4.2.2 数学建模

4.2.2 数学建模

4.2.2.1 建模过程

应用能量守恒定律，着陆时动能与最初势能相等，着陆冲击速度可以计算为[8]：

其中，v0为着陆冲击速度，g为重力加速度。根据动量守恒定律，可以得到：

其中，F为作用在单腿上的竖直方向合力。当t＝0，即初始接触时刻，v＝v0。着陆冲击过程中，F为时间（t）的连续函数。根据中值定理，会有F′，满足F′Δt＝mv0。则：

其中m1为修正参数。因此，Pv GRF和DH的关系可以推导为平方差形式。在冲击过程的最后，即受试者达到稳定状态时，F值为体重的一半（BW/2），而不是0。因此，另外一个参数需要被代入到这个公式中，则形成了：

其中a～；b～。a和b可以基于实验数据通过最大似然法得到。

数学模型（4-1）用来描述双腿着陆的Pv GRF和DH的关系，非线性关系转化为线性关系，可以继而应用集成文献的数据来做回归分析。应用R语言和SPSS17.0（美国芝加哥SPSS公司）来完成统计分析。基于每个研究中的样本数和数据方差，来对R2值进行修正，来表征线性回归关系。p值小于0.05意味着可以根据自变量预测因变量。均方误差（rootmeansquarederror，RMSE）越小，意味着预测越精确。

为验证模型，采用了Mc Nitt-Gray[15]测量的一组数据的均值，在他的研究中，6名体操专业运动员和业余选手参加了着陆测试。因为实验者测量的是受试者双腿受力，所以这组数据并未被包括在系统综述（评价）的集成数据中。此外，用该数据来做验证，主要原因还在于：测试为严格控制的双腿着陆，与系统综述（评价）中的其他标准完全符合；测试的DH为128cm，超出集成数据集中的最大值（103cm）。

4.2.2.2 平方根线性拟合

针对3种等级频率的回归结果如图4-3所示。对低频、中频和高频，3个回归的RMSE分别为0.83、0.37和0.46，对应的修正R2值分别为0.73、0.94和0.46，所有p值小于0.001。方差分析显示，3个回归方程的a值有统计学差异（p＜0.001），而b值无显著性差异（p＝0.35），b值得加权平均值为0.34。

采用Mc Nitt-Gray[15]测试的DH＝128cm时的数据来验证回归模型。因为该研究中采样频率为1000Hz，所以验证的模型为中频回归结果（Pv GRF＝0.49+0.37）。如图4-4所示，根据回归方程预测， DH＝128cm时，Pv GRF＝5.9BW。

4.2.2.3 平方根公式的优势

Yeow等人[10]曾经采用简单线性、指数函数和对数函数去拟合实验测量地面反力峰值和DH的关系，最后比较发现最好的形式为指数函数：

y＝aebx

其中y＝GRF，x＝DH。这个指数函数的拟合是基于个体数据，即每名受试者从不同高度跳落着陆时的数据进行分析，不同受试者之间的公式差别非常大，因此对其他研究者没有指导意义。而本研究中的平方差公式是基于严谨的理论分析和系统综述（评价）的大样本数据获得的，具有普适性，其他研究可以直接借用过去。

这个指数函数拟合仅仅出于数学的考虑，而未考虑其实际意义。例如，在临界状态零高度（x＝0）时，该函数得到结果y＝a。其研究中回归系数a的范围介于1.19和1.52之间。这也就意味着，当受试者双腿站立在水平地面时，其单腿承重将达到1.19～1.52 BW! 这是难以合理解释的。而在本研究的平方差公式中，当DH＝0时，Pv GRF＝b。根据我们的研究结果，截距b在大多数情况下均处于合理的区间内。

即使从数学考虑的角度，指数函数也并不尽如人意。例如，指数函数的定义域为整个有理数区间，即从着陆高度的选择可以遍历－∞到+∞，但是，我们是无法设想一个人是如何从高度为负数的地方着陆于地面的。而在本研究的平方差公式中，定义域被限制为不能为负数，这就明显更加容易解释。

本研究剔除的平方根函数公式，还被其他文献中的实测数据进行了验证。在用来做验证的文献中，Mc Nitt-Gray[15]测量的Pv GRF为双足受力，两组受试者的均值分别为11.0BW和9.1BW。基于我们之前提出的猜想[20]，双足着陆时双腿为不完美的同时触地，因此，作用在单腿上的最大冲击力应该略大于双腿合力的一半。因此，可以认为本研究结果很好地得到实验结果的验证。