弯曲空间与重力之谜
在这一节开始之前，我要向抓耳挠腮的读者致以诚挚的歉意，前面关于四维坐标系的内容一定让大家受累了，现在让我们一起去弯曲空间里散个步吧。
大家都知道曲线和曲面是什么，但“弯曲空间”到底是什么呢？我们很难想象这种现象，原因不在于这个概念有多古怪，而在于我们无法像观察曲线或曲面那样，从外部观察三维空间的弯曲，因为我们就存在于三维空间内部，我们只能从内部去观察它。为了搞清楚三维的人如何理解我们所居住其中的空间的曲率，首先，让我们想象一下生活在表面的二维影子人的情况。在图5-6a和图5-6b中，我们看到影子科学家在“平面世界”和“曲面世界”里研究他们的二维空间几何学。当然，可供研究的最简单的几何图形是三角形，即由连接三个几何点的三条直线构成的图形。大家在高中几何中都学过，一切平面中的三角形，三个内角度数相加都等于180°。但我们很容易看出上述定理不适用于球面上的三角形。以地球仪为例，由两条经线和一条纬线组成的三角形，底边上有两个直角，除此之外，还有一个在0～360°之间的顶角。比如图5-6b，那两名影子科学家研究的三角形的内角和就等于210°。由此我们看到，通过测量二维世界的几何图形，影子科学家不必从外部实地观察，就能发现这个世界的曲率。
图5-6 “平面世界”和“曲面世界”里的二维科学家在检查三角形内角和是否符合欧式几何定理
将上述观察结果应用于高一个维度的世界，我们自然能得出这样的结论：生活在三维空间的人类科学家无须跳到第四维，便可确定该空间的曲率，他们只需测量连接空间中三个点的三条直线构成的三个角的角度即可。如果三个角的度数之和等于180°，则空间为平的；否则，空间一定是弯曲的。
在进一步探讨前，我们得先弄明白“直线”这个词到底是什么意思。以图5-6a和图5-6b上的两个三角形为例，读者可能会说，平面上三角形的边（图5-6a）是真正的直线，而球面上三角形的边（图5-6b）其实是弯曲的，因为它们构成了球形表面上大圆[6]的弧。
这种基于我们日常几何思想的理念将使影子科学家完全无法发展属于他们的二维空间几何学。我们需要给直线一个更广泛的数学定义，使其不仅适用于欧几里得几何，也能涵盖曲面上以及更复杂空间里的线。我们可以这样来下定义：直线是经过两点之间最短距离所在的线，并契合上它所在的平面或空间。当然，在平面几何中，上述定义与我们日常的直线概念是一致的，但在更复杂的曲面情况下，它指的是一系列定义明确的线，它们在曲面中发挥的作用和普通“直线”在欧几里得几何中发挥的作用一样。为避免混淆，人们通常称曲面上最短距离的线为“测地线”，因为这一概念最早是在大地测量学中引入的。实际上，当我们说纽约和旧金山之间的直线距离时，指的是两地在地球表面的最短距离，而非假想的两地间从地下穿过的直线距离。
将“广义直线”或“测地线”定义为两点间的最短距离，为我们揭示了构造此类线的简单物理方法：在两点间拉紧一根绳子即可。在球面上，绳子会刚好落在大圆的圆弧上，这就是球面上的测地线。
用类似的方式，也应该能确认我们生活其中的这个三维空间是平坦的还是弯曲的。要做的就是，在空间里取三个点，拉紧绳子，看那三个内角之和是否等于180°。但在计划实施此项实验之前，我们必须牢记两个要点。首先，这项实验必须在一个很大的范围内展开，因为曲面或弯曲空间的某个小部分可能会显得很平坦。显然，我们不能通过在后院里的测量确定地球表面的曲率！其次，在曲面或弯曲空间中，可能有些区域是平坦的，有些是弯曲的，因此，要确定整体曲率，需要展开全面测量。
