量子理论中的测量
在上面提到的关于量子理论方法的无矛盾性的研究中，海森伯提出了关系式（2），来作为同时测量一个粒子的时空坐标及能量—动量分量所能得到的最大精确度的一种表示式。他的观点是以下述考虑为依据的：一方面，例如利用一种光学仪器，就可以测量一个粒子的坐标并达到任意所需的精确度，如果用波长够短的辐射来照明的话。然而，按照量子理论，辐射在客体上的散射永远是和一个有限的动量改变联系着的；所用辐射的波长越短，动量的改变就越大。另一方面，例如通过测量散射辐射的多普勒效应，就可以测定一个粒子的动量并达到任意所需的精确度，如果辐射的波长如此之长以致反冲作用可以忽略不计的话；但是，这时测定粒子空间坐标的精确度就会相应地减小。
这种考虑的精华所在，就是量子公设在估计测量的可能性时的不可避免性。为了表明描述的普遍互补性，看来似乎仍然需要更详细地研究研究定义的可能性。确实，能量和动量在观察中的一种不连续的改变，并不能阻止我们赋予过程前和过程后的时空坐标以及能量—动量分量以精确值。由以上的分析可以看出，对这些量的值永远有影响的反比不确定性，本质上是一种有限精确度的后果：当用来确定粒子时空坐标的波场够小时，定义能量改变及动量改变的可能精确度就是有限的。
在应用一种光学仪器来测定位置时必须记得，成像永远要用到一个会聚光束。用λ代表所用辐射的波长，用ε代表所谓数值孔径即半会聚角的正弦，那么，显微镜的分辨率就用λ/2ε这一众所周知的表示式来确定。当客体是用平行光来照射时，入射光量子的动量h/λ在量值和方向上就都是已知的；即使在这种情况下，孔径的有限值也会妨害我们得到关于和散射相与俱来的反冲的精确知识。同样，即使粒子动量在散射过程以前是精确已知的，我们关于观察以后平行于焦面的动量分量的知识也还会有一个不准量2εh/λ。因此，当测量某一确定方向上的位置坐标及动量分量时，所可能得到的最小不准量的乘积恰恰是由公式（2）来确定的。人们或许会预料，在估计测定位置的精确度时，不但应该考虑到波列的会聚性而且应该考虑到波列的长度，因为在有限照射时间内粒子可能改变位置。但是，因为有关波长的精确知识在上述估计中是无关紧要的，所以可以理解，对于任一孔径值，波列永远可以取得如此之短，以致比起由于显微镜的有限分辨率而引起的位置测定中的内在不确定性来，粒子位置在观察时间内的改变是可以忽略不计的。
当借助于多普勒效应——适当照顾到康普顿效应——来测量动量时，人们将应用一个平行波列。然而，对于测量散射辐射的波长改变所能达到的精确度来说，波列在传播方向上的延伸度却是关系重大的。如果我们假设，入射辐射的方向和所要测量的位置坐标的方向平行，而散射辐射的方向则和所要测量的动量分量的方向相反，那么，就可以取cλ/2l作为测定速度的精确度的一种量度，此处的l代表波列的长度。为简单起见，我们在这儿曾经认为光速是远远大于粒子速度的。如果用m代表粒子的质量，那么，观察之后的动量值就有一个不准量cmλ/2l。在这一情况下，反冲的量值2h/λ被认为是足够明确地定义了的，目的在于避免在观察之后的粒子动量值中引入一个显著的不准量。事实上，康普顿效应的普遍理论，使我们能够根据入射辐射和散射辐射的波长算出反冲前后沿辐射方向的动量分量。即使在开始时粒子的位置坐标是精确已知的，我们关于观察之后的粒子位置的知识也仍会有一个不准量。事实上，由于不可能给反冲指定一个确定的时刻，我们就只能在一个精确度2h/mλ之内得知散射过程中沿观察方向的平均速度。因此，观察之后的位置不准量就是2hl/mcλ。于是，在这儿，测量位置和测量动量，二者的不准量的乘积也是由普遍的公式（2）来确定的。
