及约公元前1350年的外事档案（发现于阿玛纳土丘［Tell Amarna］）中，以及约百年后博格茨科维（Boghzkeui）赫梯人的同类档案中被提及。公元前1500年后不久，学者们就像一千年以后那样，在埃及小亚细亚、叙利亚和美索不达米亚各个都城之间自由来往。外事档案本身也是传播的结果。阿卡德语是所有东方君主国家的外交用语，巴比伦楔形文字也被普遍采用。埃及法老与赫梯国王很可能必须引入巴比伦文书来书写它们，或训练本地文员。

语言和文字很可能随其在文献中体现的思想一起传播。特别是赫梯人，他们出色地消化了巴比伦科学的所有成果，同时也大量汲取了埃及的成果。而巴比伦和埃及的观念也反映在最早的腓尼基文献中。如果埃及人借鉴了克里特的处方，那么米诺斯人很可能更加得之于尼罗河的恩惠。早在希腊人从黑暗时代中挣脱出来之前很久，巴比伦与埃及的科学成果已为爱琴海沿岸所熟知。

可能传播之范围并不以此为止。印度城市装饰艺术里用圆规画的圆、外切三角形与正方形，可以说明公元前2500年已有“几何定理”。二千年之后，梵文礼仪手册见证了几何学的广泛应用。

在此期间，印度很可能对巴比伦数学的发展有所贡献，实际上，还没有肯定的证据予以支持或反对。可是在较晚的时候，带有我们所用的0这个符号的记数系统是由阿拉伯人从印度那里借鉴来的。因此，城市文明与文字的三个最初中心很可能对人类科学传统的形成做出了持续的贡献，再经希腊人发展而传给了我们。

关于巫术、宗教与科学的说明

在本书（第55页）中，我们谈到一种巫术仪式，是由会引起一种科学实验一样的推理而激发的。我们并不认为这种逻辑过程可被视为与在现代实验室里一样，但我们接受泰勒（Tylor）和弗雷泽（Frazer）对巫术起源所作的解释。那只是一种起源的理论，并不是对巫师行为动机的描述。作为一种起源的理论，它可与基于当代野蛮部落研究的结论相匹配——一个人施展魔法，是因为他相信巫术，而不看将会发生什么。他的社会相信巫术的功效，检验是不可思议的。巫师的态度与实验科学家的态度大相径庭。

再者，给予巫术过程以简化的、因而也是理性的解释是方便的。于是，我们必须坚持：不管是现代医师还是旧石器时代的艺术家-巫师，或埃及的巫师都确实无法给予巫术以一种合乎逻辑和言之成理的理论。这点从已述及行为中自相矛盾的情况来看是足够清楚了。为方便起见，我们将巫术与宗教加以区分。前者是由非人格化的神秘力量所直接控制，而后者这种力量是人格化的，因而可以像人一样用恭维和乞求来施加影响。但是实际上并没有显著的区别。大部分祭祀仪式也被设计成从巫术上来强迫或协助神祇。比如，这就是无数祭祀表演和酒肉献给神祇的意义所在。很明显的是，科学不会也不可能直接从巫术和宗教中产生。我们已详细阐明，它起源于实用技艺，而且起初与之密不可分。一旦将类似医疗和天文学这样的手艺归入宗教，那将会扼杀科学的价值。