怎么数无穷大的数

怎么数无穷大的数

上一节，我们讨论了一些数字，其中许多都相当庞大。但尽管它们大得令人难以置信，比如达依尔索要的小麦粒数，但它们仍然是有限的，只要有足够的时间，你就可以把它们完完整整地写下来，写到最后一位。

但有一些数字是真正无穷大的，无论我们写多久，也不可能把它写完。比如，“一切整数的数量”显然是无穷的，“一条线上所有几何点的数量”也是如此。那么此类数字除了是无穷大以外，还有其他特征吗？比如说，我们能比较两个不同的无穷大数字，并找出其中“更大”的那个吗？

“到底是所有整数的数量更大，还是一条线上所有点的数量更大”这样的问题有意义吗？此类乍看之下令人匪夷所思的问题由著名数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）最先提出，他不愧为“无穷大数算术”的奠基人。

比较无穷数的大小，就是比较一些我们既无法说出也无法写下的数字，此时，我们面临的困境很像霍屯督人想比较自己的宝藏中到底是玻璃珠多还是铜币多时的困境。但你应该记得，“霍屯督人最多只能数到三”。难道他们就要因此彻底放弃对珠子数量与铜币数量的比较吗？当然不会。如果一个霍屯督人足够聪明，他会通过逐个比较的方式获得答案。他会在一枚铜币旁放一颗珠子，在另一枚铜币旁放另一颗珠子，依此类推……如果他用尽了珠子，还有多余的铜币，他就知道自己的铜币比珠子多；如果用尽了铜币，还有多余的珠子，他就知道自己的珠子比铜币多；如果两样同时用尽，他就知道自己的铜币和珠子一样多。

这也正是康托尔提出的比较两个无穷大数的方法：如果我们能将两组无穷数列中的数字两两配对，任一数列中都没有数字落单，那么这两组无穷数列就是相等的。如果有一组数列中留下了一些落单对象，那么，我们就说这组无穷数列比另一组无穷数列更大，或更强。

这显然是最合理、也是事实上唯一可行的比较无穷数列的方法，但实际应用这个方法时，还是要准备好迎接一些意外情况。以所有偶数排成的无穷数列和所有奇数排成的无穷数列为例。你当然会直觉地认为，偶数和奇数一样多，而且，这个例子应该完全符合上述规则，可以做到两两配对（图1-5）：

图1-5　奇数与偶数配对

图1-5中，每一个偶数都对应着一个奇数，反之亦然；因此，偶数的无穷数列与奇数的无穷数列相等。看起来的确一目了然！

但是，且慢。你认为是所有整数（包含偶数和奇数）的数量更大，还是偶数的数量更大呢？你当然会说所有整数的数量更大，因为它本身包含所有偶数，也包含所有奇数。但这只是你的印象，要得到准确答案，你必须使用上述法则比较这两个无穷数列。你会惊讶地发现你的印象是错误的。实际上，整数和偶数的对应如图1-6所示：

图1-6　整数与偶数配对

根据比较无穷数列的规则，我们必须承认，偶数的数量与所有整数的数量一样多。当然，这听起来很荒谬，因为偶数只是所有整数的一部分，但别忘了，我们面对的是无穷大数，必须做好遭遇反常性质的准备。

实际上，在无穷大的世界中，“部分”可能等于“整体”！要说明这一点，最好的例子大概是德国著名数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）的一个故事。据称，他在关于无穷大的演讲中用以下语言描述了无穷大数的这一悖论性质^[9]：

“假设有一家酒店，房间数量有限，且所有房间都住满了客人。一位新客人想要一个房间。老板告诉他：‘抱歉，没有空房了。’现在，假设另一家酒店的房间数是无穷的，所有房间也都住满了。这家酒店也来了一位新客人，问有没有房间。

“‘当然还有！’老板高声宣称，然后，他把之前1号房间的客人移到了2号房间，将2号房间的客人移到了3号房间，将3号房间的客人移到了4号房间，依此类推……如此，1号房间就空了出来，新客人就住了进来。

“再想象一下，有一家房间数量无穷大的酒店全部住满了。现在又有数量无穷多的新客人前来住店。

“老板说：‘当然有房间，先生们，请稍等。’

“他将1号房间的客人移至2号，将2号的客人移至4号，将3号的客人移至6号，依此类推……

“现在，所有奇数编号的房间都空出来了，可轻松招待数量无穷多的新客人。”

