世上无难事——平方数的计算
高商和李月珍在量一块黄瓜地，量了长又量了宽。高商喊：“地是正方形的，长宽都是34尺。”
杜老师应声说：“面积11方丈56方尺。”她把结果记在笔记本上。
杜小甫和王星海在量一块南瓜地。杜小甫喊：“这块地也是个正方形，长和宽都是28尺。”
杜老师应声说：“面积7方丈84方尺。”她又把结果记在笔记本上。
菜园的每一块地都测量完了，大家坐在井边上休息。高商问杜老师：“杜老师，您算正方形的面积，怎么特别快？”
杜老师说：“正方形各边都一样长。它的面积是一边的长的自乘积，也叫作‘平方数’。一百以内的各数的平方数，大部分我可以背出来，剩下的都可以很快地算出来。”
杜小甫问：“计算平方数有什么窍门吗？”
“有呀，”杜老师说，“首先，个位数的平方数大家都记得，都用不着算了！”
“当然，当然！”王星海说，“七七——四十九，八八——六十四，九九——八十一！”
“所以，几十的平方数也不用算了！”
“当然，当然！”杜小甫抢着说，“七七——四千九，八八——六千四，九九——八千一！”
“还有，几十五的平方数也不用算啰！”
“这个您已经讲过了，”李月珍说：“例如：25自乘，2乘以3得6，后面添个25，得625，35自乘，3乘以4得12，后面添个25得1225。”
“对，这是三不用算。”杜老师微笑着说：“其次是三容易算：第一，11到25的平方数都是很容易算的。”
李月珍说：“十几的平方数，可以照十几乘以十几的速算法算，例如16乘以16：16加上6，得22，就是220，再加上6的平方数36，就得256了。这很容易算，20跟25的平方数，方才说过了，简直用不着算。可是21到24的平方数呢？”“你们说呢？”杜老师却不回答，眼睛看了看高商。
高商一面想，一面说：“21是12倒过来。12的平方数是这样算的：12加上2，得14，就是140，再加上2的平方数4，是144。因为最后加的是4，并没有进位。所以算21的平方数，只要把144倒过来，答案就是441。
“22等于11乘以2。11的平方数是121，2的平方数是4。所以22的平方数就是121乘以4，等于484。”
高商迟疑了一下，接着说：“23自乘，可以看成两个十位数字相同的两位数相乘：20加上3，得26，26乘以20，得520，再加上3的平方数9，答案是529。
“至于24，24等于12乘以2。12的平方数是144，2的平方数是4，144乘以4等于576。这就是24的平方数。”
杜老师点了点头，说：“高商对两位数的速算乘法运用得比较熟练，所以他对求两位数的平方也可以运用自如。现在再讲第二点，41到59的平方数，也是很容易算的。它们可以看作50减去几，或者50加上几的自乘。
“五十几自乘，上次杜小甫讲课的时候讲过了，只要将25加上个位数字，后面接写个位数字的自乘积就行了。如果个位数字的自乘积不满10，中间得补个0。
“至于四十几自乘，可以看成50减去了个位数字以后的差的平方数。算法也差不多。只要从25中减去个位数字的补数，后面接写个位数字的补数的自乘积就行了。个位数字的补数的自乘积如果不满10，中间照样也补个0。
“例如求47的平方数。可以把47看成50减去3。算法是，‘25’减去‘3’，得22，后面接与3的自乘积9，9不足10，中间补个0。所以47的平方数是2209。写成算式就是——”杜老师从笔记本中撕下了一张纸，用钢笔写：
杜老师照例又在关键的算式上用钢笔画了一道。
大家点点头说：“果然很容易算，还有第三个容易算呢？”杜老师说：“就是91到99的平方数。上次我不是讲过相乘的两个数都是九十几的乘法吗，现在两个数一样，算起来更简便了。只要从原数中减去补数，后面接写补数的自乘积就行了。如果补数的自乘积比10小，当然也得在中间补一个0。
“例如求96的平方数。96减去4，得‘92’，后面接写4的平方数16。这9216就是答案。”
大家也说：“果然也容易算。”
杜小甫说：“现在大概要轮到‘三难算’了。”
“世上无难事，只要肯登攀！”杜老师说：“只要我们肯学习，‘难’也可以转化成‘不难’的。”
杜老师忽然问：“你们还记得星期天学的公式吗？”
杜小甫抢着说：“记得，记得。”他一面说，一面写：
“我们今天再变个花样。”杜老师指着等式问大家：“如果在等式两边各加上一个同样的数，这个式子还相等吗？”
王星海也抢着说：“当然相等。”
“就好比，”杜小甫想出了个比方，“在原来平衡的天平两边各加上一个同样重的砝码，天平还是平的。”
“对，”杜老师说，“那我们现在就在这个公式两边，各加上一个b2，试试看。”杜老师又在笔记本上写道：
a2-b2+b2=（a+b）（a-b）+b2
同时她说：“减一个b2，又加一个b2，等于没减没加。”她用笔把-b2+b2都划掉，表示它们已经抵消了。接着写道：
a2=（a+b）（a-b）+b2
杜老师说：“这就是任何两位数求平方的速算公式。”李月珍忽然问：“可是，b是什么呢？”
“大概是凑成整十数的补数吧！”高商说。
“对，”杜老师说，“我们已经多次借助于整十数了，因为整十数乘起来快些。——我们还是举实际例子算吧！例如，求29的平方数，29和30最近，差数b是1，按公式可写成：
“又如求62的平方数，62和60最接近，差数b是2，按公式可以写成：
“如果练熟了，那么中间步骤都不必写，这样就快得多了。”
李月珍忽然想出了一个问题：“您方才说，这是求任何两位数平方的速算法，如果求三位数的，行吗？”
杜老师点点头说：“有些三位数也可以用这个方法算。比如：
“又如1892，这时b是几呢？把b看作1就不如把b看作11。杜老师写了这么个式子：
大家都说这个方法果然巧妙。王星海忽然喊了起来：“杜老师，杜老师，我又有个新发现！”
杜老师笑着说：“好，你就再谈谈你的新发现吧！”
王星海急忙忙地说：“我发现任何数的平方数，比它前面一个数的平方数多一个前面的数，还多一个‘自己，’”他一下找不到恰当的字眼来表达自己的意思，就用了个“自己”，逗得大家哈哈大笑起来。
他怕大家不懂他的意思，指着杜老师方才写的第一个算式说，“你们看30的平方数，比29的平方，多一个29，还多一个30，一共多59。”
李月珍接着说：“还不如说多两个前面的数，还多一个1哩！”
杜老师说：“对。倒过来说，任何数的平方数，比它后面一个数的平方数少两个后面的数，又多一个1。知道了这个规律也很有用处。如果碰到两位数的个位数字是1或者9，算起来就很方便。”说着，在地上写了两个算式：
高商接着说道：“这个算法果然很好。王星海的‘发现’对我也很有启发。我想，两个连续整数相乘，比如21跟22相乘吧，只要在21的平方数上加一个21，或者从22的平方数中减去一个22就行了。”说着，他写了两个式子：
“大家都肯动脑筋，这样很好。”杜老师一面站起来，一面说，“今天谈得够多了，我们一路回去，一路练习吧！”
路上，杜老师出了这么几个题目：
1.242 2.362
3.54 2 4.1032
5.44×43 6.39×38
7.红光铁厂的工人师傅用一块铁皮做箱子，这块铁皮长宽都是3尺8寸，它的面积是多少？
8.光明生产大队开了一块地做实验田，长宽都是9丈4尺，它的面积是多少？