数与代数教学案例

一、数与代数教学案例

（一）概念、性质教学

数学概念具有抽象性、概括性等特点，由于初中生数学思维不成熟，认知水平具有一定的局限性，学生在学习过程中对一些抽象的概念很难理解，这就需要教师借助有效的教学手段或工具，帮助学生降低思维难度。而信息技术“化抽象为直观”“化静为动”的功能，正好能解决这一难题。基于此，教师需进行合理的教学设计，借助信息技术教学手段，帮助学生理解概念的内涵与外延，形成相关概念的知识网络，以达到掌握并灵活运用的目的。要达到上述目的，在概念、性质的教学中应如何运作呢？

1.在概念引入的学习过程中渗透数学思想方法

数学概念的学习可以分为两种基本形式：一是概念形成，二是概念同化。概念形成是从外部的、比较具体的非本质特征到内部的、比较抽象的本质特征的不断深化的过程，到逻辑定义阶段，概念才最终形成。所以，教师通常在教学时会从大量的具体例子出发，让学生从实际经验的肯定例证，在归纳方法中概括出一类事物的本质属性，在此过程中教师可以适时渗透数学思想方法。

例如，在讲解一元二次方程概念时，先给出已经得出的一些具体的方程，分析其特征，抽象出一般形式ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）。为了进一步理解概念的内涵和明确概念的外延，需要再举出概念的否定例证和肯定例证，包括各种“变式”，如x2－x－6=0，x2=0，3x2－4=0，x2+y2=5，2x－=0，等。这个过程就是从特殊到一般，再由一般到具体的思想的体现。教师也可以适时地介绍归纳的思想。在给出的各种变式中，毫无疑问会有各种需要化简整理之后变成一般形式的一元二次方程，这就是通常所讲的“化归思想”。

概念同化是指用定义的方式直接向学生呈现一类事物的关键特征，学生利用认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用，以领会新概念的本质属性，从而获得新概念的方式。在同化新概念时，往往伴随着某些数学思想方法的运用。

例如，教师在讲解反比例函数时，直接给出定义，并与“正比例函数定义”进行类比，将两者的一般形式、图像及其性质都可以一一做比较。在这里使用类比的思想可以更好地突破难点，使学生更容易且更深刻地理解新概念和旧概念，促进学生概念认知结构的发展，反之也有利于学生接受这些重要的数学思想方法。

2.在丰富的内容中，感受归纳和类比

在初中数学教学过程中，向学生渗透归纳思想方法，培养学生的归纳推理能力，具有十分重要的意义。它可以帮助学生将学习过程中接收到的零碎知识转化成自身理解的系统性知识，是个体发展和自我完善的一种有效手段。

如在学习“二次根式的加减法”一节时，学生要考虑的问题有：什么样的二次根式可以加减？加减时需要注意什么问题？此时，教师可以引出同类二次根式的概念，并引导学生将其与同类项进行比较，学生可以通过类比总结出：同类项指的是含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的项；同类二次根式的概念是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。

在解决二次根式的加减问题时，学生仍然可以通过归纳类比合并同类项的方式，得到二次根式的加减实质是合并同类二次根式，类似于整式加减的合并同类项。因此，在具体的合并操作中，首先要将二次根式化为最简二次根式，其次只需要将最简二次根式的系数合并，保留根式，如合并同类项时，相同字母及其指数不变，只需要合并系数即可。

此处教师可采用信息技术动态展示同类二次根式和同类项的对比合并过程，并设计闪烁、旋转、字体放大等文字处理效果，加深学生对关键词的印象，使学生经历“二次根式加减法则”的归纳、概括过程。

3.在形象展示中，感受数形结合

著名的数学家华罗庚先生曾用“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”形象生动地阐述了数形结合的意义。因而，数形结合思想方法的渗透，在初中的代数学习中，仍是化抽象为直观，化难为简的有效途径。

“一次函数的图像”一节的教学重点是用图像法表示变量之间的关系，从这一章开始，学生正式接触函数及函数图像，这部分教学内容承载着一个重要的数学思想方法——数形结合。教学中，通过“列表—描点—连线”，形成完整的函数图像，通过观察比较，发现变化规律，从而理解函数关系式中变量与常量的含义，把握它们在图像上的决定性意义——图像的增减性。

以“一次函数的图像”（第2课时）为例。在第1课时教学中，学生已经学会用“描点法”作函数图像，本节课教学重点为探索一次函数的增减性。在“做一做”和“议一议”环节中，教材要求“画出y=x，y=3x，y=–0.5x和y=–4x的图像”，并探索“在上述函数中，随着 x 值的增大，y的值分别如何变化？”在进行这一问题的探索时，学生可能会考虑从函数中任取几个自变量x的值（x=1，2，3，…），分别求出对应的y值，比较其大小，判断其增减性。

教材问题的设置目的，是在于引导学生通过观察函数图像，发现当x的值自左向右逐渐增大时，所对应的y值的变化，即利用数形结合的思想方法，判断函数的增减性。

为了让学生充分感知变化规律，教师可以借助超级画板课件，拖动函数图像上的点A，引导学生观察其横纵坐标的变化，使其发现：当点A的横坐标从左向右逐渐增大时，其对应的纵坐标是增大还是减小。从而得出一次函数图像的特点，并结合图像研究一次函数的性质。

