一、案例一

一、案例一

以课程整合为突破口，提升数学教学质量

秦涛

课程整合有广义与狭义之分。广义的课程整合是指对课程设置、各课程教育教学的目标、教学设计、评价等诸要素作系统的考虑与操作，也就是要用整体的、联系的、辩证的观点来认识、研究教育过程中各种教育因素之间的关系；狭义的课程整合是指学科间的整合或是学科内的整合。这里从数学教材的整合与题目的整合来介绍初中数学课程整合。

（一）教材的整合

整合的原则：符合学生的认知规律，方便教师的教学，为后续的学习做铺垫。可以做章内知识点的整合，章间知识点的整合，不同年级间知识点的整合。

1.章内知识点整合

如新人教版初中数学七年级下册“一元一次不等式（组）”这一章，按教材顺序有以下两个模块：一是定义、解集、性质、解法；二是应用题。因为学生已学过一元一次方程，所以教师讲起来不难，学生学起来也不难。但在处理练习时，教师时常会遇到一些小问题，如有多少个整数解求字母的值，不等式（或不等式组）有解、无解，求字母的值等，学生基本上做不对这些题，教师讲起来也感觉不系统，不利于学生掌握知识，这是本章中隐藏的难点。为此，我们需要对本章知识的教学做一些微调，把这类小题作为第三个模块，细分为五种类型，并设计27道题进行系统细致的练习。具体为方程、方程组的解满足不等式；由不等式（或不等式组）的整数解确定字母的值或范围；由不等式的解集求字母的值或范围；由不等式组的解集求字母的值或范围；按给出的条件解不等式（或不等式组）。章内知识点的微调整合，每章都可以做，需要教师深挖教材，仔细梳理，才能做到得心应手。例题如下所示：

第一，方程、方程组的解满足不等式。

（1）当a为何值时，关于x的方程2x-a=8a-6+5x的解不大于5？

（2）若关于x的方程3m（x+1）+1=m（3-x）-5x的解是负数，求m的取值范围。

（3）已知关于x，y的方程组的解为正数，且x值小于y值，求a的取值范围。

（4）已知关于x，y的方程组的解满足-1＜x+y＜1，求k的取值范围。

第二，由不等式（或不等式组）的整数解确定字母的值或范围。

（5）已知关于x的不等式3x-m≤0的正整数解有四个，求m的取值范围。

（6）已知不等式组的解集中共有5个整数，则a的取值范围。

（7）已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围。

第三，由不等式的解求字母的值或范围。

（8）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，求a的取值范围。

（9）已知不等式（a-2）x＞4-2a的解集为x＜-2，求a的取值范围。

（10）已知关于x的不等式3+k（x-2）-4x＞k（x+3）的解集是负数，求k的取值范围。

（11）若关于x的不等式的解集是求a的取值范围。

第四，由不等式组的解集求字母的值或范围。

（12）若关于x的不等式组的解集为x＜0，求a的取值范围。

（13）若关于x的不等式组的解集为x＜4，求a的取值范围。

（14）若不等式组的解集为x＞a，请找出a与b的大小关系。

（15）若不等式组有解，求实数a的取值范围。

（16）如果不等式组无解，求a的取值范围。

（17）若不等式组无解，求m的取值范围。

第五，按给出的条件解不等式（组）

（18）如果a＜b，那么关于x的不等式（a-b）x＞a-b，化为x＞m或x＜m的形式。

（19）已知m＜5，将不等式（m-5）x＞m-5变形为x＜a或x＞a的形式。

（20）解不等式：2ax+8＜2+x。

（21）解不等式：2ax+8＞2+x。

（22）x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x-1）与都成立。

（23）关于x的两个不等式：与1-3x＞0。

①若两个不等式的解集相同，求a的值；

②若不等式的解都是1-3x＞0的解，求a的值。

（24）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，求a的取值范围。

（25）在等式y=ax+b中，当x=1时，y=-3；当x=-3时，y=13。

①求a、b的值；

②当-1＜x＜2时，求y的取值范围；

③当-1＜y＜2时，求x的取值范围。

（26）已知关于x的不等式（1-a）x＞2两边都除以1-a，得试化简：|a-1|+|a+2|。

（27）已知方程组的解中，x为非正数，主为负数。

①求a的取值范围；

②化简：|a-3|+|a+2|。

2.章间知识点整合

（1）整合一：七年级下册：“实数”与“平面直角坐标系”

