能量方程式（欧拉方程）

2.能量方程式（欧拉方程）

能量方程式是建立流体通过旋转叶轮时，获得能量的定量关系式。此方程式是欧拉在1756年首先推导出来的，所以又称欧拉方程。

叶轮对气体做功的计算是一个十分重要的问题，为了研究方便，先做几点假设。

（1）假设

1）理想叶轮。叶片数目无限多，叶片厚度无限薄。流体质点严格沿叶片型线流动，即流线与叶片的型线重合。因此可以认为沿圆周各点的速度相等，即气流是轴向对称的。

2）流体为理想、不可压缩流体。通风机工作时无能量损失，则原动机加到风机轴上的能量，等于被输送气体所获得的能量；另外，因通风机升压较小，则进、出口的气体密度可视为不变，当做不可压缩流体看待。

3）气体在做稳定流动。

（2）能量方程的表达式 已知原动机传给风机轴的功率（即轴功率）P（W）为

P=Mω

式中，M为通风机叶轮轴的力矩（N·m）；ω为通风机叶轮的旋转角速度（1/s）。

假定通风机的体积流量为q_VT（m³/s），通风机的全压为p_T∞（Pa），则气体获得的功率P（W）为

P=q_VTp_T∞

说明：凡符号下标为“∞”者，均表示叶片数为无穷多叶轮的参数。

根据上述假设，加给通风机叶轮上的能量全部传给气体，并无任何损失，则无限多叶片的理论压力为

根据动量矩定律：单位时间内由叶轮出口流出的气体动量对轴线的动量矩，与叶片入口处流入的气体动量对轴线的动量矩之差，等于加给气体的外力对同一轴线的力矩之和，从而可得：

P=q_VTp_T∞=q_VTρ（R₂v_2u∞-R₁v_1u∞）ω=q_VTρ（u₂v_2u∞-u₁v_1u∞）式中，R₁为叶片入口处半径（m）；R₂为叶片出口处半径（m）。

p_T∞=ρ（u₂v_2u∞-u₁v_1u∞） （1-23）

式（1-23）即为能量方程的表达式。式中，凡符号下标有“∞”者，均表示叶片数为无穷多叶轮的参数。

当气流的绝对速度沿半径方向进入叶片时，即v_1u∞=0，则

p_T∞=ρu₂v_2u∞

如果通风机叶轮入口前有导流器，则可用改变导叶角度的方法，以改变式（1-23）中的v_1u∞的大小和方向，从而改变风机的压力。

式（1-23）可变换为另一形式。由叶片进、出口处的速度三角形，得

w²_2∞=v²_2∞+u²₂-2u₂v_2∞cosα_2∞

w²_1∞=v²_1∞+u²₁-2u₁v_1∞cosα_1∞

而v_2∞cosα_2∞=v_2u∞，v_1∞cosα_1∞=v_1u∞，则

代入式（1-23）后，得

式（1-24）即为能量方程的另一种表达式。

式（1-24）右边的第一项，表示气体经过叶轮后动压的增高，用p_d∞表示；第二项和第三项之和，表示静压的增高，用p_st∞表示，则

p_T∞=p_d∞∞p_st∞（1-25）

叶轮中气体静压的增高值与全压的增高值之比，称作反作用度，ΩΩ表示，则

反作用度的大小表征气体在叶轮中获得的静压值的大小。反作用度越大，气体在叶轮中获得的静压越大，而其叶轮出口动压越小，对提高风机效率有利。

（3）能量方程式的修正 实际情况下，叶轮叶片数有限，流体具有粘性，因而实际应用时，应对式（1-23）进行修正。

实践证明，当理想流体在有限叶片叶轮内流动时，气体流经叶道除了相对流动之外，还存在轴向涡流。由于轴向涡流的存在，使气流在叶轮出口处的相对速度产生偏离，而不是沿叶片该点切线方向流出，即出口气流角β₂小于叶片出口安装角β_2a。故有限叶片数时气体的v_2u＜v_2u∞，则有限叶片数叶轮的理论压力为

p_T=Kp_T∞ （1-27）式中，K为环流系数。

关于环流系数K大小的确定，目前通风机中大多采用经验或半经验公式计算。常用的公式有斯陀道拉近似公式和爱克公式。

1）斯陀道拉近似公式。对于后弯式叶片，K为

此方法未考虑叶片的曲率。后向叶片的曲率半径比较大，故采用式（1-28）计算较为有效；当叶片较长，叶片数目较多时，用式（1-28）计算比较准确。

对于径向叶片，K为

2）爱克公式。对前后盘平行的叶轮，K为

试验结果表明，当30°＜β_2a＜50°时，式（1-30）计算结果较正确。

当β_2a=20°～45°时，K按式（1-31）计算：

对于前弯叶片，K为

大量的试验说明，β_2a=20°～170°时用式（1-32）计算为好。

当考虑流体粘性的影响时，由于粘性流体在叶轮中流动时，有流动阻力，使风机的全压降低，此时，风机实际的全压为

p=p_Tη_h=Kη_hp_T∞ （1-33）

式中，η_h为流动效率。