一种教学理论的笔记
在这篇文章里，我想就教学性质的一些简单原理予以详述。我有意用数学一科的教与学的情况来阐明这些原理。选择数学为例证不是出于以数学的典型性作为考虑的前提，而是因为数学对于结构完备的问题的要求极其严格，它本身既不需要实验经验的证明，也不需要观察经验的证明。此外，这也不是出于想要说明数学教学本身，因为那恰恰是我的能力所不能及的。我之所以选择数学作为例证，毋宁说是因为数学提供了一个简单而易于接受的例子，这样就必然构成一整套简化了的关于教与学的命题，而且它对我们所要论述的问题已积累了一些有关数学学习的可用的资料。
我们的计划如下。首先，一种教学理论必须明确提出它的各种特点，而且必须有一些关于教学过程的具有普遍性的原理随之彰明其后。因此我想依据数学学习所得来的特殊观察，把这些一般性的命题变为可行的假设。简言之，有些关于支持课程设计研究性质方面的评论，将在结论中作出。
一种教学理论的本质
一种教学理论是有固定含义的，它要提出有关获得知识或技术的最有效的方法的规则。此外，它还要提出一种标准去批评和评价教与学的任何特殊的方法。
一种教学理论同时也是一种规范化的理论。它建立批评的标准和阐明满足这些标准的条件。这些标准必须具有高度的普遍性。例如，一种教学理论不应该是以某种特殊的方法专门指出有效学习三年级算术的条件，像这样的条件应当从有关数学学习的更普遍的观点中引申出来。
由于心理学已经包含了学习和发展的理论，人们可能要问：为什么还需要教学理论？学习和发展的诸种理论，是讲述描述性的东西而不是规定性的东西。这些理论告诉我们在某一事实出现之后发生了什么。例如，大多数6岁儿童还不具备反推理的能力。但另一方面，教学理论却可能设法提出引导儿童向着认识反推理概念发展的最好的方法。简言之，一种教学理论要论述如何能够使人们所想教的东西最好地被学会，而这就要改善学习方法而不是描述学习过程。
这并不是说学习和发展的理论都和教学理论无关。事实上，教学理论必然涉及学习和发展这两个方面，而且必须同那些它所赞同的学习和发展的理论相一致。
一种教学理论，它具有以下四个主要的特点。
第一，一种教学理论应当详述这种经验，即最有效地提供个人向往学习的先决条件（或前提）的经验，不论这是一般的学习，或者是特殊类型的学习。例如，在学前教育的环境中，人与事物之间的关系，哪些可以帮助儿童入学时愿意而且有能力进行学习？
第二，一种教学理论应当详述各种方法，按照这些方法，应该把一批知识组织起来，以便学习者最易于掌握。这种“最佳结构”的含义涉及一整套命题，从这里出发，可以产生更大的知识实体。同时也标志着这样的结构规划有赖于特殊知识领域的进展状况。不同的最佳结构的特点，不久将予以考虑。这里有充足的理由说，由于结构的优点依赖于它本身的以下能力，如简化信息、产生新命题和增加某类知识的可操作性，因而最佳结构还必须始终考虑到学习者的社会地位及其各种天赋。由此可见，一批知识的最佳结构是相对的而不是绝对的。
第三，一种教学理论应当详述最有效果的序列，在此序列中提出所计划的学习材料。例如，假使有谁想教现代物理学理论的结构，那么他如何进行呢？他是不是首先按照这样的方法——诱导学生提出有关经常发生的种种规律性的问题——来介绍具体材料呢？或者，他从一套定型的数学符号开始，以便以后对还要不断遇到的许多规则作说明时较为简便些呢？事实上用每种这样的方法会产生什么结果呢？又如何描述那种理想的综合的方法呢？这个序列问题随后还要作更为详细的论述。
最后，一种教学理论应当详述在教与学的过程中奖惩的实质和步调。从直觉而言，这是十分清楚的，在学习进展中的某个时候，最后能摆脱外部所加的奖励，如教师的夸奖，从而使其在解决复杂问题时自然产生一种内在的奖励。因而，也有一种意见认为，即时奖励应由一种延后的奖励所代替。这种从外部的奖励转为内在的奖励，从即时的奖励转为延后的奖励，其效果不易被理解，但显然这很重要。这是否指，例如，一个学习过程即使包含一整套很长系列的各种活动，也必须尽早地从即时的奖励转为延后的奖励，从外在的奖励变为内在的奖励呢？
要在一篇文章内对上述教学理论的四个方面作任何详细的论述，都会超出它的篇幅限制的。这里我想做的是探讨与上述四个方面的每个方面都有关的主要理论，这个目标虽然不易理解，但可用例证来说明。
心理倾向
