神秘的
现在来看稍微高级一点的算术：“二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。”因此：4的平方根是2，9的平方根是3，16的平方根是4，25的平方根是5。[5]
但一个负数的平方根是多少呢？
和
这样的写法有意义吗？
如果以理性的方式回答这个问题，毫无疑问，以上写法没有任何意义。
用12世纪的数学家婆什迦罗的话说：“正数的平方和负数的平方都为正。因此，一个正数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。负数没有平方根，因为负数不是平方数。”
但数学家都是些倔强的人，当某些看似毫无意义的东西反复出现在他们的公式中时，他们会竭尽所能为之赋予意义。负数的平方根无疑就是这样一个会在各种地方不断出没的东西，不论是在过去的数学家面对的简单的算术问题中，还是在20世纪的相对论理论框架中的时空统一问题中。
第一个将显然无意义的负数平方根写进公式的无畏者是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论能否将数字10拆分为两部分，并使这两部分相乘得40时，他指出，虽然这个问题没有任何说得通的答案，但我们可以诉诸两个不可能存在的数学表达式：
和
。[6]
卡尔丹在写下这个答案时承认它是无意义的，是捏造和想象的，但他还是写下了它们。
尽管此类数字是想象出来的，但只要一个人胆敢写出这样的负数平方根，将10拆分为两个相乘得40的数就有解了。而一旦这层窗户纸被捅破，形形色色的数学家就开始越来越多地（毫无保留和借口地）使用起了负数平方根，并按照卡尔丹的其中一种称呼，将之称为“虚数”。在1770年瑞士著名数学家欧拉出版的关于代数的书中，有大量对虚数的应用，对此，他还特别做了解释说明：“
、
这样的数学式都是不可能或想象出来的，因为它们代表负数的平方根，对于这样的数，我们可以断言它们既非虚无，也非虚无以上，亦非虚无以下，可见，它们必然是虚构的或不可能的。”
但是，尽管存在种种滥用的借口，虚数很快就在数学中变得像分数或根号一样难以回避，不使用虚数会让人寸步难行。
虚数家族可以说是实数虚构的镜像，正如可以从基数1开始得出所有实数一样，我们也可以将
作为虚数的基数，以此得出所有虚数。
通常以符号i表示。
不难看出，
；
，以此类推，每个实数都有一个想象的分身。我们也可以将实数和虚数组合成一个表达式，如卡尔丹最早给出的：
。这种混合了实数虚数的形式通常被称为复数。
在虚数闯入数学领域后的两百多年里，它们始终被蒙着一层神秘和不可思议的面纱，直到两名业余数学家对虚数给出了简单的几何解释后，面纱才被掀开，这两名数学家分别是挪威测量师威塞尔（Wessel）和法国巴黎簿记员罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）。
按照他们的解释，3+4i这样的复数可用图2-2表示出来。其中3是横坐标，4是纵坐标。
实际上，所有实数（正数和负数）都对应着横轴上的点，所有纯虚数都对应着纵轴上的点。当我们将对应横轴上一个点的实数（比如3）乘以虚数单位i后，便可得到纯虚数3i，它一定会落在纵轴上。可见，一个数乘以i等于在几何上逆时针旋转90°（见图2-2）。
图2-2
此时，如果将3i再乘以i，它对应的点就会再逆时针旋转90°，这样一来，这个点会再次回到横轴上，只是落在了复数一侧。因为：
3i×i=3i2=-3，或i2=-1。
说“i的平方等于-1”，会比说“旋转（逆时针）两个直角后，方向会颠倒过来”更容易理解。
当然，同样的规则也适用于复数。将3+4i乘以i，可得到：
（3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i
从图2-2可立即看到，点-4+3i对应着点3+4i，前者是后者围绕原点逆时针旋转90°所得。同样的道理，一个数乘以-i就是围绕原点顺时针旋转90°，如图2-2所示。
如果仍觉得虚数被蒙着一层神秘云雾，你只要思考一个涉及虚数实际应用的简单问题，这层云雾就会烟消云散了。
一个富有冒险精神的年轻人在曾祖父的故纸堆中发现一块羊皮纸，其中指出了宝藏的位置。指示如下：
