3.3.1 农历年表示和转换
本节将介绍农历年的三个主要表示系统、以及农历年与公历年之间的转换。这些表示系统包括：天干地支计时系统（The Stem-Branch System），生肖计时系统（The Animal Sign System），以及皇帝封号年号计时系统（The Emperor's Title and Reign Title System）。
（1）基于干支系统的农历年表示。
干支系统自古以来就被用作主要的计时方法。干支系统包括十个有序天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二个有序地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）。这六十个干支组合表示了一个60个农历年的周期。例如，A.D.1902、A.D.1962、A.D.2022等被称为壬寅农历年（Ren-Yin Lunar Year），是壬寅农历年类（Class of Ren-Yin Lunar Year）的实例。从公元1903年到公元1961年是一个完整的周期，从公元1963到公元2022年也是一个完整的周期。需要注意的是，由于六十个干支组合的循环性，每个组合实际上表示一类农历年。
（2）基于生肖系统的农历年表示。
十二生肖系统是十二生肖的有序集，用来表示十二个农历年的周期。例如，公元1998年、公元2010年和公元2022年均被称为虎年（Tiger Lunar Year），是虎年类的实例，它们均对应第三个地支寅。
（3）基于皇帝封号和年号的农历年表示。
在中国历史上，皇帝基本上均采用封号或年号来表示农历年。一个朝代中的每个皇帝均以其在位的第一年开始计算农历年，作为使用皇帝封号或年号的第一年。例如，清朝皇帝爱新觉罗·玄烨的年号是康熙，其在位时间从公元1661年至公元1722年，所以公元1662年被称为清朝康熙元年。
设Sd是所有朝代的集合，Sep是所有皇帝的集合，Sty是集合｛封号（Title），年号（Reign Title）｝，Set是所有皇帝的封号或年号集合，Sy是公历年集合。下面介绍三个函数。这些函数用于获取朝代d皇帝ep的封号或年号et的起始公历年，结束公历年以及第n个公历年，ty表示et的类型，值为封号或年号。构建转换公理TCT1。
a）starting-solar-yearFn（ty，ep，et，d）：Sty×Sep×Set×Sd→Sy.
b）ending-solar-yearFn（ty，ep，et，d）：Sty×Sep×Set×Sd→Sy.
c）nth-title-solar-yearFn（ty，n，ep，et，d）：Sty×N×Sep×Set×Sd→Sy.
TCT1.（starting-solar-yearFn（ty，ep，et，d）＝sy1）∧（ending-solar-yearFn（ty，ep，et，d）＝sy2）→（nth-title-solar-yearFn（ty，n，ep，et，d）＝sy1＋n-1）
∧（1≤n≤sy2-sy1＋1）
对于清朝皇帝爱新觉罗·玄烨，有下面的事实：
a）starting-solar-yearFn（Title，Ai-xin-jue-luo Xuan-ye，Kang-xi，Qing）＝A.D.1662.
b）ending-solar-yearFn（Title，Ai-xin-jue-luo Xuan-ye，Kang-xi，Qing）＝A.D.1722.
c）nth-title-solar-yearFn（Title，n，Ai-xin-jue-luo Xuan-ye，Kangxi，Qing）＝A.D.（1722＋n-1），where 1≤n≤61.
（4）农历年表示和公历年表示的转换。
对于时间点t，将讨论时间点t所属的公历年表示和农历年表示之间的转换方法。首先，引入相关函数和谓词。
为了在软件系统、知识图谱和实践应用中使用本章的中文时间本体，假定时间点t是可识别的。例如，如果时间点t表示一个公历月或农历月，则其所属的公历年或农历年（即更大的时间粒度）在t中是需要说明的。由此，引入yearFn（t，sl1），monthFn（t，sl1），dayFn（t，sl1），hourFn（t，sl2），and shichenFn（t，sl3），其中sl1∈｛solar，lunar｝，sl2∈｛solar｝，sl3∈｛lunar｝。这五个函数的值域分别是t所属的公历年／农历年，公历月／农历月，公历日／农历日，小时，时辰的集合。例如，yearFn（2022年1月30日，lunar）＝辛丑年，yearFn（2022年2月1日，lunar）＝壬寅年，yearFn（2022年1月30日，solar）＝2022年，yearFn（2022年2月1日，solar）＝2022年。
下面给出一些函数和谓词。
（1）关于模n余数函数，函数modFn（x，n）计算整数x除以正整数n的余数，0≤modFn（x，n）＜n。
（2）关于干支系统农历年表示，谓词Predicate stem-branch-combination（sb，s，b）为真，当第s个天干和第b个地支构成第sb个干支组合。
（3）关于时间点表示隶属的干支系统索引，设v是集合｛lunar year，lunarmonth，lunar day，Shi-chen｝中的元素，谓词stem-branch-no（t，v，n）表示t所属的v干支组合是干支系统中的第n个索引。相应地，定义了谓词celestial-stem-no（t，v，n）和terrestrial-branch-no（t，v，n）。
（4）关于农历日的索引，last-lunar-dayFn（ly，lm）是一个函数，用于获取农历年ly中农历月lm最后一个农历日的索引。其中，ly和lm分别代表农历年和农历月。
由十个有序天干和十二个有序地支可以构成120个组合数，但是，干支系统只包含60个组合数。下面给出干支系统中60个组合数满足的约束公理：
TCT2.∀sb∀s∀b（stem-branch-combination（sb，s，b）
↔（s＝10-modFn（10-sb，10）∧b＝12-modFn（12-sb，12）））
对于时间实体，若其由公历计时系统所表示，则在信息系统中需要计算其对应的中国传统计时系统表示方法，反之亦然。因此，需要构建公历年表示和农历年表示之间的映射关系。以下公理TCT3和TCT4给出公历年表示映射的干支系统农历年表示的计算方法。TCT5和TCT6给出干支系统农历年表示映射的公历年表示的计算方法，其中k是整数。TCT7用于计算一个农历年的天干和地支表示。
TCT3.∀t∀y（before（A.D.1，t）∧y＝yearFn（t，solar）
→stem-branch-no（t，lunar year，60-modFn（3-modFn（y，60），60）））
TCT4.∀t∀y（before（t，B.C.1）∧y＝yearFn（t，solar）
→stem-branch-no（t，lunar year，60-modFn（modFn（y，60）＋2，60）））
TCT5.∀t∀x（before（A.D.1，t）∧stem-branch-no（t，lunar year，x）
→yearFn（t，solar）＝60k＋x-57）
TCT6.∀t∀x（before（t，B.C.1）∧stem-branch-no（t，lunar year，x）
→yearFn（t，solar）＝60k-x＋58）
TCT7.∀t∀m（stem-branch-no（t，lunar year，m）
→celestial-stem-no（t，lunar year，10-modFn（10-m，10））
∧terrestrial-branch-no（t，lunar year，12-modFn（12-m，12）））
例如，计算公历年A.D.2022的干支组合表示如下：
a）Since before（A.D.1，A.D.2022）为真，60-modFn（3-modFn（2022，60），60）＝39，根据TCT3，stem-branch-no（A.D.2022，lunar year，39）为真.
b）根据第39个干支组合是壬寅，因此获得A.D.2022是类“壬寅农历年”的实例。