5.3.7 边界条件
研究具体的物理系统，就必须考虑对象所处的特定“环境”，而周围环境的影响常体现为系统边界上的物理状态，即边界条件。根据边界条件的设定形式不同，一般可分为三类：狄利克雷(Dirichlet)条件、诺伊曼(Neumann)条件及罗宾(Robin)条件。这在4.2.3节中已经介绍，不再赘述。
在LBM中，根据变量类型不同，边界条件分为宏观边界条件和微观边界条件。宏观边界条件主要指速度和密度(压力)。对于同一边界上的网格节点，既要设置速度，又要设置密度。原则上，速度和密度不能同时设为第一类边界，如果速度(密度)指定了，那么密度(速度)就需要采用外推方法来确定。这里的“外推”，是指将内侧一层网格的相应值赋予边界节点，这本质上是设置值为0的第二类边界条件。
例如，通道流入口边界和出口边界的宏观边界设置代码如下：
第1、2、6行为直接指定数值，属于第一类边界条件。其他行代码都采用外推方法，本质上是第二类边界条件。
微观量的设置方式比宏观量更复杂。对于入口、出口的边界条件，既可以用Zhou/He边界条件，也可以用非平衡外推方法；对于壁面边界，既可以用反弹边界(Bounce-Back)，也可以用非平衡外推方法。由于非平衡外推方法处理起来简单，适合入口、出口、壁面等方式的微观边界设置，因此应用比较广泛。
非平衡态外推格式是由郭照立等人于2002年提出的一种具有二阶数值精度的微观量外推方法[10]。该方法将概率密度函数的组成分为两部分：一部分为平衡态，另一部分为非平衡态。平衡态部分可以通过宏观边界值直接得到；非平衡态部分则以外推方法得到，计算公式为
式中，f0，f1—— 边界格点和内邻格点的概率密度函数；，
——相应的平衡态分布函数。
通道流模型的四个边界上应用非平衡态外推方法的MATLAB代码如下：
其中，第1行表示左入口的非平衡外推格式，移项后即式(5.12)，也就是F(2：ly-1，1，：)-FEQ(2：ly-1，1，：)=(F(2：ly-1，2，：)-FEQ(2：ly-1，2，：))。其他三行代码分别为右出口、下壁面和上壁面三个边界上的分布函数。
非平衡外推方法主要用于处理求解域的边界条件，包括入口、出口和无滑移壁面等。在LBM中，反弹(Bounce-Back)方法也是一种常见的边界处理方法，它主要用于壁面边界的处理。
根据壁面边界的位置不同，反弹边界可以分为边界壁面(on grid)和内部壁面(mid grid)两种。在边界壁面，标准的反弹边界只有一阶精度，但经过改进后可以达到二阶精度(如修正反弹、半步反弹)，内部壁面边界则有二阶精度。在本书中，参与反弹的微观量不参与碰撞操作。若加入反弹边界条件，则需在程序流程中进行3个步骤改动，如图5.6所示。
图5.6 反弹操作在LBM计算流程中的嵌入
首先看看图5.7中所描述在边界上的“on grid”情况。
图5.7 壁面反弹边界中节点上的概率密度函数
对于边界上的节点，f6、f7、f8三个方向在迁移时是空缺的，为了在该节点上形成壁面(无滑移、无穿透)条件，在水平方向应满足无滑移条件，即f1+f2+f8=f4+f5+f6，在竖直方向应满足无穿透条件，即f6+f7+f8=f2+f3+f4，因而最简单的方法就是以f2、f3、f4分别替代f6、f7、f8，这样就使得碰撞后的微观量满足了壁面条件。此外，为了使得壁面边界的平衡态分布函数满足精度，还需要在计算宏观速度后对边界节点上的宏观速度进行修改，使得平衡态速度u eq=0。
对于“mid grid”的情况，根据宏观速度计算公式易知，反弹后微观量完全反向，因此宏观流动与上一时刻的流动趋势相反，并且由于没有增/减新的fi，可保证∑fi守恒，从而使得密度和压力的计算不引入新的误差。
“mid grid”型的Bounce-Back条件用于描述流场内部区域的固体结构，这对于构造特殊形态的通道结构(如狭窄、圆柱、漏筛等)有很大用处。