4.1.1　偏微分方程的概念

初等数学中已介绍过函数，当称y是自变量x的一个函数时，就可记为y=f(x)，表示当自变量x在一个给定范围中变动时，函数值y按规则f相应地变动。例如，以匀速v0运动的物体，其位移S是时间t的一次函数，可表示为S=v0 t；物体自由落体的位移S是时间t的二次函数，可表示为(g为重力加速度)。若要表示函数值y随着自变量x变化的速率，则需用y对x的导数f′(x)来表示。

在很多自然现象描述中，一个函数所依赖的自变量往往不止一个。例如，一个矩形的面积S等于其长a与宽b的乘积，即S=ab。当a或b变动时，S都相应变化，这里的S就是a和b的一个二元函数。当自变量的个数更多时，称为多元函数。对于一个多元函数，可以相应地考虑其对某个自变量的变化速率，即当其他自变量被视为常量时，该函数对此自变量的变化速率，这称为该函数对此自变量的偏导数。例如，矩形的面积S对其长a的偏导数，记为其值为b；而对其宽b的偏导数，则记为，其值为a。对于二元函数S=f(a，b)而言，不仅可以有一阶的偏导数及，而且由于一阶偏导数可能仍是一个多元函数，还可以继续求偏导数，从而还有二阶的偏导数、及等。