把空间翻过来
目前为止，我们讨论的都是各种表面，也就是二维空间的拓扑学性质，但显然，针对我们生存其中的三维空间，也可以提出类似问题。三维空间的地图上色问题可演变为：用不同材料的块体构造出空间拼图，让所有由相同材料制成的块体没有表面接触。要实现这一点，需要多少种不同材料？
那么，与球面或圆环体表面的上色问题对应的三维空间的上色问题是什么呢？有没有什么特殊的三维空间，它们之于我们的普通空间，就像球面或圆环体表面之于普通平面呢？乍看之下，这个问题似乎很荒谬，我们能轻松想出各种各样的曲面，但往往认定只存在一种三维空间，即我们生活其中的熟悉的物理空间。但这种看法其实是一种危险的错觉。只要稍微发挥一下想象力，我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中大不相同的三维空间。
想象这种奇异空间的主要困难在于，我们是一种三维生物，只能“从内部”观察三维空间，而不能像观察各种奇形怪状的曲面一样“从外部”观察。不过，只要做几节“头脑健身操”，我们可以不太困难地战胜这些奇异的空间。
首先，我们尝试建立一个与球面具有相似特性的三维空间模型。球面的主要特性是，它虽然没有边界，但面积是有限的。它只是绕了一圈，自我封闭了起来。我们能否想象一个能以类似方式自我封闭的三维空间，使其具有有限的体积，而没有任何尖锐的边界呢？请想象出两个被球形表面限制的球体，就像被苹果皮包裹着的苹果肉一样。
现在请想象让这两个球体“穿透彼此”，使它们的外表面聚合在一起。当然，我们不是说你可以将两个苹果这样的物理实体挤到对方内部，让两边的苹果皮重叠在一起。两只苹果哪怕被挤碎挤烂，也不可能穿透彼此。
不如我们换一种思路，想象一只苹果内部有错综复杂的虫蛀通道系统。假定有两种虫子，白色的和黑色的，它们不喜欢彼此，决不会在苹果内跨至对方的通道里去——虽然两条通道在苹果皮上的入口可能是两个相邻的点。被这两种虫子蛀空的苹果最终会看起来像图3-7这样，其中有两套紧密交织的通道网络，这些网络填满了整个苹果内部。但虽然白色和黑色通道非常接近，要想从迷宫的一半来到另一半只有一个方法，即来到苹果皮外面。
图3-7 苹果内部的两个独立空间
想象这两条通道变得越来越细，越来越长，最终，你将能想象出，整个苹果的内部空间将构成两个重叠的独立空间，这两个空间只能通过苹果皮外面的出口相连。
如果你不喜欢虫子，你可以设想一套双重的走廊和楼梯系统，并假设该系统位于巨型球体内部，比如纽约世界博览会的巨型球体建筑。每个楼梯系统都可被视为“贯穿”了整个球体空间，但要想从第一个系统的某个点到达第二个系统的相邻点，必须一路绕至球体表面两个系统的连接处，再一路绕回去。可以说，这构成了两个重叠而不相交的球体，即便你和一个朋友离得很近，但由于分属两套系统，你要跟他见面握手，永远要绕一大圈！必须指出，两个楼梯系统的连接点与球体内的任何其他点没有任何实质区别，因为你总是可以通过拉扯楼梯系统，使整个结构变形，将连接点拉入球面内，将原来在球面内的点拉到外面来。还要指出，在这个模型中，虽然通道的总长度是有限的，但不存在“死路”。你可以穿过走廊，登上楼梯，没完没了地走下去，而不会被任何墙壁或栅栏阻挡，只要你走得足够远，你一定能回到出发的地方。从外面观看整个结构，你可以说一个人最终穿过迷宫回到出发点的原因只是因为这条通道是弯曲的，但对于里面的人而言，他们甚至不知“外面”为何物，他们会感觉自己置身于一个大小有限却又没有明显边界的空间里。
