无关于度量的几何学
几何学[1]，顾名思义，即关于空间度量的科学，这也符合我们上学时建立的印象：这门学科由大量涉及不同距离与角度之间数值关系的定理组成（例如关于直角三角形三边长度的著名毕达哥拉斯定理），但实际上，空间的许多基本特征并不涉及对长度或角度的度量。讨论这一类问题的几何分支被称为拓扑学[2]，这也是数学体系中最具启发性和最艰深的分支之一。
我们来举一个简单的经典拓扑学的例子，请想象一个封闭的几何表面，比如球面，它被一些线分成了许多区域。我们可以这样做：先在球面上选出一些点，用不相交的线将这些点连接起来。此时，球面上原始点的数量、作为区域边界的线的数量以及区域本身的数量之间存在什么关系呢？
首先，如果我们将圆球压成南瓜状的扁球体，或拉成黄瓜状的长条体，其中的点、线和区块的数量都会和原来的完美球体一模一样，这一点是非常清楚的。实际上，不论我们怎么挤压或拉拽一只气球，只要不把它挤爆或撕裂，由此获得的一切闭合表面上的点、线和区块的数量都会和原来一模一样，上一段的问题的答案也不会有丝毫改变。这一点与一般几何中的数值关系（例如线的长度、面的面积、几何体的体积之间的关系）大不相同。如将一个立方体拉成平行六面体，或将一个球体压成饼状，各种数值都会发生很大变化。
我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球体就变成了多面体（图3-2），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。
图3-2 将分割好的球体转换为多面体
这样一来，前面那个问题就变成了（本质毫无改变）任意类型的多面体的顶点、棱和面的数量之间的关系问题。
图3-3显示了五种正多面体（每个面具有相同数量的棱和顶点）和一个根据想象画出的不规则多面体。
图3-3 五种正多面体（只可能有这五种）和一个不规则多面体
对于这里的每个几何体，我们都能数出其中顶点的数量、棱的数量和面的数量。那么，这三个数字之间有什么关系吗？
通过直接计数，可得出表3-1。
表3-1
乍看上去，前三列的数字似乎没有明确的关系，但稍微研究一番，我们会发现，顶点数V和面数F的数字之和总是比棱数E的数字大2。因此可写出如下关系式：
V+F=E+2。
该关系式是适用于所有多面体，还是只适用于图3-3中的多面体呢？你不妨画一些其他多面体，数一数它们的顶点、棱和面，你会发现，它们也都存在上述关系。可见，V+F=E+2是拓扑学中的一个普遍适用的数学定理，因为这一关系式无关于棱的长短或面的大小，而只关乎几个几何学单位（即顶点、棱、面）的数量。
这个关系最早由17世纪法国著名数学家勒内·笛卡儿（Renē Descartes）提出，后来由另一位数学天才莱昂哈德·欧拉给出了严格的证明。现在，这个定理被称为多面体欧拉定理。
下面是多面体欧拉定理的完整证明，引自古朗特（R.Courant）和罗宾斯（H. Robbins）的著作《什么是数学？》[3]，我们可以看一下这类证明是怎么完成的：
“为证明欧拉的公式，让我们假设给定的简单多面体是空心的，其表面由薄橡胶制成（图3-4a）。现在，揭掉这个空心多面体的一个面，将余下的面全部拉成一个平面（图3-4b）。当然，在此过程中，面的面积和多面体的棱之间的角度会发生变化，但顶点和棱的数量没有变化，因为只是揭掉了一个面，所以平面中多边形的数量会比原始多面体中面的数量少1个。现在，我们要证明对于这个平面网络，可得出：V-E+F=1，这样的话，算上揭掉的面，对于原始多面体，便可得出：V-E+F=2。
“首先，我们将这个平面网络‘三角形化’：为网络中所有不是三角形的多边形都加上对角线。每画一条对角线，E和F的数值都会增加1，而V-E+F的值保持不变。只要我们不停地画对角线，最终，所有多边形一定都会变成三角形（图3-4c）。在这个三角形化的网络中，V-E+F的值与之前未三角形化时的值是相同的。因为加入对角线对这个公式没有影响。
“一些三角形的边会落在整个网络的边界上。其中一些（如△ABC）只有一条边在边界上，另一些可能有两条边都在边界上。现在，我们依次将所有三角形落在边界上的边删掉（图3-4d），如此，△ABC会被删掉边AC和这个三角形的面，留下顶点A、B、C和两个边AB、BC；△DEF则会被删掉面，两条边DF和FE，以及顶点F。
图3-4 欧拉定理的证明
