5.3.2　格子模型

根据LBM离散速度设置的差异，格子模型也存在差异。在一维情况下有D1Q3、D1Q5；在二维情况下有D2Q7、D2Q9等；在三维情况下有D3Q15、D3Q19等。D指代Dimension，D后面的数值是问题的维数；Q是指钱跃竑老师姓氏的首字母，以纪念他为LBM速度离散模型做出的贡献，Q之后的数值为一个节点包含的离散速度的方向数量。格子模型包含三个主要概念，即格子向量、格子声速及格子权重。下面，以常用的D2Q9格子模型为例进行说明。

格子向量如图5.1所示，除8个箭头方向之外，第9个方向为中间点。第1～4个方向可以表示为，i=1，2，3，4；第5～8个方向可以表示为，i=5，6，7，8；第9个方向可以表示为e9=(0，0)。通过格子向量，可以对不同方向的概率密度函数进行选择性操作。

声速的定义：在0℃下，声音在一个标准大气压的空气传播速度。它既是一个场量传播速度的标准，又是一个物质传递模型的基本量，大约为334 m/s。在LBM中，声速c=Δx/Δt，即场量在场域中的固有传播速度，各向同性，一般取c=1。格子声速c s是离散Boltzmann方程恢复到Navier-Stokes方程中的一个量，来自理想气体状态方程P=ρRT，其中c s=。

格子权重ωi的导出以格子张量计算规则和质量、动量及能量守恒规则为依据，要求在具体格子向量设置下，相应的权重组合能将离散Boltzmann方程恢复至宏观的Navier-Stokes方程。不同格子模型的权重不同，D2Q9格子权重模型如图5.2所示。

图5.1　D2Q 9格子向量模型

图5.2　D2Q 9格子权重模型

下面用MATLAB代码设置LBM的格子模型，包括：格子向量、格子声速及格子权重。代码如下：