我们很难想象希尔伯特所描绘的状况，哪怕是在战时的华盛顿，但这个例子无疑能让人明白，在面对无穷大数字时，我们遇到的“性质”会不同于普通算术中常见的那些“性质”。

按照康托尔比较两个无穷数列的规则，举一反三，我们也可以证明所有普通分数（如或）的数量与所有整数的数量相同。事实上，我们可根据以下规则将所有普通分数排成一行：首先，写出分子和分母相加得2的分数，这样的分数只有一个，即。再写出分子分母相加得3的分数，即和。然后是相加得4的，即，，。以此类推，我们将得到一个无限的分数数列，其中包含一切可以想到的分数。现在，在该数列上面写下整数数列，你可以实现分数的无穷数列与整数无穷数列的两两对应（图1-7）。因此，它们的数量是相等的！

图1-7　分数的无穷数列可与整数无究数列两两对应

你可能会说：“好吧，都能两两对应，但这是否意味着所有无穷大数都相等呢？真如此的话，比较它们还有什么意义？”

并不是这样，我们能轻松找地出一个比所有整数或所有分数数量更大的无穷大的数来。

实际上，回头看前文提到的一条线中所有点的数量与所有整数数量的比较问题，我们就会发现这两个无穷大数是不相同的。一条线上的点的数量比所有整数的数量多得多。为证明这一说法，让我们尝试在一条线段（比如1英寸长）上的点和整数序列之间建立两两对应的关系。

我们将线上的每个点都表示为它与线的一个端点的距离，该距离可以用无限小数形式表示，例如0.735 062 478 005 6…或0.382 503 756 32^[10]…因此，我们现在要比较的对象就变成了所有整数的数量与所有可能的无限小数的数量了。那么，无限小数与上文提到的普通分数（如或）有什么区别呢？

我们知道，每个普通分数都可转换为无限循环小数。比如2/3=0.666 66…=0.（6），3/7=0.428 571|428 571|428 571|4…=0.（428 571）。上面，我们已经证明了所有普通分数的数量等于所有整数的数量；因此，所有循环小数的数量也一定与所有整数的数量相同。但是线段上的点并不都能用循环小数来表示，并且多数情况下我们获得的无限小数，其小数点后面完全不存在任何周期性；而且我们很容易证明，对它们进行线性配对排列也是不可能的。

假设有人宣称做了这样的配对排列，情况大致如图1-8所示：

图1-8　将线段上的点与循环小数做配对

当然，由于每一个无限小数小数点后的位数都是无穷的，我们无法完整写出它们，但如果以上说法属实，图1-8的作者会确立一些一般性规则（类似我们用于排列普通分数时的规则），他会根据这一规则绘制该图，而这个规则也能确保一切人们想得到的小数迟早都会出现在图中。

而我们不难证明所有此类大话都是站不住脚的，因为我们总是可以写出一个不包含在该图中的无限小数。怎么做呢？非常简单。在写这个小数时，只需让其小数点后的第一位不同于N1小数点后的第一位，第二位不同于N2小数点后的第二位，以此类推。你会得到这样一个数字（如图1-9）：

图1-9(https://www.daowen.com)

不论你在图1-8中如何搜寻，永远不可能找出上面这个数字。实际上，如果图1-8中的作者告诉你，这个数字出现在图1-8中的第137行（或其他任意行），你可以立即回答他：“不，它不是同一个数字，因为小数点后的第137位不同。”

因此，我们不可能在一条线段上的所有点与所有整数之间建立起一一对应的关系，这意味着代表线段上所有点的无穷大数大于（或强于）代表所有整数或所有分数数量的无穷大数。

上面讨论的是一条“1英寸长”的线段上的所有点，但也很容易证明，根据“无穷大数算术”法则，使用任何长度的线段都是成立的。实际上，1英寸、1英尺或1英里长的线段上的点的数量都是相同的。为证明这一点，请看图1-10，该图比较了不同长度的两条线AB和AC上的点的数量。为了在这两条线的所有点之间建立一一对应关系，我们以AB上的每个点为起点，画一条平行于BC的线，然后将两边的交点两两配对，例如D和D'、E和E'、F和F'，等等。AB上的每个点在AC上都有一个对应点，反之亦然；因此根据我们的准则，代表这两条线上点的数量的两个无穷大数是相等的。

图1-10

关于无穷大数的分析还能得出一个更惊人的结果：平面上所有点的数量等于线段上所有点的数量。为证明这一点，让我们以线段AB（长1英寸）和正方形CDEF（图1-11）为例。

