时间是第四维度
第四维的概念常常笼罩着神秘与疑云。我们这些只有长度、高度、宽度的生物怎么敢奢谈四维空间呢？我们的三维智商有可能想象出四维的超级空间吗？四维的立方体或球体是什么样呢？当我们说自己“想象”一条鼻里喷火、尾上长鳞的巨龙，或想象一架两翼带游泳池和网球场的超级客机时，实际上是在头脑里描绘它们突然出现在眼前的模样。
而且，我们要把这个画面放在熟悉的三维空间背景之下，而所有普通物体（包括我们自己）都在这个空间里面。如果这就是“想象”一词的含义，那么我们如何能在普通的三维空间背景下想象一个四维图像呢，就像我们绝不可能将一个三维物体“压”进一个平面一样。但且慢，从某种意义上讲，我们确实可以通过绘画的方式将三维物体“压”进平面里。只是，我们不可能借助液压机或任何物理强力完成这项工作，而只能通过所谓的几何“投影”或阴影构建的方式做到这一点。以马为例，图4-1能让我们立刻明白将物体“压”进平面中的两种方式的区别。
图4-1 将三维物体“压”在二维表面上的错误（左图）和正确（右图）方式
以此类推，我们可以说，虽然不可能将四维物体完好无损地“压”入三维空间，但我们能将各种四维形象“投影”至三维空间。只是要记住，就像三维物体的平面投影是二维或平面图形一样，普通空间内的四维超体投影也将表现为立体图形。
为了更好地理解这个问题，我们先来想象一下生活在平面上的二维阴影生物是如何理解三维立方体的。我们能轻松想象这一点，因为作为优越的三维生命体，我们能从上方（即从除前后、左右的第三个维度）观察二维世界。将立方体“压”入平面中的唯一方法如图4-2所示，即将立方体“投射”至平面上。我们可以通过旋转立方体获得各种投影，而通过这些投影，我们的二维朋友至少能总结出关于这个被称为“三维立方体”的神秘物体的一些特征。他们无法“跳出”所在的表面，以我们的方式描绘出立方体的样子，但仅通过观察投影，他们可以说出（比如）立方体有八个顶点和十二条边。现在看图4-3，你会发现自己与那些在二维表面上观察普通立方体投影的可怜影子生物处于相同的窘境。实际上，让这一家人惊掉下巴的这个奇怪复杂结构，正是投射在普通三维空间中的一个四维超立方体的投影。[1]
图4-2 二维生物惊讶地看着三维立方体的阴影投射在他们的表面上
图4-3 第四维度来客！一个四维超立方体的正投影
仔细端详这幅图，我们很容易发现一些特征，这些特征与图4-2中令影子生物感到困惑的特征别无二致：普通立方体在平面上的投影由两个正方形组成，其中一个正方形在另一个正方形里面，两个正方形顶点相连，类似的，投射在普通空间中的超立方体由两个立方体组成，一个立方体在另一个立方体里面，两个立方体的顶点也以类似方式连接。数一数，我们能轻松确定一个超立方体共有16个顶点、32条棱和24个面。这个立方体可够厉害的，不是吗？
现在，我们来看看四维球体是什么样的。首先，还是来看一个更熟悉的情况，即普通球体在平面上的投影。请想象一个印着大洲大洋的透明的地球仪投射在白墙上的画面（图4-4）。在投影中，两个半球当然会重叠在一起，从投影看，人们可能会认为从纽约（美国）到北京（中国）的距离很短。这只是错觉。实际上，投影上的每个点都代表球体上的两个相对的点，一架飞机从纽约飞往北京，其轨迹将首先往投影边缘移动，再移回来。而当两架飞机执行这一任务时，虽然看上去它们的轨迹会重叠，但它们“实际上”是飞在地球两侧，因此并不会相撞。
图4-4 地球仪的平面投影
这就是普通球体的平面投影的特性。稍微发挥一点想象力，我们将不难想象出四维超球体的三维投影是什么样的。就像普通球体的平面投影表现为两个完全重叠（点对点）的扁平圆盘，仅在圆周上相连，超球体的三维投影可被想象为两个贯穿彼此的球体，并沿外表面相连。其实我们已经在前一章讨论了这种不寻常的结构，当时是作为与封闭球形表面类似的封闭三维空间的例子提出的。因此，我们只需在这里补充一句，四维球体的三维投影无非就是我们在前一章讨论过的那个连体苹果，它由两个苹果皮完全重合的长在一起的普通苹果组成。
以此类推，我们可以回答许多有关四维形体其他属性的问题，但不管我们怎么努力，永远无法在我们的物理空间“想象”出第四个独立方向来。