“航行至北纬 、西经 ，[7]你会找到一座荒岛。岛的北岸有一块大草地，那里有一棵橡树和一棵松树。[8]还有一具古老的绞刑架，是我们过去处置叛徒的地方。从绞刑架走向橡树，记下步数，然后从橡树处以直角右转，走出相同的步数，在地上打一根桩。现在，返回绞刑架，走向松树，再记下步数；到达松树后，以直角左拐，再走出相同的步数，在地上打一根桩。找到两根桩正中间的位置；宝藏就在那里。”
这段指示清楚明了，于是，我们的年轻人租了一艘船，驶向了南太平洋。他找到了那座小岛，找到了草地、橡树和松树，但令他伤心不已的是绞刑架不见了踪影。那段记录来自很久以前，木架已经在雨打风吹日晒中朽烂，归于尘土了，没留下一点曾经矗立的痕迹。
那位冒险的年轻人在绝望和愤怒的驱使下，开始四处挖掘，但最终一无所获。那座荒岛太大了！他只能空手而归。宝藏或许仍留在那里。
这是个悲哀的故事，但更悲哀的是，如果这个年轻人对数学有一点了解，特别是懂得运用虚数的话，他或许已将宝藏收入囊中。下面让我们看看能否帮他找到宝藏，虽然为时已晚。
将这座岛屿视为一个复数平面；以穿过两棵树所在位置的直线为实轴，以两棵树的中点为原点，在原点上与实轴垂直方向画一条线，作为虚轴（图2-3）。以两棵树距离的一半作为长度单位，由此，我们可以说橡树位于实轴的-1点上，松树位于实轴的+1点上。我们不知道绞架在哪儿，在此用希腊字母Γ（γ的大写）表示它的位置——这个字母也很像个绞刑架。绞刑架不一定在这两根轴上，因此Γ需要被视为一个复数：Γ =a+bi，从图2-3 可以看出a和b的含义。
图2-3 利用虚数寻宝
现在来做一些简单运算，请记住上文讲到的虚数乘法法则。因为绞架位于Γ点，橡木位于-1点，它们的距离和方位可表示为
（-1）-Γ =-（1+Γ）。
类似的，绞架和松树的距离为1-Γ。接下来，分别将这两段距离顺时针和逆时针旋转90°，根据上文讲到的法则，我们只需将它们分别乘以-i和i，便可锁定两根桩的位置：
第一根桩：（-i）[-（1+Γ）]+1=i（Γ+1）+1，
第二根桩：（+i）（1-Γ）-1=i（1-Γ）-1，
由于财宝藏在这两根桩子中间的位置，我们只需求出以上两个复数之和的一半即可：
现在我们可以看到，用Γ表示的绞架未知位置在我们的运算过程中消失了，可见，不论绞架在哪，财宝都一定在+i点上。
看来，我们的冒险者要能完成一些简单的数学运算，也就不用挖空整座岛了，他只需在图2-3所示的十字位置上搜寻即可，可惜啊！
如果你还是不相信不必知道绞架的位置就能确定宝藏在哪儿，那么，请在纸上画画试试，先标出两棵树的位置，然后用不同的点代表绞刑架的位置，并按照羊皮纸上的说明一步步推导，你会发现，不论怎么选择绞架的位置，最后得出的宝藏位置都在复数平面的+i点上！
人类还通过-1的平方根这个虚数发现了另一个惊人的宝藏。即我们的普通三维空间可与时间结合，构成一个由四维几何法则掌控的四维图像。我们会在下一章讨论爱因斯坦的思想及其相对论时为大家介绍这个发现。
【注释】
[1]一个数的自然对数可简单定义为它的一般对数乘以2.302 6。
[2]初级几何中的毕达哥拉斯定理给出了相关证明：32+42=52。（注：这个定理即我国古代的勾股定理）
[3]丢番图的一般规则是，取两个数字a、b，使2ab为完全平方数。然后取
此时，很容易用普通代数证明：x2+y2=z2。如此，我们可列出所有可能的整数解，前几个为：32+42=52（埃及三角形）52+122=132 62+82=102 72+242=252 82+152=172 92+122=152 92+402=412 102+242=262
[4]1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，遂称费马大定理。
[5]其他数字的平方根也很容易计算。例如，（2.236…）×（2.236…）= 5.000…，所以
=2.236…；（2.702…）×（2.702…）=7.300…，所以
=2.702…。
[6]证明如下：
[7]那份记录给出了具体的经度和纬度，但本文略去了这些数字，以免泄露机密。
[8]基于同样的原因，树的种类也做了更改。显然，藏宝的热带岛屿上也会有其他种类的树木。