正如下一章会讲到的，这种没有明显边界但又绝非无限的“自我封闭的三维空间”在讨论整个宇宙的性质时非常重要。实际上，人类运用最强大的望远镜观察到的情况似乎表明，空间在浩渺的宇宙深处会开始弯曲，这体现了明显的空间折回和自我封闭的趋势，这种封闭的方式就像苹果的虫洞一样。但在继续探讨这些令人兴奋的问题之前，我们必须先了解一下空间的其他属性。
苹果和虫子的事还没说完，我们要问的下一个问题是，能否将一颗被虫子蛀过的苹果变成一只甜甜圈。不，我们不是说让它吃起来像甜甜圈，只是让它看起来像甜甜圈。我们讨论的是几何，不是烹饪艺术。现在取一个上文讨论的那种双苹果，即两个“穿透彼此”并沿着苹果皮“黏在一起”的新鲜苹果。假设一只虫子在其中一只苹果内蛀出了一个环形通道，如图3-8所示。记住，只在其中一只苹果内，也就是说，通道外的每个点都是属于两只苹果的双重点，而通道内只剩下未被虫蛀的那只苹果的材料。现在，这只“双苹果”拥有了一个由通道内壁组成的自由表面（图3-8a）。
你能把这颗坏苹果变成一只甜甜圈吗？假定苹果的材料是完全可塑的，想怎么捏就怎么捏，只要不裂开即可。为方便操作，我们可以切开苹果，但要在完成所需的变形后将切口粘合。
首先，揭掉构成“双苹果”的两只苹果的苹果皮，并将这两张粘在一起的苹果皮拆分开来（图3-8b）。用Ⅰ和Ⅰ′标记它们，以便在后面的操作中追踪它们，完工前，我们还要将它们重新粘合起来。现在，将包含虫蛀通道的那只苹果沿通道切开（图3-8c）。这一步又产生了两个新切出的表面，将它们标记为Ⅱ、Ⅱ′和Ⅲ、Ⅲ′，以便稍后准确地将它们粘合起来。这一步也让通道的自由面露了出来，该自由面将构成甜甜圈的自由面。现在，按照图3-8d所示的方式，将切下的部分拉伸。此时，自由面被拉伸成很大一块（根据我们的设定，苹果的材料可任意拉伸！）；而切割面Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的尺寸都变小了。以上是对“双苹果”的其中一只的操作，同时，我们要将另一只苹果缩小到樱桃大小。现在准备将切口粘合起来。先从容易的开始，将Ⅲ和Ⅲ’面重新粘合起来，可得到如图3-8e所示的形状。接着，将那只缩小的苹果放在另外两端之间，并将它们拼在一起。然后将苹果皮I’和I粘起来，将切口Ⅱ和Ⅱ’粘起来。如此，我们就得到了一只漂亮的严丝合缝的甜甜圈。
图3-8 如何将一颗虫蛀的双苹果变成一只出色的甜甜圈
做这些有什么意义呢？
没什么意义，只是让你做一下头脑健身操，习惯一下想象的几何学，这有助于你理解弯曲空间和自我封闭空间等不寻常事物。
如果你想让想象力驰骋得更远一些，可以来看一个对上述流程的“实际应用”。
你可能从没想过，你的身体也曾拥有过甜甜圈的形状。实际上，所有生物体发展的早期阶段（胚胎期）都经历过“胚囊”这一过程，此时，胚胎呈球形，并有一条宽阔的通道从中穿过。食物从通道的一端被摄入，吸收后的残余物从另一端排出。在充分发育的生物体内，这条内部通道会变得很细，也更为复杂，但基本原则保持不变：所有甜甜圈形状的几何特性也保持不变。
来，既然你是甜甜圈，不妨试试遵照图3-8的指示，将内外颠倒过来（心理上！），把你的身体转化为一只有内部通道的双苹果。你会发现，你身体中各个相互交错的部分构成了“双苹果”的果体，而整个宇宙（包括地球、月亮、太阳和星星）则被挤压进了内部的环形通道中！
