闭空间和开空间
在本章结束前，我们必须简要讨论一下爱因斯坦时空几何学的另一个重要问题：宇宙到底有没有尽头。
目前为止，我们一直在讨论巨大质量附近空间的局部弯曲问题，这些弯曲仿佛散落在宇宙的巨大面孔上的某种“空间粉刺”。可除了这些局部扭曲外，宇宙的完整面孔究竟是平坦的还是弯曲的呢，如果是弯曲的，又是如何弯曲的呢？在图5-9中，我们用二维方式描绘了一种长“粉刺”的平坦空间，以及两种弯曲空间。所谓的“正曲率”空间对应着球体或所有其他闭合的几何图形的表面，此类表面不论往哪个方向延伸，弯曲方式都是一样的。与之相反的“负曲率”空间则是在一个方向上朝上弯，在另一个方向上朝下弯，很像西式马鞍的形状。有一种方法能让你很容易体会这两种空间的区别，即从足球和马鞍上剪下两块皮子，并尝试在桌子上铺平。你会发现，如果不进行拉伸或折叠，两块皮子都没法铺平：足球上那块皮子的外围必须拉伸，马鞍上那块皮子的边缘必须折叠。前者四周的皮子不够多，没法铺平，后者四周的皮子又太多了，只能折起来。
图5-9
我们还可以换一种方式来讨论这个问题。假设从表面上的某个点起，数出其周围1英寸、2英寸、3英寸范围内的“粉刺”数量。在平坦无弯曲的表面上，“粉刺”数量会与距离的平方成正比，即1、4、9等。在球形表面上，“粉刺”数量的增长慢于这个比例；在马鞍形表面上，“粉刺”数量的增长快过这个比例。因此，生活在其表面上的二维影子科学家虽然无法从外部看清这个世界的形状，但他们可以通过计算落在不同半径内的“粉刺”的数量，来推断其弯曲情况。我们还可以看出，在正曲率和负曲率表面上，相应的三角形的内角和也不相同。如前一节所述，在球形表面上绘制的三角形的内角和始终大于180°；而如果尝试在鞍形表面上绘制三角形，你会发现其内角和始终小于180°。
上述在曲面中得出的结论也可推广至弯曲的三维空间中去，请见表5-1。
表5-1
表5-1 可用于在实际层面回答我们生活其中的空间是有限还是无限的问题，这个问题将在讲述宇宙大小的第十章加以讨论。
【注释】
[1]光波的振动被证明与光传播的方向垂直，因此被称为横波。在普通材料中，这种横向振动仅发生在固体中，在液态和气态物质中，振动粒子只能沿波的传播方向移动。
[2]实际运算如下，用L表示两个码头的距离，顺流而下时的船速为v+V，逆流而上时的船速为v-V。于是，往返用时等于：
。
[3]以首次提出该概念的物理学家的名字命名，他将之视为纯粹的机械运动效应。
[4]当然，这只是理论上的分析。实际上，如果两艘火箭飞船以我们设想的速度掠过彼此，飞船上的乘客根本不可能看见另一艘飞船。这就像我们很难看清枪口射出的子弹一样，更何况，子弹的速度完全无法和这里的火箭飞船速度相提并论。
[5]也可以说，因为毕达哥拉斯公式在四维空间系统的时间轴上发生了扭曲。
[6]大圆是通过球心的平面在球面上切出的圆。赤道和子午线都是大圆。