图1-11

假定线段上某个点的位置是0.751 203 86…我们可以将其小数点后数字按奇偶数位分开，把它分成两个数字：

0.710 8…及0.523 6…

然后将这两个数字分别作为水平距离和垂直距离，在正方形中锁定一个点，这就是线段上那个点的“对应点”。反过来，假定先在正方形中锁定一个点，其位置由以下两个数字表示：

0.483 5…和0.990 7…

我们也可以通过合并这两个数字获得线段上的“对应点”：0.498 930 57…

显然，此过程可在这两组点之间建立起一对一的关系。线段上的每个点都能在正方形中找到对应点，正方形中的每个点也都能在线段上找到对应点，两边都不会有任何点落单。如此，根据康托尔的准则，代表正方形内所有点的无穷大数便等于代表线段上所有点的无穷大数。

同样，代表立方体内所有点的无穷大数与代表正方形或线段上所有点的无穷大数也是相同的，这一点很容易证明。我们只需要将代表线段上点的小数分成三部分^[11]，并用新获得的三个小数在立方体内找到“对位点”即可。另外，和两条不同长度的线段一样，不同大小的正方形或立方体内的点的数量也都是相等的。

但是，所有几何点的数量虽然大于所有整数和分数的数量，但它并非数学家已知的最大的数。实际上，数学家已经发现，所有可能的曲线（包括形状最不寻常的曲线）种类的数量比所有几何点的数量更大，因此，我们应将之视为第三级无穷数列。

按照“无穷大数算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母ℵ（读作阿莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为

1，2，3，4，5，…，ℵ1，ℵ2，ℵ3，…

如此，我们可以说“一条线段上有ℵ1个点”或“有ℵ2种形式的曲线”，这和说“世界有7个大洲”或“一副扑克牌有52张（实际应为54张）”没什么两样（图1-12）。

图1-12　无穷大数的头三级

ℵ0代表所有整数和分数的数量
ℵ1代表一条线段、一个正方形或一个立方体上所有几何点的数量
ℵ2代表所有几何曲线的种类

结束对无穷大数的讨论前，我们需要指出，所有我们想得到的无穷大数列的集合都能用区区几个无穷大数的级表示。我们知道，ℵ0代表所有整数和分数的数量，ℵ1代表所有几何点的数量，ℵ2代表所有曲线的种类，而目前为止，还没人能想出一个能用ℵ3描述的明确的无穷数列。似乎前三级的无穷大数已足以代表我们能想到的一切，此时，我们面临的困境似乎正好与我们的老朋友霍屯督人相反——他们有许多个儿子，但只能数到三；我们有三级无穷大数，却找不到比它们更大的数可数。

【注释】

[1]这里的宇宙限定在用全球最大的望远镜能看到的范围以内。

[2]古希腊的一个“视距”为606英尺6英寸，即188米。

[3]1英里≈1.609千米。

[4]用现在的数字单位来计算，应该是：千万×二级单位×三级单位×四级单位×五级单位×六级单位×七级单位×八级单位，或简化为：1063（即1后面63个零）。

[5]聪明的达依尔要求的小麦数量可用以下公式表示：1+2+22+23+24+…+262+263。在算术中，此类每个数字都是前一个数字倍数的数列（这里的倍数为2）称为几何数列。可以证明，此类数列的各项之和可以将固定倍数（这里是2）的项数次幂（这里为64）减去第一项的数字（这里是1），再除以倍数与1之差得出。公式如下：得出的数字为：18 446 744 073 709 551 615。

[6]欧美旧时计量单位，1美制蒲式尔约为35.2升。

[7]引自W.W.R.Ball，Mathmatical Recreations and Essays（《数学拾零》）。

[8]如果只有7张金片，必要的移动次数为：1+21+22+23+…+26，即27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果你能快速无误地移动金片，完成任务大约需1个小时。如果有64张金片，所需的移动次数为：264-1=18 446 744 073 709 551 615，这就等于达依尔索要的小麦粒数。

[9]摘自古朗特（R.Courant）撰写的《希尔伯特故事全集》。（这段演讲从未出版，甚至希尔伯特从未写成文字，但流传甚广。）

[10]所有这些分数都小于1，因为我们已经假定线的长度为1。

[11]例如，我们可把数字0.735 106 822 548 312…分成下列三个新的小数：0.718 53…，0.302 41…，0.562 82…。