关于圆周率的计算

祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π=3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，π=3就越来越不能满足精确计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国，据公元1世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是3.1547。2世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用又在球体积计算中取用三国时东吴天文学家王蕃在浑仪论说中取用以上这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，其中还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠的理论依据。在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽。他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，π的真值在这两个近似值之间，即

3.1415926＜π＜3.1415927

精确到小数7位。这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为15世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al-kâsh）和16世纪法国数学家韦达（F.Vièta，1540—1603）所超过。关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数7位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288边形的边长和24576边形的面积，这样，就要对9位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项纪录在中国也保持了一千多年。中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率3.14，密率这两个数值都是π的渐近分数。其中约率刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米得等都已用到过。密率是π的分母小于10000的最佳近似分数，则为祖冲之首创。关于密率是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。在欧洲，是16世纪由德国数学家奥托（V.Otto，1550？—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。