“△ABC类型的三角形删减后会使E和F的数值减少1，而V不受影响，因此V-E+F保持不变。△DEF类型的三角形删减后会使V的数值减少1，E减少2，F减少1，V-E+F仍保持不变。通过适当选择操作顺序，我们可逐一删除边界（每次删减后，都会生成新的边界）上的所有三角形，最后会剩下一个三角形，有三个边，三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V-E+F=3-3+1=1。但我们已经看到，通过不断删除三角形，V-E+F的值并不会改变，因此在原始的平面网络中，V-E+F也一定等于1，同样的，对于那个揭掉了一个面的多面体，V-E+F也等于1。因此，我们可以得出结论，对于之前那个完整的多面体，V-E+F= 2。欧拉公式证明完毕。”
欧拉公式有一个有趣的推论，即只存在五种正多面体，即图3-3中的那些。
不过，如果仔细推敲前几页的内容，你可能会注意到，在绘制图3-3的“所有类型的”多面体时，以及在对欧拉定理进行数学证明时，我们都隐藏了一个假设，这个假设导致我们有很大的选择局限性。我们限制在了没有任何“透孔”的多面体上。所谓透孔，并非（比如）橡胶气球上撕开的洞，而是像甜甜圈或橡胶轮胎那样的封闭的中空的孔。
看一下图3-5就明白了。这里有两个不同的几何体，和图3-3中的几何体一样，它们也都是多面体。
图3-5 两个有透孔的立方体，各有一个和两个透孔
现在我们来看看欧拉定理是否适用于这两个新多面体吧。
先看第一个立方体，其中有16个顶点、32条棱和16个面；所以V+F=32，而E+2=34，不成立。再看第二个立方体，其中有28个顶点、60条棱和30个面，所以V+F=58，E+2=62，还是不成立！
为什么会这样呢？为什么上文对欧拉定理的一般性证明不适用于此类多面体呢？
问题在于，我们前文讨论的所有多面体都能看成球胆或气球，而这种新型的空心多面体更像轮胎的内胎，或某种更复杂的橡胶制品。对于此类多面体，我们无法应用上面给出的证明加以论证，因为我们无法执行证明所需的必要操作——揭掉空心多面体的一个面，将其余表面拉成一个平面。
拿起一只球胆，用剪刀剪掉一块，你可以轻松将余下部分拉平，但如果是一只轮胎内胎，剪掉一块后，不论你用多大力气，也没法把其余部分拉平。如果看了图3-5还不明白，不妨找个旧轮胎亲手试一试吧！
但不要以为这种复杂的多面体，V、E和F之间就没有关系了。关系还是有的，只是有所不同。对于“甜甜圈”形（或更科学地说，环面形）多面体，V+F=E；对于“椒盐卷饼”形（两个透孔）的多面体，V+F=E-2。一般来说，V+F=E+2-2N，其中N是透孔数量。
与欧拉定理密切相关的另一个典型的拓扑学问题是所谓的“四色问题”。假设将一个球面划分为多个单独区域，并对这些区域进行上色，使任意两个相邻区域（即有共同边界的区域）的颜色都不相同。最少要用多少种不同颜色才能实现这一点？显然，只有两种颜色是不够的，因为有时候，三条边会交汇在同一个点上，如美国地图中的弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州和马里兰州（见图3-6）。
图3-6 马里兰州、弗吉尼亚州和西弗吉尼亚州
（左）以及瑞士、法国、德国和意大利（右）的拓扑地图
找一个必须使用四种颜色的例子也不难，请见图3-6，这是德国吞并奥地利期间的瑞士地图。[4]
但不论你怎么试，怎么发挥想象力，永远也找不到一张必须使用四种以上颜色的地图，无论是在地球上，还是在一张纸上。[5]看来，无论我们制作出多么复杂的地图，最多都只需要四种颜色，就可以避免所有相邻区域的撞色问题了。
但如果这种说法是正确的，人们应该能在数学上证明它才对，但经过几代数学家的努力，这一证明仍未实现。这是一个典型的几乎无人怀疑，却又无人能证明的数学问题。目前，数学上只证明出了永远不需要五种以上的颜色。相关证明是将欧拉关系式应用于国家数、边界数以及三国、四国或更多国家交汇的数量而得出的。
我们就不介绍证明过程了，太复杂，也离题太远，读者可以在各种有关拓扑学的书中找到它，并借此度过一个愉快的夜晚（或一个不眠之夜）。如果有谁能证明不需要五种颜色，只需四种就够了，或者能证明这种说法是错误的，画出一张四种颜色还不够的地图，他必定会在纯粹数学的历史上留下自己的名字。[6]
讽刺的是，这个上色问题虽然在球面或平面中始终未被证明，但在“甜甜圈”或“椒盐卷饼”等更复杂的情况下却得到了相当简洁的证明。以“甜甜圈”形状为例，数学家已经给出了结论性证明，不论对此类形状进行怎样的区域划分，最多只需七种颜色就足以为所有相邻区域涂上不同颜色，而实际需要七种颜色的例子也被画了出来。
不嫌麻烦的话，读者可以找来一个充气的轮胎内胎和七种不同颜色的涂料，尝试让每种颜色的区域都与其他六个涂上不同颜色的区域相邻。如果能做到这一点，你或许可以说“我对付甜甜圈真的很有一套”。