例如，在实数中，

①已知是m+n+3的算术平方根，是m+2n的立方根，求B-A的立方根。

②若使式子有意义，求x的取值范围。

又如，在平面直角坐标系中，

①已知点P（2m-5，m-1）在第二象限内，求m的取值范围。

②已知点P（2m-5，m-n）与Q（-3，4）关于x轴对称，求点P的坐标。

这些题目若用一元一次不等式（组）及二元一次方程（组）来解决就非常轻松。为此，我们需要对本学期的教学内容做一些调整，在学完相交线与平行线后，先进行二元一次方程组的解法与一元一次不等式（组）的解法学习，然后再学实数与平面直角坐标系，这样就可以把不好讲的内容变为易讲，把需要多次扩展的内容进行一次性扩展完成，同时又对二元一次方程组的解法及一元一次不等式（或组）的解法进行了提前练习，让学生在后面的学习中会更轻松。

（2）整合二：八年级下册：勾股定理与平行四边形

教学时，许多的练习题与后面所学知识的关联很大，用后面所学知识解决更便捷。

例如，①如图5-1所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C’处，BC’交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　）。

②如图5-2所示，小红将一张长方形片ABCD折叠，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm，当小红折叠时，顶点D落在BC边上点F处，折痕为AE，求EC的长。

③如图5-3所示，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC。

A.求证：AB=BC；

B.若AB=2，AC=（　），求平行四边形ABCD的面积。

八年级下学期比上学期的时间短，这一学期的内容又非常难，是学生两极分化最严重的一个学期，若按正常的课时进度学习，几何知识很难得到有效学习。为此，我们可以先用两周的时间让学生掌握几何相关定理的基本运用，使学生对知识进行系统的认识，然后用一个月的时间，对几何知识的综合运用进行充分扩展，这样不仅不会影响正常的教学进度，同时还能提升学生的能力。

做好一个学期内章与章之间知识点的整合，能够节省大量的教学时间，提高效率，能够最大限度地拔高知识，提高学生的能力。

3.不同年级间知识点整合

（1）整合一

应用题是难点，也是学生最不喜欢做的一类题。为此，在教七年级上学期“一元一次方程”内容时，我们需要先练解法，再把应用题归类，列出应用题的各种类型，如和差倍比问题、日历问题、数字问题、蜡烛问题、注水问题、顺逆问题、调配问题、过桥问题、行程问题、等量代换问题（同一量的不同表示相等）、年龄问题、工程问题、利润问题、配制问题、产品配套问题、分段计费问题、方案选择问题等应用题类型。学生通过这些应用题的学习，对应用题就不再惧怕，并为后继学习做了充分的铺垫，如七年级下学期的“一元一次不等式”“二元一次方程（组）”，八年级上学期的“分式方程”，九年级上学期的“一元二次方程”，由于学生已经对应用题有了系统的认识，掌握了应用题的分析方法，在学习这些章节时，只需要了解方程的解法，如何列新的方程即可，可以起到事半功倍的效果。

（2）整合二

“平面直角坐标系”的内容非常简单，甚至学生借助小学所学的行与列，进行自学都没有任何问题。但如果不对本章知识进行扩展学习，学生在后续的学生中会困难重重，因为平面直角坐标系是与函数紧密结合的，需要对平面直角坐标系有充足的认识，才能打好基础。因此，可将本章知识扩展为以下七个知识点，再对每个知识点进行练习，如下：

①平面直角坐标系的分区：两轴四象限或者一心四半轴四象限，为学习点的坐标特点做准备。

②点的坐标特点：与方程（组）的解法、不等式（组）的解法结合练习。

③点到X轴、Y轴的距离：与绝对值、方程相结合，解含有绝对值的方程。

④点关于X轴、Y轴、原点的对称规律：结合方程（组）进行练习。

⑤平行于X轴、Y轴直线的点：

A.特点：平X纵等，平Y横等。结合方程进行练习。

B.表示法：让学生了解解析式，为后续学习做铺垫。如x=m，y=n。

C.两点间的距离的求法：初学这一章，平面直角坐标系基本上带有网格，学生数数就能求出平行于X轴、Y轴的线段的长度，现在要求学生学会用坐标法去求，目的是为了让学生跳出网格，为以后的学习做铺垫。