爱因斯坦奠定了广义弯曲空间理论的基础，其中，他提出了一个伟大的想法：物理空间会在巨大的质量附近发生弯曲。质量越大，曲率越大。为了通过实验验证这一假设，我们可以在一座大山周围打三根木桩，然后在木桩上拉紧绳子，测量三个角度的大小（图5-7a）。哪怕选择地球上最大的喜马拉雅山脉，你也会发现，在容许误差的情况下，三个角度之和永远都会是180°。但这一结果未必表示爱因斯坦就是错的，不能表明巨大质量的存在不能导致周围的空间发生弯曲。也许只是因为，喜马拉雅山脉使周围空间产生的弯曲，哪怕使用我们最精密的仪器也测量不出。还记得伽利略企图用遮光板测量光速的那个失败的实验吧！
图5-7
因此，不要气馁，不妨找一个质量更大的物体试试，比如太阳。
这下就没问题了！当你从地球上的某个点拉出一根绳子，拉到某颗恒星上，再延伸至另一颗恒星，然后让绳子返回地球的原点，用这三段绳子将太阳围在里面，你会发现，它们构成的三个内角之和将与180°有明显差异。如果你没有这么长的绳子，光是个很好的替代品，因为光学告诉我们，光总是沿最短的路线传播。
图5-7b显示了测量光束夹角的实验原理。我们可通过经纬仪测量来自太阳两侧的两颗恒星Sɪ和Sɪɪ的光线夹角。然后在太阳离开这两颗星星所在的位置后，再测量一次，并比较这两个角度。如果两者不同，我们就证明了太阳的质量会改变其周围空间的曲率，使光线偏离原始路径。这个实验最初是由爱因斯坦在检验其理论时提出的。请读者参照图5-8中给出的二维图示，以更好地理解这项实验。
图5-8
显然，在常规条件下执行爱因斯坦这项实验存在一个实际障碍：因为太阳太亮，我们看不到它周围的恒星。但在日全食期间，那些恒星却在白天清晰可见。有鉴于此，1919年，英国的一支天文远征队来到了当年最适宜观测日全食的普林西比群岛（西非）进行实地观测。他们发现，在有和没有太阳的情况下，两颗恒星光线夹角的距离之差为1.61″±0.30″，很接近爱因斯坦的理论预测值1.75″。后来的各种远征队也得出了相似的结果。
当然，1.5角秒其实很小，但它足以证明，太阳质量的确迫使周围的空间发生了弯曲。
如果我们能用一颗大得多的恒星替换太阳，那么，关于三角形内角和的欧几里得几何定理将出现几角分，甚至几度的误差。
对于只能从内部观察的我们而言，要想习惯弯曲三维空间的概念，不得不耗费一些时间以及大量的想象力，但你一旦想通了，它就会像所有我们熟悉的经典几何学概念一样清晰明确。
要完全理解爱因斯坦的弯曲空间理论及其与万有引力这个基本问题的关系，我们还要再往前走一步才行。为此，必须记住，我们所讨论的三维空间只是四维时空世界的一部分，而这个四维世界是一切物理现象的背景。因此，三维空间的弯曲必定只是对更普遍的四维时空世界弯曲的反映，而代表光线与物体在这个世界中的运动的四维世界线应被视为超空间中的曲线。
从这个角度出发检视该问题，爱因斯坦得出了一个非凡的结论：引力现象只是四维时空世界弯曲产生的效应。过去我们认为，太阳会施加一定的力直接作用在行星上，使它们沿圆形轨道围绕太阳转动，但现在来看，这种说法恐怕并不合适，应该摈弃。更准确地说，太阳的质量使周围的时空世界发生了弯曲，而行星的世界线之所以表现为图4-7中的样子，只是因为这是它们穿过这一弯曲空间的测地线。
如此一来，引力作为一种独立存在的力的概念就从我们的推理中完全消失了，取而代之的是一个新概念：在纯粹的空间几何学中，空间中的所有物体均沿“最直的线”或测地线行进，而这些测地线会在其他大质量物体的影响下发生弯曲。