四、对称美
对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称、中心对称图形，幻方、数阵以及等量关系都赋予了平衡、协调的对称美。略举几例：算式：2∶3=4∶6，数学概念也是一分为二的成对出现的：“整—分，奇—偶，和—差，曲—直，方—圆，分解—组合，平行—交叉，正比例—反比例……显得稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。图形：数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学之美还不仅于此，它贯穿于数学的方方面面。数学的研究对象是数、形、式，数的美，形的美，式的美，随处可见。它的表现形式，不仅有对称美，还有比例美、和谐美，甚至数学的本身也存在着题目美、解法美和结论美。上述这些只是浮光掠影的点点滴滴，然而，也足见数学的迷人风采了。打开这本书，如同进入一个奇妙世界，呈现眼前的尽是数、形变幻的奇妙景观，一个个“枯燥”的数字活蹦乱跳地为你作精彩表演，一个个“抽象”的概念娓娓动听地向你讲述生动的故事。它揭示了隐藏于深层的数学秘密，展示了数学迷宫的绚丽多彩。数的变幻，形的奇妙，有的令你追根究底，有的令你流连忘返，有的令你惊讶感叹，有的令你拍案叫绝走进这个奇妙世界，必将如咀嚼一枚橄榄果，品尝到数学的浓浓趣味，感受到数学王国神异奇妙，从而使我们眼界大开。你将惊呼：“哇！数学原来是这么有趣啊！”奇妙数学大世界魔幻迷题世界短跑冠军真的追不上乌龟吗？魔幻迷题自然数是一个蕴藏无限奥秘的海洋，它既有音乐数、魔术数、奇异数之类各具“个性”的成员，也能通力合作联手并肩，排成奇妙的数阵、幻方。更加奇特的是，数学还能以它自身的力量，形成种种迷人的魔幻。魔幻迷题便是用数学知识表演的魔术，它以数学知识为外衣，引诱人们一步步坠入迷宫，使一个个“不可能”成为“事实”。尽管十分怪异，却又无法否认。它能证明：1=2，2=3=8。甚至证明：任何数加上1后还得任何数。它还证明：梯形上底=下底；大圆周=小圆周。其实，2就是2，3就是3，2与3绝不相等。使2变成3，是在演化的过程中掺了假！掺假的方法很隐秘，很巧妙，只有对数学的公式、定律、性质非常熟悉的人，并且十分精细地观察每一步的演化依据，才能及时发现其中破绽。数字魔幻的演化过程，常常利用“0的特性”迷惑他人，故意把特殊性与一般性糅合一起，使粗心大意者在不知不觉中，按照表演者的思路，误入迷途。数的魔幻反映在形体上，就是形的魔幻。形的魔幻，有的利用人们的视觉错误，用具体物体证明不可能的存在，如：10=9，50=48=49，有的故意将图画错，而后将错就错，按照错误的根据进行证明，从而得出令人意外的结论。有的利用诡辩，偷梁换柱，把他人的思路引入歧途，最终令人昏头转向，真假难辨；有的看似不可能，却是真实的存在，它利用高深的知识（如拓扑学）使问题获解。只是暂时我们还不能理解罢了。形的魔幻是看得见摸得着的具体事物，与数的魔幻相比，更加有趣，更加奇妙迷人！魔幻迷题令人信服地表明：数学，的的确确是一门极富魅力十分有趣而又引人入迷的学科，它的威力大到能使“不可能”成为“事实”。