⑥一、三象限及二、四象限角平分线上的点：

A.点的特点：到X轴、Y轴的距离相等地。结合方程（组）进行练习。

B.表示法：让学生了解解析式。如y=x，y=-x。

⑦平面直角坐标系内的图形面积问题：

A.有平行于X轴或Y轴的边的三角形，求面积。（公式法）

B.有平行于X轴或Y轴的边的不规则图形，求面积。（分割法）

C.没有平行于X轴或Y轴的边的三角形，求面积。（梯形法、矩形法）

D.已知三角形的面积，及两个顶点，求第三个顶点的坐标。（设坐标法）

通过对平面直角坐标系进行挖掘与扩展，学生不仅对平面直角坐标有了充分全面的认识，还整合了方程、不等式等其他章节的知识，使学生对数形结合的思想有了深层次的认识，更为以后函数的学习做了充分的铺垫。

（3）整合三

学生在小学中已经初步学过轴对称与中心对称，在学习八年级上学期轴对称后，我会把九年级上学期的旋转提前学习，这样不仅减轻了九年级上学期学完全部内容的压力，还为三角形全等的证明与截长补短法的应用做了有力的补充。

吃透整个初中数学教材，把握知识间的联系，重构知识脉络，对教材进行整合，能极大地提高教师的业务能力，做到知识教学的游刃有余。

（二）题目的整合

数学名家孙维刚老师曾说，要让学生跳出题海，老师必须先跳进题海。因此，教师需要多做练习，如课本、配套练习册中的题目，其他资料中的题目，近几年的中考题。以一本书上的题目为主，如配套练习册，进行详做，详做包括选择题、填空题的分析，大题的详细步骤，对原题的改编，关联题目的标记，补充到里面的练习题……其他的略做，把合适的练习题补充到练习册上或单独设计的讲义上，从中选出上课要用的例题、练习题，课后用的作业题、培优题。

整合的原则包括层次性原则、方法性原则、规律性原则、专题性原则、延伸性原则。

1.注重层次性原则

我们所教的学生，其水平、能力不同，若是做同样的要求，做同样的题目，会使优等生“吃不饱”、学困生“吃不了”，不利于教学质量的提升，因此练习题需要有层次性。

例如，分层教学题，使用配套练习册上的题目，使用时，为不同层次的学生指定不同的题目，来达成教学目标。分层作业题，使用课本、配套练习册上的练习题，选题布置，一个学期中约使用其中所涉及的四分之一的练习题，减轻学生的负担。培优作业题，教师设计讲义，每周一张，以中档难度的题目为主，适当添加一两道难题。这样，可以提升优等生的能力。

2.注重方法性原则

数学上的解题方法很多，如截长补短法、旋转法、构造法、换元法、特殊值法、验证法、排除法、筛选法、草图法……以截长补短法为例，当看到“AB+BD=AC”，选用截长补短法。截长补短法是截长法与补短法的合称。此题的解法是：补短有两种方法，截长也有两种方法，其中一种是通过做CD的垂直平分线来达到截长的目的。

如图5-4所示，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB+BD=AC。

在教学中，为了训练这些方法，需要把这样的练习题分门别类地整理出来，选取最具代表性的练习题让学生练习，可以使学生对所学知识进行整合，快速找到解题方法，有效训练数学思维。

3.注重规律性原则

数学上使用的规律非常多，如平移规律、旋转规律、平面直角坐标系中的对称规律，内外角平分线夹角规律……

例如，“特殊三角形边的关系规律”如图5-5所示。

总结易懂实用的规律，在教学中去渗透，让学生明确规律的原理，使学生对规律的运用形成习惯，在做选择题、填空题时，能够直接给出答案，在做解答题时能够快速地找到思路，在考试中能够节省时间，减少繁琐的计算，保证正确率。

