李善兰的数学工作

李善兰（1811—1882），字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，晚清时期的著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，我国近代科学的先驱者。自幼爱好数学，青少年时代自学和研读了许多中西数学和天文学典籍。三十岁以后，已有很高的数学造诣，并陆续发表了一些数学和天文学方面的重要研究成果。1852年，李善兰到上海墨海书馆，与英国汉学家、传教士伟烈亚力（A.Wylie，1815—1887）等人合作，翻译出版了《几何原本》后九卷，以及《代数学》、《代微积拾级》、《谈天》、《重学》、《植物学》等西方近代科学著作，其中《代微积拾级》是第一部译成中文的解析几何和微积分学著作，为近代科学在我国的引进与传播作出了杰出的贡献。1860年后，他先后做过江苏巡抚徐有壬以及曾国藩的幕僚，但主要是从事科学研究工作。1868年开始担任北京同文馆算学总教习，直至1882年辞世。李善兰的学术专著是《则古昔斋算学》（1867）十三种二十四卷，包括《方圆阐幽》一卷，《弧矢启秘》二卷，《对数探源》二卷，《垛积比类》四卷，《四元解》二卷，《麟德术解》三卷，《椭圆正术解》二卷，《椭圆新术》一卷，《椭圆拾遗》三卷，《火器真诀》一卷，《对数尖锥变法释》一卷，《级数回求》一卷，《天算或问》一卷，其中记载了他在传统数学领域的主要成就。例如，“尖锥求积术”是李善兰创造的一种独特的数学方法。在《方圆阐幽》中，李善兰首先列出十条预备定理作为推算的基本依据，并且以求圆的面积为例，说明尖锥术的具体应用。这些预备定理的基本思想是：当n≥2时，xn可以用一个平面图形的面积或一条线段的长度来表示。如其第八条命题说明，高为h底面积为ahn的尖锥体体积等于这相当于定积分他利用尖锥术得到了圆面积展开式，三角函数和反三角函数展开式以及自然对数展开式等许多很有意义的结果。[8]李善兰在《垛积比类》中，深入和全面地研究了三角垛、乘方垛、三角自乘垛、三角变垛等求和问题，发现了多种类型的代数恒等式，其中尤其著名的是三角自乘垛求和公式：

式中这一公式现在通称“李善兰恒等式”，章用、华罗庚、图兰·帕尔（匈牙利）等现代数学家都对它进行了新的探讨。李善兰对于数论问题也曾作了不少研究。他在《考数根法》中，独立证明了费马定理，即如果ap-1能被N整除，且N为素数，那么N-1必能被p整除。但N-1能被p整除，仅是N为素数的必要条件而不是充分条件。他指出了这个定理的逆定理不成立，并给出另外几个有关素数的判定方法。