在讨论心理倾向对学习的关系时，把注意力集中在文化、动机以及个人等因素的那些影响学习和解决问题的愿望上，这已成为司空见惯的事情了。因为这些因素极为重要，例如，不管指导者的正式地位是教师还是父母，都存在着教师对待学生般的关系。由于这是一种有某种知识能力等第的个人之间的关系，因而总是存在一种涉及教学情势的特殊的权威性问题。这种权威关系影响到学习的性质，这就发生了差别，有的学生发展了一种独立的技能，有的学生对自己的操作能力满怀信心，如此等等。这些教与学的人的关系决不会不影响到学习的效果。而且由于教学的过程在其本质上是社会性的——特别是在其早期，在最低限度包括一个教师和一个学生的时候，这就很清楚，儿童，特别是他要适应学校生活的时候，就必须掌握最起码的社会技能，以便参与到教学过程中去学习。
对待智力活动，在不同的社会阶层、不同的性别、不同的年龄组，以及不同的种族集团，其态度是各异的。由这些文化传统所形成的不同态度，也反映了心理活动的方式。有些文化传统，在哺育科学家、学者和艺术家方面被认为较其他文化传统更为成功。人类学和心理学正是考察某种“传统”或“角色”如何影响心理活动态度的各种途径。一种教学理论要考虑它自身，但更要关心如何最好地利用已有的文化模式来达到各种具体的教学目的。
实在说来，所有上述这些因素都极重要。但我们在这里将集中描述更为重要的认知的例证：心理倾向对探索各种可能的选择的影响。
由于学习和解决问题有赖于各种选择的探索，所以教学必须促进和调节学习者方面对这种选择的探索活动。
对于各种选择的探索有三个方面，每一个方面都涉及研究工作的规划。它们可以简述为激发、维持和方向。换言之，选择的探索要求有某种东西使其开始，有某种东西使其保持进程的连续性，更有某种东西使其方向明确，不出偏差。
在一项具体任务中，激发选择探索的主要条件是提供某种不确定的最佳状态。好奇心，这是一直引人争执的问题[23]，它正是对不确定的和模糊状态的一种反应。一种简单枯燥的、按部就班的例行任务，固然不会激起多少探索的热情，但是过于不确定的目标，也会产生混乱和烦恼，导致探索兴趣下降。
探索兴趣的保持一旦被激发起来，它要求从探索选择所得的收益超过已经遭遇到的风险。在教师的帮助下进行学习，如果教学有成效，就应该比起个人自学来要少些挫折或风险。这就是说，在教师的控制下，错误的后果，探索选择失误的后果应当力求减轻其严重程度，而从正确选择的探索上所获得的成果应该相对地使之大一些。
探索的正确方向依赖于这样两个相互影响的重要条件：一是对任务的具体目标的认识，二是为达到此目标作出经过考验的选择所需要的知识。简言之，为了使探索具有方向，任务的具体目标必须在某种近似准确的方式上是已知的，而各种选择的检验必须能产生这样的信息——人们对这个目标所持的态度是什么。用最简单的话来表示，便是：探索的方向有赖于实验者对其检验结果的知识，而教学应当在提供更多这种知识方面对“自发的”学习更占有优势。
知识的结构和形式
任何概念、问题或知识，都可以用一种极其简单的形式来表示，以便使任何一个学习者都可以用某种可认识的形式来理解它。
任何领域的知识结构，都可用三种方式表示出来，即表象的模式、经济原则及有效能力；而每一种方式都影响着学习者掌握知识的能力。表象的模式、经济原则及有效能力，对于各种年龄不同、风格不同的学习者以及不同的教材所起的作用也是不同的。
任何知识领域（或在此知识领域中的任何问题）都可以用三种方式表示：一是用一整套适合于达到某种结果的动作来表示（动作性表象），二是用一整套归纳出来的形象或图画代替未经充分定义的概念来表示（形象性表象），三是用一整套从符号系统中引出来的、在形成和转换命题中受一定规则和定律制约的符号或逻辑命题来表示（符号表象）。它们之间的区别最容易用天平架做工具具体地显示出来；我们随后便有机会来考虑用这种工具教孩子们学习二次函数。年龄很小的孩子都会顺利地按照天平架平衡的原理去做作业，像他在跷跷板上能活动自如一样。他懂得要使跷跷板的一边越往下沉，他就必须离中心点越远一些。因此，年龄稍大一点的孩子，他就能够给自己描述天平架的道理；或是用一个平衡架的模型，在平衡架的两边挂上圆环以求得平衡；或者用图画把这种平衡的原理表示出来。天平架的“形象”可以多方设法使之精确，并且尽可能地少用不相干的细节来表示，像在物理学教科书的导言中提出的典型说明那样简单明晰。最后，天平架可以用普通的语言来描述，用不着语法图解的帮助；或者还可以更好地按照数学的原理，用惯性物理中的牛顿运动原理来描述。不用说，动作、图像和符号等，对不同年龄、不同社会背景和不同思想风格的儿童会产生不同的困难和不同的用途。此外，有关规律的某个问题是不易用图解法表示的；在地理方面的问题却适宜于产生想象。许多科目，例如数学，则有多种可供选择的表现模式。