1.2=1 有人这样证明：设：a=b则a2=a·a=b·b=a·b也即：a2=ab在等式两边减去b2，得：a2-b2=ab-b2（a+b）（a-b）=b（a-b）在等式两边同除以a-b，得：a+b=b因为：a=b，a+b=b也即b+b=b所以：2b=b等式两边有同除以b，得：2=1奇迹出现了！你能找出证明过程中的错误吗？解：表面上看，证明过程中逻辑性很强，每演化一步都持之有据，对等式的性质也很熟练，似乎无懈可击。但细致的推敲一下，便可发现表演者在证明中故意把特殊性当作一般性运用了。因为，既然假设a=b，则a-b=0。等式两边同乘以或同除以一个数，必须“0除外”，等式才能保持“仍相等”的特性。证明中，将式两边同除以“a-b”，而a-b=0，0是不能作除数的！正因为用0（即a-b）去作除数，才出现了2=1的荒谬结果。
2.1=3 有人这样证明：设a=b则：a·b·b=a·a·a也即：ab2=a3在等式两边同减去b3，得ab2-b3=a3-b3 b2（a-b）=（a-b）（a2+ab+b2）在等式两端同除以（a-b），得：b2=a2+ab+b2∵a=b上式也可为：b2=b2+b2+b2即：b2=3b2。等式两端同除以b2，即得：1=3又是一个令人惊奇的结果。1怎么会与3相等呢？还需在推导过程中找毛病。解：这题问题仍出在等式两边同除以（a-b）这个环节上！因为，既然设a=b，那么a-b=0，而0是不能作除数的。
3.2=8 设有一方程为：2x-4=8x-16将此方程变化为：2（x-2）=8（x-2）将等式两边同除以（x-2），即得：2=8这也是个荒唐的结果。但是，它的证明方法错在何处呢？解：上述证明过程又是在等式两边除以同一个（x-2）。那么，其中的x是多少呢？从方程2x-4=8x-16可以求出x的值。即：2x-4=8x-168x-2=16-46x=12x=2x=2，则x-2=2-2=0，原来又是0在作怪！在等式两边同除以（x-2），也即用0去除等式的两端，问题就出在这里。
4.8=7
表演者拿出一张纸，纸上画着8个孩子在跳舞：
表演者又在纸上画了两条线，将纸剪成了三块，并一块一块的展示给观众。
接着，表演者又把三块纸重新拼合起来。
众人再一看，图上原来明明是8个演员，现在却只有7个了！
表演者说：“这个事实，说明8与7也是相等的。”
人们奇怪：为什么失踪了一个演员呢？
解：这题的关健是所画的两条线，剪开后再重新拼合，有一位演员身体重叠了，本来是两个人合成了一个人，因而8变成了7！
5.49=48=50
表演者拿出一个边长7厘米的正方形纸板，要观众求出它的面积。这么简单的问题，大家异口同声地说：
边长×边长=49平方厘米。
接着，表演者在图上画了几道线并沿线将图剪开，这样共剪成了5块。
表演者说：“这纸，还是原来的那张纸。”说着，把剪成的纸片一块一块的展示给人们看。
接着，他又重新把纸片拼合了起来。
众人不禁大吃一惊：正方形的中间竟空出了一平方厘米！
这样，若仍按原正方形算，剪开后一点纸屑也没丢，新图形的面积就是：（49+1=）50平方厘米了！
但是，原来的正方形面积是49平方厘米，从图中可知边长仍是7厘米呀，
这样，图形的实际面积又成了：（49-1）=48平方厘米了！
这岂不是说：49=48=50么？
真使人捉摸不透！
解：其实，剪开后拼成的图，并不是真正的正方形，而是一个长方形，长比宽多厘米，只是肉眼看不出来罢了！
6.64=65
表演者拿出一个8×8方格的纸片。因此纸片上共有8×8=64个方格。表演者又在纸片上画了几道线，并沿线将纸剪开成4片。
然后，又将4块纸片重新拼成一个长方形，要求观众再计算一下长方形的面积。