试一试动笔把它画出来，说不定萨尔瓦多·达利本人也会认可你在超现实主义绘画方面的本领呢！（图3-9）
图3-9 内外颠倒的宇宙
这幅超现实主义的画作表现了一个在地球表面行走的人在抬头看星星。画中根据图3-8所示的方法对这一场景进行了拓扑变换。地球、太阳和星星挤在一个相对狭窄的通道内，通道贯穿人体，被各种器官包围。
这一节已经够长了，但在结束前，我们不能不讨论一下左手系和右手系物体的问题，以及它们与空间一般特性的关系问题。手套是最直观的例子。比较一副手套中的左右两只（图3-10），你会发现它们的所有尺寸都一模一样，但依然有很大区别，因为你没法将左手的手套戴在右手上，反之亦然。不管你怎么翻转，扭来扭去，右手手套始终是给右手戴的，左手手套始终是给左手戴的。鞋子也一样，汽车也一样（美国车和英国车），高尔夫球杆和许多其他物品也都是这样，都有左右之分。
图3-10 左右手系的物品看上去完全一样，实际却大不相同
从另一方面来说，帽子、网球拍等物品就不存在这种差异。没人会蠢到去商店买一打左手用的茶杯，如果有人让你去邻居家借一把左手用的扳手，他一定是在捉弄你。那么，这两类物品有什么区别呢？稍微考虑一下，你会发现诸如帽子或茶杯之类的物体都有一个所谓的对称平面，沿对称平面可将它们切成一模一样的两半。手套或鞋子没有这样的对称平面，不管怎么切，你都没法把一只手套切成两个完全相同的部分。如果一件物体不具备一个对称平面，我们称之为非对称的，那它就会表现为两种形式：左手系和右手系。这种差异不仅表现在手套或高尔夫球杆等人造物体上，也经常表现在自然界中。例如，自然界中有两种蜗牛，它们在所有其他方面都一模一样，唯独建房子的方式不同：一种蜗牛壳的螺旋是左旋的，另一种是右旋的。甚至所谓的分子，这种可构成各种不同物质的微小颗粒，通常也有左右之分，与左右手的手套或左旋和右旋的蜗牛壳很相似。
当然，分子是肉眼不可见的，但在分子构成的晶体以及它们的某些光学性质中，都会体现出这种不对称性。例如，有两种不同类型的糖：左旋糖和右旋糖。神奇的是，也有两类食糖细菌，每一类食糖细菌只吃对应类型的糖。
如上所述，我们似乎很难将右手系物体（例如手套）转变为左手系物体。真是如此吗？还是我们能想象出一个能完成这项任务的奇妙空间呢？要回答这个问题，我们可以从生活在平面中的“扁平居民”的角度想象一下，这样做的好处在于，我们能透过优越的三维视角观察它们。请看图3-11，其中描绘了平面国度（即二维空间）的几个可能的存在。手拿葡萄的站着的人可称为“正面人”，因为他只有“正面”，没有“侧面”。图中的动物可称为“侧面驴”，或更具体地，“右侧面驴”。当然，我们也可以画一头“左侧面驴”，由于这两头驴都限制在平面上，从二维角度看，它们的关系和我们普通空间中的左右手手套一样。你不能把“左驴”叠加在“右驴”上面，因为要将它们的鼻子或尾巴叠在一起，必须让其中一头驴倒过来，但这样一来，它的四足又会悬在空中。
图3-11 生活在平面的二维“影子生物”[7]
但如果你能从平面上把其中一头驴拿出来，在空中掉个头，再放回去，这两头驴就会变得一模一样。以此为启发，我们是否也可以将右手手套从我们的空间拿出去，在四维空间里以适当的方式翻转它，再拿回来，右手手套就会变成左手手套呢？但我们的物理空间并不存在第四维度，上述方法不具有可行性。还有没有其他办法呢？