函数图像的意义需要化抽象为具体，帮助学生经历知识的形成过程，数形结合是一种行之有效的方法。利用信息技术渗透数形结合的思想，可以发挥其直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，帮助学生加深理解。

4.在直观演示中，体会极限思想

在初中函数教学中，“反比例函数的图像”是初次接触极限思想的开端。在教学中，学生尝试完成反比例函数图像时，由于思维定式，受到一次函数图像的影响，把主要精力放在列表和描点中，疏于对本节课关键知识点“反比例函数图像交坐标轴于何处”问题的思考，忙活了半天，最后只凭教师一味地讲授，学生被动地接受，教学重点被忽略，难点问题也被搁浅。

基于上述原因，教师可合理调控教学流程，及时抛出关键问题：“想一想，反比例函数与正比例函数的图像有什么联系和区别？正比例函数与坐标轴的交点在何处？反比例函数呢？”并利用几何画板课件，动态、清晰地再现正比例函数图像与反比例函数图像，通过观察，深刻理解函数关系式的含义，让学生明白，自变量x的取值范围为x≠0，因此函数图像上不存在C（0，a）这样的点，即函数图像与x轴没有交点；同时，当自变量x的取值为无穷大或无穷小时，y的值也不可能为0，由此可以判断，函数图像与y轴亦没有交点。教师可以得出结论：反比例函数图像只能无限贴近于x轴、y轴，而与x轴、y轴没有交点。

除了分析函数关系式外，还可以通过超级画板的动态演示，使学生理解，无论怎样移动点C，它的位置只能无限接近坐标轴，而不能在坐标轴上，反比例函数图像与x轴、y轴都没有交点。

在上述教学过程中，不但使学生深刻地认识了反比例函数图像，还帮助学生初步建立了极限思想。

（二）公式、定理教学

数学知识中的每个公式和定理都是相关数学知识的结晶，每个公式和定理的发现都来源于数学家精研苦思的思维过程。而在目前的数学课堂教学中，教师往往只注重公式和定理的结论和应用，缺少对公式和定理的探索过程。利用信息技术手段，教师引导学生参与公式、定理的发现过程，既有利于学生对相关知识的掌握，又有利于学生理解和运用数学思想方法，使学生真正感受到数学思想方法的魅力，使知识转化为技能。要达成上述目标，以下几个案例给出的教学方法比较有代表性。

1.通过化静为动，体会归纳思想

“有理数的加法”分两种情况，分别是同号两数相加和异号两数相加，在教学中，教师可引导学生通过观察算式与结果探索运算法则。尤其是在突破本节课难点——异号两数相加时，通过观察、对比，学生可发现：和的结果有时为正，有时为负，主要是由绝对值较大的数决定的，进而归纳出“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号”。在决定符号之后，下一步就需要确定绝对值了。有些学生在探索过程中，由于对符号和绝对值的抽象概念认识不够，弄不清符号与绝对值之间的关系，在确定了符号之后，仍然会在确定绝对值时添加符号。此时，教师可以借助课件将表示两个加数的“点”形象描述为“向左走、向右走”，动态演示“点”的运动过程，学生可以从观察“点”的运动方向、距离和最终位置等三个角度，归纳出符号与绝对值的运算规律：运动方向决定了加数的符号，运动距离表示加数的绝对值；“点”相对于原点的位置决定了“和”的符号；“点”相对于原点的距离决定了“和”的绝对值。

归纳思想的渗透贯穿于数学运算教学的始末，除有理数的加减外，整式的乘除也可以采用类似的教学流程：通过观察、比较例题的算理，归纳计算规律，概括出这一类题目的运算法则。当前数学课堂教学非常注重学生自主探索环节，其目的就是培养学生归纳、抽象知识的能力。

2.通过灵活变换，领悟数形结合

整式的乘法和因式分解是初中数学中特殊的互逆变形。其中，整式的乘法与有理数的乘法较接近，学生在以往的代数学习中也积累了足够的运算经验，教学过程相对较顺利。但是到了初中三年级，学生再学习因式分解时，很多学生仍难以摆脱整式乘法的惯性思维，不能将多项式转化成几个整式的积的形式。究其原因是学生没有理解因式分解的几何意义。

在因式分解教学的第一课时，一定要通过几何直观的形式让学生了解因式分解的意义，从而明确因式分解的最终形式表现。

在授课过程中，教师还可以借助信息技术手段，以拼图游戏的形式加深学生对因式分解的理解与认识，通过点击，改变“指定面积”，让学生在多媒体上亲身体验，经历“拖拽—拼接”的过程，让学生更深刻地体会因式分解的几何意义。

此处运用“数形结合”的思想方法，在算理直观与算法抽象之间架起了一座桥梁；信息技术的应用，更能有效引导学生进行直观的理解，再由算理抽象出算法，并促进其在下面的巩固练习中形成技能，提高运算能力。