大家一看，新拼成的长方形，长有13格，宽是5格。这样，新图形的面积共有：
奇怪，还是原来的那张纸，64格却变成了65格！难道64=65？
解：这道题的奥秘与上题相似，实际纸的面积没有变化，仍是64个方格。秘密在于所拼成的图形对角线并不是直线，只是拼成后隙缝很小，肉眼不易发现罢了！
拼成后成为65个方格，多出的1个方格，包含在对角线那么长的隙缝中，一般人当然是不会注意的。
7.大圆周=小圆周
证明：设有大小两个同心圆，大圆半径为R，小圆半径为r。
如果使大圆沿着直线滚动一周，这时，大圆的周长=AA＇=2πR由于两圆是固定在一起的，所以小圆也转动一周，移动的距离是BB＇，即：
BB＇=小圆的周长=2πr因为，AA＇B＇B是长方形，对边相等。
所以，AA＇=BB＇
由AA＇=2πR
∴2πR=2πr也即：
大圆周长=小圆周长在等式的两端同除以π，得：
也即：
大圆直径=小圆直径同理：R=r也即：
大圆半径=小圆半径真是“奇谈怪论”！
解：从表面上看，似乎是合情合理的，实际上其中忽略了一个隐含的因素，
即因为两圆固定在一起，小圆除了滚动之外，还随着大圆的滚动向前滑行。因此，AA＇是大圆的周长，BB＇虽与AA＇相等，实际却并不与小圆周长相等，它要比小圆周长大出许多。
由于大前提错了，由此而推导出的结论也不可能正确。大圆的直径、半径，不可能与小圆的直径、半径相等！
8.世界短跑冠军“追不上”乌龟
美国的刘易斯是世界短跑冠军，他的百米成绩是9秒92，可以说，其快如风。而乌龟，就是在动物中运动速度也是较慢的，它靠四个脚爬行。慢慢悠悠，老半天也爬不了几米。想当年，它与小白兔赛跑，要不是小白兔在树荫下睡了一觉，无论如何它也得不到冠军呀！
现在，有人却要证明：只要乌龟在前，世界短跑冠军也永远追不上它。证明的过程是这样的：设：乌龟在A点向前爬，刘易斯从O点出发向前追。
当刘易斯追到A点时，乌龟尽管速度很慢，还是要前进一段距离的，假定它到达了B点。
刘易斯继续追赶。
当刘易斯到达B点时，乌龟仍然不会停在B点，假定到达了C点，仍是在刘易斯的前面。如此继续下去，当刘易斯追到C点时，乌龟又到达了E点。总之，尽管他们间的距离越来越小，尽管乌龟的速度很慢，却总是在刘易斯的前面。也就是说，刘易斯永远追不上乌龟！
这可能吗？
解：短跑冠军怎么会追不上乌龟呢？
错误的结论产生于用“有限”的方法去处理“无限”的问题了。
假定长跑冠军的速度是10米/秒。乌龟的速度是1米/秒，它们间的距离OA若在9米以内，不需1秒即可追上。若OA在90米以内，不需10秒也便追上了。
同样，我们也可以证明。
设：OA=9米，刘易斯前进速度为10米/秒，乌龟爬行速度是1米/秒。刘易斯用0.9秒，便跑到了A点，乌龟用同样的时间，只跑了0.9米（到达B点）；当刘易斯再用0.09秒追到B点，乌龟用同样的时间，又向前爬了0.09米（到达了C点）
刘易斯一段一段的追赶，所用的总时间t和所行的总距离s，是：
∵0.9+0.09+0.009+…=0.999..=0.9=1
∴当t=1秒
而刘易斯与乌龟间的距离OB，只有9.9米（即原距离9米，加上1秒钟内乌龟所行的0.9米），所以，如果OA=9米，刘易斯只需1秒钟，便可追上乌龟了！
9.空杯=满杯
表演者拿出一只圆柱形的玻璃杯，里面恰有半杯红茶水。
他说：“这是个半空的杯，也可以说是半满的杯。空和满各占杯子的一半。”即：
将等式两端同“×2”，得：
又是一道奇怪的算式！照这样，盛满茶的杯与没盛茶的杯没有区别，有茶喝和没茶喝一个样。