但如果再多考虑一下，你会发现在构想第四维时完全没必要诉诸神秘主义。实际上，有一个我们每天挂在嘴上的词可以，也应该被视为物理世界的第四个独立维度——时间，我们总是用时间和空间一起表述发生在我们周围的事件。谈论宇宙中发生的一切事时，不论是在街上偶遇一个朋友，还是一颗遥远恒星发生爆炸，总会说起这件事发生在何处，以及发生在何时。如此，在表示位置的三个方向性要素以外，我们又加入了一个时间要素。
再进一步想，你也不难意识到每个物理对象都有四个维度，其中三个属于空间，一个属于时间。比如，你居住的房屋会在长度、宽度、高度和时间这四个维度上延展，时间的延展从房屋建造之日算起，到它最终被烧毁，或被拆迁公司拆掉，或因年久失修而坍塌为止。
诚然，时间维度与三个空间维度并不完全相同。时间间隔是用钟表度量的，嘀嗒声表示秒，当当声表示小时；而空间间隔是用尺子度量的。你可以使用相同的尺子测量长、宽和高，但你不能将尺子变成钟表来测量时间。此外，在空间里，你可以向前、向右、向上移动，也可以退回来；但你在时间里无法后退，只能从过去走向未来。不过，虽然时间维度和三个空间维度之间存在这些差异，我们仍可将时间用作物理世界的第四个方向，只是别忘了它们并不完全相同。
选择时间作为第四维时，我们会发现采用本章开头给出的方式想象四维形体非常方便。比如，还记得那个四维正方体投射出的奇怪物体吗？居然有16个顶点、32条棱和24个面！难怪图4-3中的那家人一副见了鬼的表情。
但是，从新观点来看，四维立方体只不过是存在了一段时间的普通立方体。假设你在5月7日用十二根直铁丝制成一个立方体，一个月后将其拆除。这个立方体的每个顶点就应被视为一条沿时间方向延伸了一个月的线。你可以在每个顶点上放一本日历，每天翻一页，以示时间进度。
现在，我们可以很容易地数出这个四维形体的棱数（如图4-5）。实际上，它刚搭好时有12条空间棱，在时间的流逝中产生了8条时间棱，最后拆除前还有12条空间棱[2]。加起来一共32条棱。同样的，我们可以数出它一共有16个顶点：5月7日有8个空间顶点，6月7日还有8个空间顶点。下面，请读者练习一下能否以同样的方式数出这个四维形体的面的数量。数的时候要记住，其中一些面是立方体的普通正方形面，另一些面是由立方体的原始棱从5月7日延伸至6月7日的过程中产生的“半空间半时间”面。
图4-5
当然，我们在这里所说的关于四维立方体的内容也适用于其他一切几何体，无论是活的还是死的。
具体而言，你可以把自己想成一个四维体，这个四维体会呈现为一根橡胶棒的模样，从你出生的时刻延伸至你自然生命的尽头。遗憾的是，我们无法在纸上画出四维物体，因此，我们尝试在图4-6中将这个思路简单化，姑且以二维的影子人为例，将时间维度假定为与二维平面垂直的空间方向。这幅图仅呈现了影子人整个生命的一个小片段。要呈现其全部生命，需要一条长得多的橡胶棒，它起初会很细，当时影子人还是婴儿，随后，橡胶棒的形状会在其人生过程中变化，并在其死亡时停止变化（因为死人不会动），然后开始分解。
图4-6
更准确地说，这个四维橡胶棒是由无数分离的纤维组成的，每一根纤维都代表一颗单独的原子。在生命过程中，大部分纤维都聚在一起，只有少数会跟随减掉的头发和指甲离开。因为原子是不灭的，人死后，尸体的分解会呈现为纤维丝向四面八方飞散的样子（构成骨骼的纤维除外）。
在四维时空几何学的语言中，代表单个物质粒子历史的线被称为“世界线”（时空线）；构成一个物体的一组世界线可称为“世界束”。
图4-7是一个天文学示例，其中显示了太阳、地球及一颗彗星的世界线。[3]和前面影子人的例子一样，我们在这里画出了一个二维空间（地球轨道平面）和一条与二维空间垂直的时间轴。其中，太阳的世界线以平行于时间轴的直线表示，因为我们假定太阳是不动的。[4]而由于地球的轨道接近于圆形，因此地球的世界线在太阳世界线周围螺旋上升，彗星的世界线先是接近太阳的，随后又逐渐远离。
图4-7 天文学示例
我们看到，从四维时空几何学的角度出发，拓扑学和宇宙的历史融为了和谐的一体，要考虑的只剩下一堆相互缠绕的世界线，它们代表单个原子、动物或星体的移动轨迹。