3.在定理学习的过程中渗透数学思想方法

初中数学有大量的定理需要学生掌握，很多教师并不注重定理的获得过程，而只是单方向强调定理的使用，这显然让学生失去了很多学习数学思想的机会，应该提高学生对定理的由来与定理的论证学习。著名数学家华罗庚就说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”可以说，定理是压缩了的知识链，在教学中应该遵循“过程教学原则”，教师应该启发学生去感受、体验，弄清知识的来龙去脉，弄清每个结论的因果关系，教师也应该利用这个机会采用适当的方式来渗透数学思想方法。

例如，在讲解勾股定理时，可以用边长为3、4、5的直角三角形引入新课内容，引导学生猜想勾股定理的内容，再通过多种方式来证明定理，其中涉及公理化思想、转化思想、割补转换思想方法等。然后，适时利用多媒体展示勾股定理的文化价值，如中国古代的陈子定理、赵爽的代数方法证明、华罗庚等建议采用勾股定理的名称、古希腊《几何原本》中的证明、2002年国际数学大会的会标、和外星人通信使用的图案等。这些数学文化的欣赏可以极大提高学生的兴趣，加深学生对数学史的理解。数学文化的欣赏，是数学思想方法的重要组成部分。通过对数学文化的欣赏能揭示数学思想的本源，了解数学生长的社会背景，提高学生的数学文化素养。

（三）解决问题教学

数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。在初中数学教学中，学生离不开解题，数学教师离不开指导学生怎样解决问题，解题教学一直是数学教学最重要的组成部分。但是加强解题教学，不是搞题型训练，更不是搞题海战术。要想避开题海战术一方面需要教师在解题的基础上总结归纳方法，并将之上升到思想的高度；另一方面在解题活动中，应充分发挥数学思想方法的指导意义，加快和优化问题解决的过程，突出数学思想方法对解题的统摄和指导作用。用“不变”的数学思想方法去解决不断“变换”的数学问题，这样才可以达到会一题而明一路、明一路而通一类的效果，打破“一把钥匙只开一把锁”的个别处理模式，进而将学生从浩瀚的题海中解放出来。

1.通过模拟演示，应用数形结合

在解决问题（应用题）教学中，数形结合也是屡试不爽的有效辅助手段之一。它能借助线段图帮助学生分析数量关系，发现解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。

如“一元一次方程的应用”教学中的路程问题，该部分内容的教学，重点是“寻找等量关系”，虽然学生在小学数学的学习过程中有所接触，但很多学生仍然是摸不着头脑。此时可借助课件进行情境模拟和线段图演示，“以形助数”，帮助学生弄清题意、厘清数量关系，扫除思维屏障。应用题教学的骨架是“等量关系”，在解决问题教学中，运用信息技术手段动态地、随机地出示线段图，展示数形结合过程，帮助学生寻找等量关系，形成清晰的解题思路，从而使问题得以解决。

2.化抽象为直观，体会建模思想

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，是体现数学应用价值的典型思想，而培养学生模型思想的基本活动就是建立模型。初中数学中的模型思想主要体现在方程（组）与不等式（组）、函数、概率等内容中。

众所周知，函数在生产生活中的重要作用之一就是进行数据的预测，但预测不是没有依据的，除了根据函数关系式确定预测值之外，还可以根据函数图像进行预测。无论哪种方法，首要任务是，依据已知数据，建立数学模型，即函数关系式（或图像）。

例如，表4-1　是中国人口总数统计表。

表4-1　中国人口总数统计

①请根据上表中的数据在直角坐标系中画出人口增长曲线图；

②请选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，并写出它的关系式；

③按照这样的增长趋势，试估计2025年我国的人口总数。

问题②要求确定一个近似的函数关系式，实际就是要求学生在观察、思考已知数据的基础上，建立一个基本的一次函数模型，通过函数关系式，描述各点之间的关系，并依据该函数关系式，完成问题③中的预测。

在解决问题时，由于题目给出的要求是“确定函数关系式”，所以大部分学生能够在潜意识里进行建模。但统计表给出的数据相对密集，数据的精确度也比较高，不利于学生发现规律，如果采用板书的方式进行作图，费时费力，且只能得到一条近似直线的图像，缺乏说服力不说，还加大了建立函数关系式的难度。如果教师借助超级画板，动态、精确地呈现图像的形成过程，不仅可以准确描出各点的位置，还能一目了然地看出哪些点属于同一个函数图像，提高了数据预测结果的准确性。

当教师在超级画板中，建立适当的直角坐标系并描出各点后，学生通过观察能够发现，这些点近似位于同一条直线上，那么按照这样的增长趋势，2025年所对应的点也应该在该直线上。如果能够确定该直线的函数关系式，那么根据点的坐标关系，就可求出所对应的人口数量。通过动态移动直线，使得尽可能多的点落在直线上，此时的直线即为该一次函数的图像，然后进一步确定出函数关系式。通过超级画板的形象展示，以及问题的引导，学生能够顺利地建立一次函数模型，确定函数关系式y＝kx+b（k≠0），完成数据的预测任务。