4.1.4　偏微分方程研究的未来

根据偏微分方程的特点和任务，除了其本身是一门博大精深的数学学科外，还有左、右两翼与之比翼齐飞，共同推动科学发展。其中一翼是物理模型，它是提供有意义的偏微分课题的不竭源泉；另一翼是科学计算，它不仅能对偏微分方程提供足够精确的近似解，而且能对偏微分方程的理论研究提供新的思路和方法。从偏微分方程出发，可以进一步衍生一些重要的数学学科和方向，如分布参数系统的控制理论、偏微分方程的数值解、数学物理反问题、无穷维动力系统、几何分析、随机偏微分方程等。从研究偏微分方程的角度，由于它是一门分析性的学科，因此很多分析方法(如微积分、常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、调和分析、广义函数论及微局部分析等)都会经常用到，分析外的学科(如几何、代数、拓扑、数论等)也会不时起到重要的作用。偏微分方程的研究也有力地促进了这些学科的进一步发展。总而言之，偏微分方程不仅意义重大，而且是一门兼收并蓄、极度开放包容的学科。