真是奇谈怪论！
那么，该怎样才能驳倒他呢？
解：进行论证时，前后使用的概念必须保持一致，才能得出正确的结论。本题中，“半空的杯”并不是“空杯的一半”，而是指一半空、一半满的杯；同样，“半满的杯”，也不是“满杯的一半”，而是指一半满、一半空的杯。
半空的杯=半满的杯，指的是杯子的容积，而不是指杯里装的物体。在“×2”时，前者把半空的杯加了倍，而把另半个“满杯”抛弃了；后者正相反，只把“半个满杯”加了倍，将“半个空杯”又弃之不顾。前后不统一，得出的等式自然不能成立。
善于诡辩的人，常常巧妙的“偷换概念”，而后进行貌似科学的辩论。只有认真识别，才能发现其违背逻辑规律的谬误。
10.上底=下底
右图为一任意梯形。
上底为a，下底为b，c是两腰中点连线。
显然，a、b、c三条线段的长度是各不相等的。但是我们却要用数学的方法，证明它们是相等的！
证明方法如下：
∵c是两腰中点连线
a+b=2c
等式两端都乘以（a-b），得：
展开得a2-b2=2ac-2bc
移项a2-2ac=b2-2bc
等号两端都+c2，得：
即 （a-c）2=（b-c）2
等式两端都+c，得：
这就是说，任何梯形的上底都等于下底。
结论当然是荒谬的，要是这样的话，梯形和长方形、平方四边形岂不是没有区别了么？
但是，证明过程中什么地方错了呢？
解：错在（a-c）2=（b-c）2等号两边都开方得a-c=b-c这个环节上。因为从（a-c）2=（b-c）2，只有在a-c≥0、b-c≥0的情况下，才是正确的。在这里a-c＜0，因而结论错误了。
11.任何三角形都是等腰三角形
我们知道，三角形按边来分类，有任意三角形、等腰三角形和正三角形（也叫等边三角形）。
现在，我们却要证明：任意三角形都是等腰三角形。即在△ABC中，AC=BC设：△ABC是任意三角形。D为AB边的中点。
过D点作AB的垂线，与∠C的平分线相交于O。作OE⊥AC（“⊥”读作“垂直于”），OF⊥BC，连接AO、BO便得六个直角三角形。其中：
①△OAD≌△OBD（“≌”读做“全等于”，在两个直角三角形中，如果两条直角边对应相等，则两个三角形便完全相等了（AD=BD，OD是共用边）。②△OEC≌△OFC（在两个三角形中，如两条边和所夹的角相等，两个三角形也完全相等。OC是共用边，∠OCE=∠OCF）。
③△OAE≌△OBF（由①得OA=OB，由②得OE=OF，两个三角形都是直角三角形，也具备了两个相对应的边相等的条件了，所以也全等）。
由②得CE=CF
由③得AE=BF
因此，AE+CE=BF+CF
∵AC=AE+CE BC=BF+CF
∴AC=BC
这就是说，任意三角形都是等腰三角形。
假如这个结论是对的，那么就不存在按边分类了！但是，这个证明，究竟什么地方不科学呢？
解：这题错在把图画错了！
如果严格的按要求画图，AB的中垂线与∠C的平分线交点O，一定在三角形之外，而不可能在三角形以内。因而由O点作∠C两边的垂线，必有一条只能与一边的延长线相交。
这样，上述题中，证明AE+CE=BF+CF，显然是错误的！BF不是BC中的一段，而是BC延长线上的一段，即BC+BF才与AC相等，因此AC≠BC，也即“任意三角形都是等腰三角形”这个结论不能成立。
12.剪不断的纸环
表演者拿出一条线带，而后将线带的一头扭一下（旋转180°），再将两端粘接起来。
