空间与时间的相互转换
数学尝试在单一四维世界中展现空间与时间的统一，这一努力虽未完全消除时空的界限，但无疑揭示了这两个概念是高度相似的，爱因斯坦之前的物理学对于这一点的认识十分模糊。事实上，基于目前的理论，不同事件的空间距离和时间间隔仅仅是这些事件的基本四维距离在空间轴和时间轴上的投影，因此，旋转四维坐标系，空间距离便可部分转换为时间间隔，或时间间隔部分转换为空间距离。但四维时空坐标系的旋转到底是什么意思呢？
先来看一个由两个空间坐标组成的坐标系（图5-1a）。假设有两个固定点，相距为L。把这段距离投影在两根坐标轴上后，第一条轴上对应的距离为a英寸，第二条轴上对应的距离为b英寸。将坐标系旋转一个角度后（图5-1b），那段距离在两条新轴上的投影距离会发生变化，变化后的数值分别为a'和b'。但根据毕达哥拉斯定理，两段投影距离在这两种情况下的平方和的平方根是相同的，因为该值对应的是两点之间的真实距离，不会随坐标系的旋转而改变。即：
也就是说，选择不同的坐标系时，投影距离的具体值会发生变化，但它们平方和的平方根不受坐标系旋转的影响。
图5-1 空间坐标系
现在来看另一个坐标系：一轴代表空间距离，另一轴代表时间间隔。在这里，前例中的两个固定点变成两个固定事件，两轴上的投影分别代表两个事件的空间距离和时间间隔。假定这两个事件正是前文讨论过的银行劫案和空难，我们可以绘制出图5-2a，它和由两个空间坐标组成的图5-1a很像。现在，怎么才能旋转这个坐标系呢？答案出人意料，甚至有些费解：要旋转时空坐标系，你需要搭上一辆巴士。
图5-2 两种坐标系
好，假定在7月28日那个不平静的早晨，我们就坐在一辆穿行在第五大道的巴士的上层。从自利的角度出发，假如我们能否见证事件的发生仅取决于距离，我们此刻最感兴趣的问题应该是：巴士距离发生银行劫案和空难的地点有多远。
请看图5-2a，其中显示了巴士世界线的连续位置，以及抢劫事件和撞机事件的位置，你应该能马上注意到，从巴士上观察到的这两事件的距离与（比如说）站在街角的交警观察到的不同。巴士沿第五大道行驶，假定每三分钟驶过一个街区（在车流密集的纽约并不稀奇！），如此一来，从巴士上看去，这两个事件的空间间隔会变小。事实上，上午9：21，巴士正穿过第52街，此时，发生银行抢劫案的地点与之相距2个街区；而飞机失事时（上午9：36），巴士位于第47街口，距离空难地点有14个街区。因此，从巴士的角度看，我们可以得出抢劫与空难的空间距离为14-2=12个街区，而从城市建筑物的角度看，两事件的空间距离为50-34=16个街区。再看一下图5-2a，能看出在记录事件与巴士的距离时，我们不能从垂直的轴（静态交警的世界线）算起，而要从代表巴士世界线的斜线算起，因此，这条斜线发挥了新的时间轴的作用。
把上述“杂七杂八”的内容总结一下：从移动的车上观察事件时，时空图的时间轴必须旋转一定的角度（取决于具体车速），空间轴保持不变。
虽然从经典物理学和所谓“常识”的角度看，这种说法无可置疑，但它与我们关于四维时空世界的新思想存在直接矛盾。事实上，如果将时间视为独立的第四坐标，无论我们坐在巴士上、电车上还是走在人行道上，时间轴都必须始终垂直于三个空间轴！
在这样的两难处境下，我们只能放弃鱼或熊掌。要么保留我们对空间和时间的传统观念，放弃对统一的时空几何学的所有进一步思考，要么就得打破“常识”限定的旧观念，认定时空图中的空间轴会与时间轴一同旋转，这样，两根轴才能永远保持垂直（图5-2b）。
但上文讲过，旋转时间轴意味着从行驶的车辆上观察，两事件的空间间隔会显现不同的值（前面的示例中分别为12和16个街区），同样，旋转空间轴也意味着，从行驶的车辆上观察到的两事件的时间间隔与站在地面上观察到的不同。因此，如果在市政厅的时钟上，抢劫银行和飞机失事这两件事间隔15分钟，那么，巴士上乘客的手表所记录的时间间隔会有所不同，这并不是因为这两个计时器存在机械缺陷而导致快慢不同，而是因为时间本身在行驶速度不同的车辆中的流逝速度不同，因而，记录时间的机械装置也会相应地变慢，不过，巴士的速度很慢，这种延迟微乎其微，可忽略不计。（后文还会对该现象做更详细的讨论。）
再举一个例子，试想有一个乘客，在一列行驶的火车餐车内吃晚餐。从餐车服务员的角度看去，他是在同一地点（第三张桌子靠窗位置）吃开胃菜和甜点的。但如果观察者换成铁轨上两名静止的扳道工人，其中一人正好透过车窗看到那名乘客在吃开胃菜，另一人正好看到他在吃甜点，如此一来，这两件事发生的地点便相隔数英里之遥。由此，我们可以说：一位观察者看到的发生在不同时间、相同地点的两件事，在另一位处于不同运动状态的观察者看来，却可能发生在不同地点。
从时空等效的角度出发，可将这句话中的“地点”和“时间”互换。那这句话就变成了：一位观察者看到的发生在不同地点、相同时间的两件事，在另一位处于不同运动状态的观察者看来，却可能发生在不同时间。
将这句话应用在餐车的例子里就是，服务员打包票说坐在车厢两端的两名乘客恰好在同一时刻点着了各自的饭后烟，而轨道上一名静止的扳道工人却坚称其透过车窗看到其中一名乘客点烟在先。
因此：一位观察者看到的发生在相同时间的两件事，在另一位观察者看来，却可能存在时间间隔。
这些就是仅仅把空间和时间看成不变的四维距离在各轴上的投影的四维几何所能得出的必然结论。