维度与坐标

空间是什么我们都知道，但要准确给出这个词的定义，恐怕又说不出个所以然来。你可能会说，空间是围绕着我们的东西，我们可以在空间里前后、左右、上下移动。我们所在的、物理空间的最基本特性之一是它拥有三个独立的相互垂直的方向。因此，可以说我们的空间是三向或三维的。通过这三个方向，我们能指出空间中的任何位置。比如，你前往一个陌生城市，在酒店前台询问如何去某家知名公司时，前台小姐会说：“往南走五个街区，右转走两个街区，然后上七楼。”这里给出的三个数字通常称为坐标，它们描述的是作为起点的酒店前台与城市街道及建筑楼层之间的关系。但很明显，我们可以从任何其他起点指出前往相同目标点的方向，只要使用一个能正确表示新起点与目标点之间关系的坐标系即可。而且，只要知道新老坐标系的相对位置，就可以通过简单的数学运算，用老坐标表示出新坐标。此过程称为坐标转换。再补充一点，并不是三个坐标都必须是代表距离的数字。实际上，在某些情况下使用角度坐标更为方便。

举例来看，纽约市的街道都是横平竖直的，因此那里的地址用直角坐标系表示最为自然，但莫斯科的地址显然用极坐标系表示更方便。这座古老的城市环绕着克里姆林宫的中心城堡发展而成，其街道是从圆心向外辐射的，外围还有几条同心圆的林荫大道，因此在表示一座建筑的地址时，说它位于克里姆林宫西北偏北方向的第二十条街上会比较自然。

华盛顿的海军大楼和五角大楼是另一个经典的直角坐标系和极坐标系的例子，任何熟悉第二次世界大战战争史的人对这两座建筑都不会陌生。

图3-1给出了三种用不同坐标系表示空间中点的例子，有的坐标表示距离，有的表示角度。但不论选择哪种坐标系，我们永远需要三个数据，因为对应的是三维空间。

图3-1

对于习惯三维空间概念的我们而言，想象三维以上的空间很难，但想象三维以下的空间则很容易。平面、球面，或实际上的任何其他表面都是二维空间，因为我们永远可以用两个数字表示面上的点。类似的，线（直线或曲线）是一维空间，只需要一个数字就可表示其中点的位置。我们也可以说，点是零维空间，因为一个点内没有两个不同的位置。但谁也不会对点有多大的兴趣吧！

作为三维生物，我们理解线和面的几何属性比理解三维空间的几何属性更容易，因为对于前者，我们可以“从外面”观察，而对于后者，我们自己就置身其中。正因如此，我们虽然不难理解何为曲线或曲面，却可能对三维空间也能弯曲的说法感到惊讶。

但只要进行一些练习，弄懂“曲率”一词的真正含义，你就会发现三维空间弯曲的概念其实非常简单，等下一章结束时，你还会稀松平常地谈论一个乍一看很吓人的概念：弯曲的四维空间。（希望如此！）

但在此之前，我们先通过做一些关于普通三维空间、二维的面及一维的线的头脑健身操吧。