只见表演者拿起剪刀，沿纸条中间剪了一周，奇怪的是纸圈不仅没有断开，却仍是一个更大的纸环！接着，又从剪出的大纸环中央再剪一周，这次又成了互相串连的两个纸环！
真是奇怪！
解：这种纸带，叫做莫比乌斯带，是德国数学家莫比乌斯（1790～1868）于1858年发现的。
莫比乌斯带是一门数学分支叫做“拓扑学”的研究对象。它没有“正面”和“反面”，蚂蚁从纸的这一面，不必跨过边缘便能到达纸的另一面。如果将纸带扭两扭（旋转360°），再沿着纸条三等分剪开，便可得三个互相串连的纸环。
扭的圈数和剪的次数不同，所得的结果也不同：
沿中线剪开沿三等分线剪开扭一扭得到一个扭了四扭的大纸环。得到一大一小互相扣合的两个纸环。大的扭四纽，小的扭一扭。扭两扭得到两个相扣的纸环。得三个相互扣合的小纸环。但宽度只有原来的三分之一。
13.奇怪的绳结
用绳捆绑物品都需要打结，打结的方法有各种各样，以至发展成一门结绳艺术。
表演者拿出一根绳，打了两个死结，而后又在这两个死结的基础上又绕了几下，看上去这个结就更加牢固了。
可是表演者却说：“这样死而又死的绳结，他不需要一扣一扣的解，只要抽着绳两端一抖，绳结就会打开”。
表演者两手握着绳的两端，用力一抖，绳结不见了！仍是一根光滑平直的绳子。
其中，隐藏着什么奥秘呢？
解：结绳问题，也是运用了现代数学分支拓扑学的理论。这个问题奥秘在最后加绕的几道上。从原来两个死结的基础上，只要按右图的方法再加绕几道，便可以只握绳的两端，将整个绳结都拉开。
这个结叫切法洛结，魔术师常用它来表演。
14.难扣的结
图中是一条既柔软又坚韧的皮带。A端被固定在一个笨重的物体上，由于某种需要，要求打一个如图所示的结。
很明显，这个套结，是将A端从缺口处穿进去的。可是A端却被牢牢的固定在一个物体上。物体很大，不可能穿过皮带的缺口，而A端又不能取下来，更不能把皮带扯断。
打这样的结，似乎是不可能的！
可是，有人却把这个难打的结打成了。你知道他是怎么解决的吗？
解：打结的方法和步骤如下：
将B端由上向下先穿过缺口，再将它拉回，这样两个小环便形成了。因为皮带很坚韧，不必担心被拉断。
接着，再将小环翻转180°，慢慢的向着A端推过去，直到皮带的细狭部分放开。这样，这个难扣的结便成功了！
这个有趣的问题，是美国的西门斯首先提出的。西门斯是纽约市一家皮带商店的老板，也是一位优秀的业余魔术家，他对各种拓扑游戏特别感兴趣。
15.智脱环铐
在一次战斗中，我军的侦察员小王不幸被敌人抓获。为了防止小王逃跑，敌人将他戴上手铐后，又将铐链环扣在木桩的铁链上。
小王一心想着逃回部队。可是没有任何工具可以将链条砸断，那木桩又坚固万分，任他怎么用力都无济于事。但是，无论如何不能坐以待毙啊。他紧张的思考着挣脱木桩的逃跑办法。
后来，他发现那套在木桩上的环扣空隙，虽然不能从木桩上脱下来，却能使手铐的铁链顺利通过。于是他反复琢磨、试验，岂料，最后竟很轻巧的挣脱了。
小王是用了什么办法呢？
解：这个看似难解的问题，也是运用了“拓扑学”的理论。小王先将自己的铐链折成圈，塞进木桩的环扣中，再将铐链绕过木桩头部，这样用力一拉，铐链便与木桩上的链条分开了！
.脱去双环
下图大纸环宽度约1厘米，小纸环的内径约1.5厘米。两个纸环被两端系着两个钮扣的线串联了起来。
现在要求，不准解开两端的钮扣，把细线从两个圆环中脱离出来。你能想出办法吗？
解：这个问题看似不可能，但是当我们想到纸环都是软的，可以折叠，办法便能找出来：将大圆环折成半圆，小圆环在半圆上，于是细线便脱离了。