4.注重专题性原则

专题训练是数学教学中常用的方法。

（1）专题一：矩形中的折叠问题

①将顶点折叠到边上

如图5-6所示，小红将一张长方形片ABCD折叠，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm，当小红折叠时，顶点D落在BC边上点F处，折痕为AE，求EC的长。

②将顶点折叠到对角线上

如图5-7所示，折叠矩形纸片ABCD，使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长。

③相对顶点折到一起

如图5-8所示，在矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求折痕EF的长。

④沿对角线折叠

如图5-9所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C’处，BC’交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　）。

A.3　B.4　C.5　D.6

（2）专题二：连接四边形各边中点问题

①普平得平（口决）

如图5-10所示。

②矩菱互得（口决）

③正得正，腰得菱（口决）

这个专题可以作为“平行四边形”这一章的复习课，能复习所有的判定与性质。

将同类的练习题整合起来，形成训练各类知识点的专题，运用专题对学生进行训练，能够节省大量的教学时间，深化教学内容，拓展学生的思路，使学生一次性掌握一类题的解法，加深知识的理解与运用。

5.注重延伸性原则

在平时的教学中，教师会遇到一些小问题，如二次函数的练习题大多数有三问，若其中一问是“有关三角形周长最短”的，只解决这一问，不系统，还想解决“线段之和最短”“四边形的周长最短”，但没有这样的成题，若是用三道题去训练，虽能达成效果，却浪费了教学时间。为此，需要对练习题进行延伸改编，使之符合要求，使学生在熟悉题意的情境中，掌握不同的题型。

例如，（1）如图5-13所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线，且经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B。

①求抛物线的解析式；

②在抛物线的对称轴上找一点M，使MA+MC最小，求点M的坐标。

变式：

①在抛物线的对称轴上找一点K，使|BK-CK|最大，求点K的坐标；

②在抛物线的对称轴上找一点M，使△MAC的周长最小，求点M的坐标及最小周长；

③在抛物线的对称轴上找一点M，在x轴上找一点N，使四边形MNAC的周长最小，求点M、N的坐标及最小周长；

④若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值及此时点P的坐标；

⑤若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求四边形BPCO面积的最大值及此时点P的坐标；

⑥设点H为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BHC为直角三角形时，点H的坐标；

⑦若⑥中的条件不变，当△BHC为等腰三角形时，求点H的坐标；

⑧若抛物线对称轴与直线BC交于点N，连接AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点N，B，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

⑨若抛物线的顶点为D，抛物线对称轴与直线BC相交于点N，E为直线BC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

⑩若⑨中的其他条件不变，把EF∥ND这一条件去掉，以N、D、E、F为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由。

由线段之和最短开始，一直变式练习：线段之差最大，三角形、四边形周长最小，三角形、四边形面积最大，三角形为直角三角形、等腰三角形；三角形相似；平行四边形。

在二次函数的练习题中，有时用代数方法比用几何方法要简单，有时用高中的知识比用初中的知识要简单。为此，需要教师把相关的高中知识补充上来，并延伸方法，使学生在对比中学习，选择合适的方法解题。

例如，（2）（2018·威海中考）如图5-14所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴与x轴交于点H。

①求抛物线的函数表达式；

②求点D的坐标；

③点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R，求点P的坐标；

④点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴上是否存在一点N，使得以点D、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在请说明理由。

所用到的高中知识：①中点坐标公式；②两点间距离公式；③直线的斜截式、一般式；④平行与垂直斜率的关系；⑤斜率公式；⑥点到直线的距离公式。

解决方法：

①一般式；两根式；顶点式

②设坐标，用中垂线的性质结合两点间距离公式求D点坐标；用中点求E点坐标，用垂直求EF的斜率，得EF的解析式，用方程组求D点坐标。

③用点到直线的距离公式列方程求P点坐标；分类讨论，用相似、勾股定理求P点坐标。

④用对点法（中点坐标公式的变形）求N点坐标。（注：因为是平行四边形，所以求点的坐标最好不用几何法）

一题多变，延伸题型；一题多解，延伸与方法，有效衔接初高中知识，可以提高学生的学习效率，寻求解题方法的多样性，培养学生数学思维的广阔性、深刻性、灵活性。整合好教材与题目，就是做好了数学课程整合，为平时的教学选好了题目，为向课堂的教学效率和质量创造了条件。