2.2.1 关系的数学定义
1）域（Domain）
【定义2.1】 域是一组具有相同类型的值的集合，一般用大写字母D表示。
例如，自然数、整数、小数、长度小于20字节的字符串集合、｛男，女｝都可以是域。
2）笛卡尔积（Cartesina Product）
【定义2.2】 给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域可以有相同的，那么D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
其中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组，简称元组，元组中的每一个值di叫作分量。若Di（i=1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i=1，2，…，n），则D1×D2×…Dn的基数M为：
因此，笛卡尔积可以表示成一个形式化的二维表，表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域。例如，给出如下3个域：
D1=导师集合=｛张老师，李老师｝
D2=专业集合=｛计算机专业，大数据专业｝
D3=学生集合=｛张同学，王同学，孙同学｝
则D1，D2，D3的笛卡尔积为：D1×D2×D3=｛（张老师，计算机专业，张同学），（张老师，计算机专业，王同学），（张老师，计算机专业，孙同学），（张老师，大数据专业，张同学），（张老师，大数据专业，王同学），（张老师，大数据专业，孙同学），（李老师，计算机专业，张同学），（李老师，计算机专业，王同学），（李老师，计算机专业，孙同学），（李老师，大数据专业，张同学），（李老师，大数据专业，王同学），（李老师，大数据专业，孙同学）｝
其中，（张老师，大数据专业，张同学）、（李老师，大数据专业，王同学），（张老师，大数据专业，孙同学）等都是元组。张老师、计算机专业、孙同学等都是分量。
该笛卡尔积的基数是2×2×3=12，也就是说D1×D2×D3一共有2×2×3=12个元组。这12个元组可以构成一张二维表，见表2-4。
表2-4 D1、D2、D3的笛卡尔积
续表
3）关系（Relation）
【定义2.3】 D1×D2×…Dn的子集称为D1，D2，…，Dn上的关系，表示为R（D1，D2，…，Dn）。
这里的R表示关系的名字。
关系中涉及的概念如下：
（1）元组与属性
关系是笛卡尔积的一个子集，所以关系从形式上看是一个二维表，表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域。由于域可以相同，为了加以区分，必须给每列起一个名字，成为属性，表2-4中的“导师”“专业”“学生”都是属性。
例如，可以在表2-4中的笛卡尔积中取出一个子集构造一个关系，可以得到表2-5的关系。假定现实世界中有语义约束：一个学生只能师从一个导师、学习一个专业，这样，表2-5中的许多元组是没有实际意义。所以在具体的应用中，关系中的元组一定是有实际意义的，满足现实世界语义约束的。
表2-5 D1，D2，D3笛卡尔积的子集构造的关系
（2）候选码与主码
若关系中的某一个或一组属性能唯一标识一个元组，则称该属性或者属性组为码或者候选码；若一个关系有多个候选码，则选定其中的一个作为主码，主码对应的属性称为主属性，不包含在任何候选码中的属性称为非主属性。在最简单的情况下，候选码只包含一个属性，在最极端的情况下，关系的所有属性是这个关系的候选码，称为全码。如表2-4中的候选码只能是全码。
（3）关系的性质
按照定义2，关系可以是一个无限集合。由于笛卡尔积不满足交换律，所以按照数学定义，（d1，d2，…，dn）≠（d2，d1，…，dn）。当关系作为关系数据模型的数据结构时，必须给予如下限定和扩充：
无限关系在数据库系统中是无意义的，因此，限定关系数据模型中的关系必须是有限集合；
通过为关系的每列附加一个属性名的方式取消这种有序性，即（d1，d2，…，di，dj，…dn）=（d1，d2，…，dj，di，…dn）。
因此，关系具有以下6条基本性质：
①列是同质的，即每一列中的分量是同一类型数据，来自同一个域；
②不同的列可以出自同一个域，要用不同的属性名加以区分；
③列的顺序无所谓，可以任意交换；
④行的顺序无所谓，可以任意交换；
⑤任意两个元组不能完全相同；
⑥关系中的每一个分量必须取原子值，即每个分量都是不可再分的数据项。
表2-6所示的例子就是不满足基本性质⑥的关系。
表2-6 不满足基本性质的关系
