4.2.2　三种典型的偏微分方程类型

4.2.2　三种典型的偏微分方程类型

接下来，从方程形式角度概括三种典型的偏微分方程类型。

(1)椭圆型方程：

式中，当n=2时表示二维问题，当n=3时表示三维问题；f(x)称为方程的源项，若源项等于零则该方程退化为位势方程，若源项不为零则该方程为泊松方程。

椭圆型方程广泛应用于弹性力学中的平衡、渗流理论、势场论(静电场和引力场)、稳态温度场、浓度扩散等物理现象的描述。

(2)抛物线型方程：

此方程和椭圆型方程相比，主要多了一个一阶时间项。抛物线型方程又称热传导方程，广泛应用于描述多种物态性质的非稳态过程，如非稳态热传导、扩散、声学、电磁学振动等过程。

(3)双曲型方程：

双曲型方程又称波动方程，广泛应用于声波、流体波动及弦(膜)振动等现象的描述。

这三类方程可以用于描述自然界比较多的物理现象，是人们早期研究和总结偏微分方程的重要成果。随着研究的进一步深入，在19—20世纪还诞生了一系列描述形式上更为复杂的偏微分方程(组)，如用于描述流体运动的Navier-Stokes方程组等。