正如在测定位置的情况中一样，对于测定动量来说，观察过程所经历的时间也可以要多短有多短，只要所用辐射的波长够短就可以了。正如我们已经看到的，这时反冲较大这一事实，并不会影响测量的精确度。应该进一步指出，像我们在这儿反复做过的一样谈到一个粒子的速度，其目的只是要和通常的时空描述得到一种联系，这种描述在现有情况下是方便的。正如由德布洛意的上述考虑已经看到的，在量子理论中，永远需要很小心地使用速度这一概念。也可以看到，这一概念的单义定义是被量子公设所排除了的。当比较相继观察的结果时更需要记住这一点。事实上，某一个体在两个已知时刻的位置，可以测量到任意所需的精确度；但是，如果我们要用通常的方法来根据这种测量计算该个体的速度，那就必须清楚地理解到我们是在处理一种抽象，根据这种抽象并不能得到关于该个体的过去行为和将来行为的任何单义信息。
按照关于定义客体属性的可能性的上述考虑，如果所考虑的不是粒子对辐射的散射而是粒子和其他物质粒子的碰撞，那么，在关于一个粒子的位置和动量的测量精确度的讨论中也并不会有什么不同。在这两种情况中我们都看到，所涉及的不确定性是对测量器械的描述和客体的描述同样都有影响的。事实上，在相对于那样一个坐标系而言的个体行为的描述中，这一不确定性是无法避免的，该坐标系是用通常的方式借助于固体和不可干扰的时钟固定下来的。可以看出，实验装置——孔径的启闭等等——只能允许我们得出关于所联系的波场的时空延伸度的结论。
当把观察追溯到我们的感觉时，就再一次地需要联系到观察器械的感知问题来考虑量子公设；至于这种感知是通过对肉眼的直接作用还是通过照相底片、威耳孙云室之类的适当辅助装置来实现，那都是无关紧要的。然而，很容易看出，所引起的附加统计因素，并不会影响描述客体时的不确定性。甚至可以设想，在把什么看成客体把什么看成观察器械这一问题上的任意性，或许会导致完全避免这一不确定性的可能。例如，联系到一个粒子的位置的测量问题，人们或许会问：是否无法根据观察过程中显微镜——包括光源和照相底片在内——的动量改变的测量并利用守恒定理来测定散射所传递的动量呢？但是，更加详细的考察可以证明，这样一种测量是不可能的，如果人们同时要求足够精确地知道显微镜的位置的话。事实上，根据在物质波的理论中得到了表达的那些经验可知，一个物体的重心位置和它的总动量，只能在关系式（2）所确定的反比精确度的范围内加以定义。
严格说来，观察这一概念，是包括在因果时空描述方式中的。但是，由于关系式（2）的普遍性，这一概念在量子理论中也可以得到合理的应用，只要将该关系式所表示的不确定性考虑在内就可以了。正如海森伯所指出的，将这种不确定性和不完善的测量所引起的不确定性相比较，人们甚至可以得到关于原子现象（微观现象）的量子理论描述的一个很有教育意义的例证，而不完善量度所引起的不确定性，是在自然现象的通常描述中被认为本来就包含于任何观察中的。海森伯在这一场合下指出，甚至在宏观现象的情况下，我们也可以在某种意义上说这些不确定性是重复的观察所引起的。但是，不应该忘记，在宏观理论中，任何后继的观察都允许我们越来越精确地预见未来事件，因为这种观察会使我们关于体系初态的知识有所改进。按照量子理论，正是忽略体系和测量器械的相互作用的不可能性，就意味着每一次观察都将引入一个新的不可控制的要素。确实，由上述考虑可见，一个粒子的位置坐标的测量，不但会带来各动力学变量的有限改变，而且，粒子位置的确定就意味着粒子动力学行为的因果描述方面的彻底破坏，而粒子动量的测定则永远意味着关于粒子空间传播的知识方面的一个缺口。正是这种形势，就十分突出地表明了原子现象之描述的互补品格；这种品格表现为客体及测量器械之区分和量子公设之间的对立的必然结果，而客体和测量器械之间的区分则是我们的观察概念本身所固有的。