让我们再次回到二维世界，但选择的研究对象不再是图3-11那样的普通平面，而是所谓的“莫比乌斯表面”。此类表面以百余年前首次研究它的德国数学家的名字命名。制作方法很简单，你只需拿一张长条状的普通纸张，将其中一端扭半圈，与另一端粘起来即可。看看图3-12就知道怎么做了。此类表面有许多奇怪的特性，其中一个特性很容易展示，你只需拿一把剪刀，沿着与边缘平行的中线整个剪开（沿图3-12所示的箭头位置）即可。你一定认为这样做之后，原来的一个纸圈会变成两个分开的纸圈。实际做下来，你却会发现这个猜测是错的：你不会得到两个纸圈，而是会得到一个长两倍、宽度减半的纸圈！
图3-12 莫比乌斯表面与克莱因瓶
现在来看看，影子驴在莫比乌斯表面上走起来会发生什么。假设它从位置1（图3-12）出发，此时它是一头“左侧面驴”。它走下去，陆续经过位置2和位置3，最后开始接近出发的位置。此时，不光这头驴纳闷，读者也会觉得惊讶，它呈现一个很尴尬的姿势（位置4）：四脚朝天。它当然可以让自己颠倒过来，但这样一来，它的头又朝向了另一边。
简言之，通过在莫比乌斯环表面行走，我们的“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。而且，请注意，我们并未把驴从那个表面拿下来，翻个面，再放回去。由此可见，在一个扭曲的面上，右手系物体是可以变成左手系物体的，反之亦然，只要让那个物体经过扭曲的面即可。图3-12所示的莫比乌斯圆环其实是一种更一般性的曲面克莱因瓶（图3-2右侧）的一部分，这种瓶只有一个面，这个面自我封闭，且没有明显的边界。既然在二维表面上能实现这一点，在我们的三维空间里应该也能实现这一点，前提是要以适当的方式对它进行扭曲。但可以预见，在三维空间内想象莫比乌斯空间扭曲并不容易。我们不能像观察那头驴子所在的面一样，跳到外面观察我们所在的空间，而当我们置身于物体内部时，总会很难把握物体的全貌。但是，宇宙空间并非不可能是自我封闭的，也并非不可能以一种如莫比乌斯环的扭曲方式实现自我封闭。
如果真是这样，宇宙旅行者返回地球后，心脏将位于右胸腔，而手套和鞋子厂商也能利用这一可疑优势简化制造流程，他们只需制造出一边的鞋子和手套，然后将一半运往宇宙深处，再运回来，就会得到适合另一边的鞋子和手套。
就用这个奇思妙想来结束我们对于不寻常空间的奇异属性的讨论吧。
【注释】
[1]几何学的英文名称geometry由两个希腊词ge和metrein组合而成，其中ge即地球，更确切地说是土地，metrein指测量。显然，在造出这个词时，古希腊人对几何的主要兴趣在于不动产。
[2]拓扑学（topolgy），这个术语的拉丁语和希腊语可直译为研究地点的学问。
[3]对于本书中所举的拓扑学基本范例有兴趣的读者，可在《什么是数学？》一书中找到详尽的叙述。
[4]吞并之前，三种颜色就够了：瑞士绿色；法国和奥地利红色；德国和意大利黄色。
[5]从上色的角度看，平面地图与球面地图是一样的，因为应对球面地图问题时，我们总是可以在某一个上色区域开一个小洞，然后将余下的表面“拉开”。这又是一个典型的拓扑变换。
[6]“四色问题”在1976年6月由伊利诺斯大学的两台电子计算机得出证明——结果没有一张地图需要五个颜色。
[7]并不存在这种二维生物。这个人只有正面却没有侧面，不能将手中的葡萄放进嘴里。驴倒是很容易吃到葡萄，但它只能向右走，必须倒退才能向左走。这对驴来说很寻常，但还是很奇怪。