2.5.2 数学课程知识图谱构建
课程知识图谱作为个性化知识服务、智能教育和智慧数字图书馆的重要组成部分。以数学类课程为研究对象，本节描述基于数学课程本体的数学课程知识图谱构建方法。
数学课程知识图谱具有三个特点。第一，根据知识是否包括断言成立的约束条件，将数学课程知识图谱分为基本模型和扩展模型。第二，引入概念的正实例和负实例。其中，正实例是指该概念与实例具有上下位关系，负实例是指该概念与实例不具有上下位关系。第三，构建与数学课程内容本体的有机衔接机制，即构建数学课程内容本体，与数学课程知识图谱的映射关系。构建数学课程知识图谱的目的在于为课程知识提供形式化和结构化的知识表示和知识组织模型，从而提高数学课程知识服务效果。
为清晰起见，首先介绍课程知识图谱的定义，然后论述数学课程知识图谱构建的准则和方法。
定义（课程知识图谱）：课程知识图谱包括基本模型和扩展模型。基本模型是三元组（KE，KR，KE）和（KE，KA，KV），扩展模型是元组（KE，KR，KE；K11，K12，…，K1m）和（KE，KA，KV；K21，K22，…，K2n）。其中，KE是概念、正实例和负实例集合，KR是关系或运算集合，关系集合包括概念与实例的关系、实例与实例的关系，KA是属性集合，KV是属性值或断言集合，K11，K12，…，K1m是（KE，KR，KE）成立的约束条件，K21，K22，…，K2n是（KE，KA，KV）成立的约束条件，m≥1，n≥1。
数学课程的特点是断言成立往往具有约束条件。另外，数学课程教学旨在培养学生的概念理解能力、思维能力和灵活运用能力。这是培养学生逻辑思维、形象思维、抽象思维和空间思维的前提和基础。由此可设计基于数学课程本体的数学课程知识图谱的构建准则：
（1）分层融合性。数学课程知识图谱是基本模型和扩展模型的融合。一方面，通过基本模型描述数学课程的核心知识。例如，设Gr为群，H是Gr的非空子集，“（H是Gr的子群，充要条件，（∀a，b∈H有ab∈H）∧（∀a∈H有a-1∈H））”。另一方面，通过扩展模型描述核心知识的约束条件。例如，设Gr为群，H是Gr的非空子集，“（H是Gr的子群，充要条件，∀a，b∈H有ab∈H；H是有穷集）”。
（2）引入概念的正实例和负实例。例如，完全图K3是平面图的正实例，二部图K4，4是平面图的负实例。
（3）与数学课程内容本体的有机衔接。数学课程内容本体重点刻画特定数学课程概念层次的知识，数学课程知识图谱重点刻画数学课程实例层次的知识。数学课程学习难点之一是如何利用概念化知识来解决实例层面的应用问题。
目前，知识图谱构建包括自顶向下和自底向上的构建方式［25，26］。根据数学课程的特点和数学课程对象的先修关系，采用自顶向下的知识图谱构建方式。以离散数学课程中图论，解释如下。
（1）根据数学课程上层本体构建数学课程内容本体。例如，抽取的概念包括平凡图、完全图、简单图、多重图、欧拉图、哈密顿图。抽取的概念属性包括树的顶点数、边数、权重。抽取的概念运算包括命题公式的否定、合取、析取、蕴含等运算。抽取的概念关系包括（欧拉图，上下位关系，平凡图）和（哈密顿图，上下位关系，平凡图）。抽取的概念断言包括“平面图的子图均是平面图”。
（2）根据数学课程上层本体构建数学课程习题本体。根据数学课程上层本体，构建数学课程习题的概念类、运算类、属性类、关系类、断言类、实例类的实例。
（3）对于数据源，根据数学课程内容本体和数据课程习题本体来构建数学课程知识图谱。即，从数据源中进行实例抽取、概念实例关系抽取、实例关系抽取、实例运算抽取、实例属性抽取以及实例属性值或断言抽取。基于离散数学，可以获得以下知识，比如：
（a）抽取的概念实例包括：非平面图的彼得森图。
（b）抽取的概念实例关系包括：（非平面图，上下位关系，二部图K5，5）。
（c）抽取的实例关系包括：（二部图K5，5，子图，二部图K3，3）。
（d）抽取的实例运算包括：对于实例彼得森图，运算为插入2度顶点。
（e）抽取的实例属性的属性值包括：（奇数顶点的完全图Kn，边着色数，n）。