4.1.3 偏微分方程是打开自然界未知领域大门的金钥匙[1]
前面所列举的都是一些重要物理、力学学科的基本方程，这些基本方程形式不同、难易程度各异，但都是在很多观察、实验及思考的基础上建立起来，并能体现出相应学科本质的数学模型。只要掌握了这些基本方程，就了解了相应学科的本质特征。根据需要，在各种情况下求解这些方程并阐明其解的物理本质与内涵，不仅能透彻地掌握这些学科的规律，还能打开自然界未知领域的大门，逐步认识宇宙的奥秘。偏微分方程在人类认识世界和改变世界中的独特而关键性的作用由此可见一斑。《历史上最伟大的10个方程》[2]一书至少直接列出了三个重要的偏微分方程，相应章节的小标题分别是“19世纪最重要的事件——麦克斯韦方程组”“金蛋：爱因斯坦的广义相对论方程”及“量子论的基本方程薛定谔方程”。
下面对偏微分方程的作用举例说明。
1.电磁波的发现
麦克斯韦方程组描述了电磁场运动的一般规律，它是以电场强度E=E x+E y+E z及磁场强度H=H x+H y+H z为未知函数的一个偏微分方程组。麦克斯韦据此预言了电磁波的存在，并断言其在真空中的传播速度为光速。20年后，赫兹(Hertz)用实验证明了电磁波的存在，将麦克斯韦的预言变成了现实，从而在人类的历史上先后出现了电话、无线电通信、电视、手机，迎来了丰富多彩的信息时代。
2.薛定谔方程
薛定谔方程的具体形式为
，它已成为量子力学的基本数学模型。薛定谔方程是量子力学中描述单个微观粒子运动规律的基本方程。其中，h为一个物理常数；M为微观粒子的质量；i为虚数单位；Ψ称为波函数，是一个复函数。这个偏微分方程的推导并没有已有物理规律的支撑，还意外地出现了虚数单位i。把这个方程用于计算氢原子的光谱线，发现计算结果和实测结果完全一致，这使该方程成功地通过了实践的检验，从而牢固地确立了其为量子力学基本方程的地位。从薛定谔方程中可以看出，量子力学的基本方程中本质地出现了虚数单位i，这深刻地意味着“虚数不虚”，自然界实际上是用复数而不是用实数来运作的!
3.为高速飞行器的设计及运行提供依据
“飞天”曾是人类的一个美好的梦想，为了征服蓝天、走向太空，要成功地设计超声速飞机、人造地球卫星及宇宙飞船等航空、航天的利器，必须精确地了解飞行器周围的流场，包括气体的流速及压强等有关信息，这就需要求解理想(无黏性)或黏性流体力学方程组。这要求人们对这些基本方程组要有深入了解，并要对相应的数值求解方法进行深入研究。
4.黑洞的预见
爱因斯坦方程是广义相对论的基本方程，它具有深刻的物理与几何背景，是一个复杂的非线性偏微分方程组，对宇宙的形成与演化有重要的启示作用。爱因斯坦方程结构复杂，对其具体求解是很困难的，Schwarzschild于1915年给出了它的一个球对称的特解，现称为Schwarzschild解。这个解虽看上去比较简单，但当半径r等于某个值(称为施瓦氏半径)时，其值趋于无穷，解出现了奇异性；而在半径r小于该值时，人们由此猜测天体将发生坍塌，其解将是一个黑洞。这在当时只是从爱因斯坦方程的一个特解所提出的一个猜测，而在宇宙空间中存在黑洞现已是物理学家和天文学家的一个共识。