四维距离
解决了时间与空间单位的可比性问题后，我们现在可以想一想，在四维时空世界中，两个点之间的距离应该如何理解。必须记住，四维时空中的每个点都对应着我们常说的“事件”，即同时包含着位置和时间日期的信息。要厘清这个问题，让我们以下面两个假设的事件为例。
事件1：1945年7月28日上午9：21，纽约第五大道和第50街交叉口一楼的一家银行被劫。[6]
事件2：同日上午9：36，一架迷失在雾中的军机撞上了位于纽约第五大道和第六大道中间第34街上的帝国大厦的79层外墙（图4-9）。
这两个事件在空间上南北相距16条街，东西相距半条街，上下相距78层楼，在时间上间隔15分钟。显然，要得出这两个事件发生地点的空间间隔，不必知道具体的街道和楼层数，我们可借助著名的毕达哥拉斯定理，求空间中两点坐标距离的平方和的平方根，得出两个地点的实际距离（图4-9，右下角）。当然，要应用毕达哥拉斯定理，我们首先要统一所有距离的度量单位（比如英尺）。如果相邻的南北街相距200英尺，东西街相距800英尺，帝国大厦每层的平均高度为12英尺，那么这两个地点的三个坐标距离分别为：南北3 200英尺，东西400英尺，垂直方向936英尺。套用毕达哥拉斯定理，可得出这两个地点的直线距离：
如果时间作为第四坐标的概念具有实际意义的话，我们应该能把代表两事件空间距离的3 360英尺与代表时间间隔的15分钟整合起来，获得一个单独的数字，以表示两事件的四维距离。
图4-9 四维距离
根据爱因斯坦原来的想法，我们可通过简单引申毕达哥拉斯定理来确定这样的四维距离，而且对于事件之间的物理关系而言，四维距离发挥的作用要比单独的空间和时间间隔更为重要。
当然，要将空间和时间数据整合起来，我们必须采用可比较的单位来表示它们，就像必须用英尺来表示不同街道和楼层间的距离一样。如前文所述，这一点可通过使用光速这个转换因子轻松实现，借此，15分钟的时间间隔就变成了800 000 000 000“光英尺”。通过对毕达哥拉斯定理的引申，我们可将四维距离定义为全部四个坐标（即三个空间坐标和一个时间坐标）的平方和的平方根。这一做法将完全消除时空之间的一切差异，实际等于承认了空间与时间相互转换的可能性。
然而，即使是伟大的爱因斯坦也不可能拿一块布盖着一根尺子，然后挥动魔棒，口中念念有词——“时间时间变”——就把它变成一个闪亮的闹钟！（图4-10）
图4-10 爱因斯坦教授当然不会变魔术，但他做到了更神奇的事
因此，通过毕达哥拉斯公式将时间与空间整合起来时，我们必须诉诸某种非常规方式，以保留它们的某些天然差异。
根据爱因斯坦的想法，在毕达哥拉斯定理的引申公式中，可通过在时间坐标的平方前加一个负号的方式凸显空间距离和时间间隔之间的物理区别。如此，两个事件的四维距离就等于三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后求平方根，当然，首先要将时间坐标用空间单位表示出来。
于是，银行劫案和飞机失事两事件的四维距离可以如此计算出来：
第四项与前三项相比数值极大，因为这个例子出自“日常生活”，从日常生活的标准看，时间的单位实在太小了。如果我们将空间范围从纽约市扩大到太空，两边的数字就不会差这么远了。比如，将第一个事件设定为：1946年7月1日上午9点整，比基尼环礁发生原子弹爆炸。第二个事件设定为：同日上午9点1分，陨石坠落在火星表面。这两事件的时间间隔为540 000 000 000光英尺，空间距离约为650 000 000 000英尺。
这种情况下，两事件的四维距离是：
该数值与纯空间距离或纯时间间隔的数值都大不相同。
当然，有人可能会觉得这样的几何算法很不合理，为何将其中一个坐标与其他三个坐标区别对待呢？但是，我们不能忘记，数学系统旨在反映真实的物理世界，如果空间和时间在它们的四维联合体中的确存在差异，那么，我们在塑造四维几何定律时，也应反映出这样的差异。此外，还有一种简单的数学补救方法能让爱因斯坦的时空几何看起来与我们在学校学到的传统欧几里得几何一样合情合理。这个方法由德国数学家闵可夫斯基提出，其核心是将第四坐标视为一个纯虚数。你大概还记得前面第二章讲的，普通数字乘以
，即可转换为虚数，而虚数对于解决各类几何问题帮助很大。根据闵可夫斯基的看法，要将时间视为第四坐标，它不仅要用空间单位来表示，还应乘以
。如此，我们例子里的四个坐标距离将写成：
第一坐标：3200英尺；
第二坐标：400英尺；
第三坐标：936英尺；
第四坐标：8×1011i光英尺。
现在，我们可以将四维距离定义为全部四个坐标距离的平方和的平方根了。实际上，由于虚数的平方始终为负，因此在数学上，采用闵可夫斯基坐标的普通毕达哥拉斯表达式，等同于采用爱因斯坦坐标的、看似不合理的毕达哥拉斯表达式。
有一个故事，说有个得风湿病的老人问一个健康的朋友怎么才能不得这个病。
他朋友回答：“我这一生天天早晨都洗冷水澡。”
“哦！”老人喊道，“那你是得了冷水澡病啰。”
如果你不喜欢风湿病版的毕达哥拉斯定理，你可以选择采用冷水澡病版的虚数时间坐标。
由于时空世界中的第四坐标是个虚数，我们必须在物理层面区分出两种不同类型的四维距离来。
以“纽约事件”组为例，两事件的空间距离比时间间隔小（采用恰当的度量单位），因此，毕达哥拉斯公式根号下的结果是负的，也就是说，我们得出的是一个虚的四维距离。但在其他情况下，空间距离比时间延续大，因此根号下是一个正数。当然，这就意味着在这种情况下，两事件的四维距离是实的。
如上所述，由于空间距离被视为实数，时间间隔被视为纯虚数，因此我们也许可以说，实的四维距离与普通空间距离的关系更近，而虚的四维距离与时间间隔的关系更近。用闵可夫斯基的术语来说，第一种四维距离称为类空间隔（raumartig），第二种称为类时间隔（zeitartig）。
在下一章，我们会看到类空间隔可以变成常规的空间距离，类时间隔可以变成常规的时间间隔。但由于其中一个是实数，另一个是虚数，任何企图让这两者相互转换的尝试都将面临不可逾越的障碍，这就像我们无法将尺子变成钟表，也无法将钟表变成尺子一样。
【注释】
[1]更确切地说，图4-3是四维超立方体的三维投影在二维平面上的投影。
[2]不明白的话，请想象一个有四个顶点和四条边的正方形，将它沿着与面垂直的方向（沿第三方向）移动一条边的距离。
[3]严格说来，这里应该称“世界束”才对，但从天文学角度看，恒星和行星都可被视为点。
[4]实际上，太阳相对于其他恒星来说是在运动着的。因此，如果选用星系作为标准，太阳的世界线将向一个方向倾斜。
[5]目前，光速的国际公认值为c=299 792 458米/秒。
[6]如有雷同，纯属巧合。