表现某种知识领域的经济原则涉及信息的总量，即必须牢记的信息和必须占有以达到理解所需要的信息的数量。人们用来了解事物和处理问题的信息项目愈多，就愈不经济。因为任何知识范围，人们都能够把它的要点按最经济的原则排列出来。将美国内战概述为“解放黑奴”的战争，比之概述为“两方之间，即以要扩大工业的地区为一方，以及为了控制联邦经济政策而要建立一个阶级社会的地区为另一方，这两方之间的斗争”是更加经济的（虽然尚不够有力）。用公式s=
gt2来概述自由落体，比之把一系列的数字排成表格，以概述不同的物体、在不同的引力场、以不同的距离下降时所作的大量观察记录要更加经济。这个问题也许最好用两种输入信息的方式来加以概括，一是要求输送许多信息的方式，二是更为随意（pay-as-you-go）的信息加工形式。一个高度镶嵌式的句子可以作为前者的例子（这就是那只松鼠，那只狗、那个女孩、那个男人喜欢的、喂养的、追逐的。This is the squirrel that the dog that the girl that the man loved fed chased）；相反的是更加简约的句子（这就是喜欢那个女孩的那个男人，这女孩就是喂养那只狗的女孩，这只狗就是追逐那只松鼠的狗。This is the man that loved the girl that fed the dog that chased the squirrel）。
正如我们将要看到的，经济的原则因所表示的模式不同而相应地变化。但经济原则也是一种序列的功能，在此序列中教材被提示出来，或者提示出可学到的学习态度。这种情况可用以下例证说明（为此我得感谢J.理查德·赫斯博士）。假设所要学的知识领域包括这样一个有用的服务计划：在24小时内要飞到美国东北部的下列五个城市：新罕布什尔州的康科德（Concord）、纽约州的奥尔巴尼（Albany）、康涅狄格州的丹伯里（Danbary）、纽约州的埃尔迈拉（Elmira）、马萨诸塞州的波士顿（Boston），让学生获得这方面知识的办法之一，是记住下列具体的航线表。
波士顿——康科德
丹伯里——康科德
奥尔巴尼——波士顿
康科德——埃尔迈拉
奥尔巴尼——埃尔迈拉
康科德——丹伯里
波士顿——奥尔巴尼
康科德——奥尔巴尼
现在我们要问：“从奥尔巴尼到丹伯里，对此五城市作环绕一周的旅行，其最短航程是什么？”按这个问题所提的条件，回答这个问题所要处理的信息是相当复杂的。我们可以在一定的具有特点的路线中用“简化的方式”来提高经济效益。其中之一就是一种任意决定但为大家所熟知的按字母顺序排列的顺序表，我们把上表重写如下：
Albany（奥尔巴尼）——Boston（波士顿）
Albany（奥尔巴尼）——Elmira（埃尔迈拉）
Boston（波士顿）——Albany（奥尔巴尼）
Boston（波士顿）——Concord（康科德）
Concord（康科德）——Albany（奥尔巴尼）
Concord（康科德）——Danbury（丹伯里）
Concord（康科德）——Elmira（埃尔迈拉）
Danbury（丹伯里）——Concord（康科德）
这样，探寻最短航程这件事就变得比较容易了。可是对此任务中的顺序特点仍然存在某种程度上需要考虑的地方。用一种图表作标志，可更为增加经济效益；此外，在采用符号模式的过程中也存在着不同程度的经济效益。可用下面左右两图加以比较：
一看便知，最后的线路图包含的信息是从奥尔巴尼到丹伯里之间的往返只有一条路线，而埃尔迈拉则不过是必经的弯道而已，等等。我们可以看到这个符号图样和第一个航线表之间的差别有多大。
为特定的学习者构成某个知识领域，无论采取什么特定方法，这种方法有无效力指的总是他自己学的那套命题是否有繁衍的价值。在最后的那一节，如果机械地记住五个城市之间的那一套联结表，从这种呆板的结构中很难衍生环绕五个城市的捷径。或者我们可以从最近出版的一本书[24]中举一个例子说明，如告诉儿童“玛丽比珍妮更高，而贝蒂比珍妮更矮”，他们通常是不能说出玛丽是否比贝蒂更高的。人们完全可以正确地指出，这个问题的回答是一个转换性的逻辑问题。但是这样说并没有触及心理学的观点。可以肯定，有效力将永不会超越某个知识主体所固有的逻辑的繁衍力，尽管从认识论的观点来说，这是一个公认的极难表达的陈述。这用常识性的措词就等于说，掌握某个知识领域，决不会比能够最好地运用该领域的知识更好些。在一个具体的学习者所能掌握的知识领域里，所谓有效力是指他能寻找某种东西，以便通过缜密的分析去发现他事实上是如何进行学习的。皮亚杰的许多研究[25]恰恰就在于发现儿童的学习和思维的特性。在经济和有效力之间存在着一种很有趣的关系。从理论上说，两者是独立的：这的确是很清楚的，一种结构可能是符合经济原则的，但同时可能是缺乏力量的。然而，一种知识结构如果在任何领域中其结构技巧很有力而整个结构却不合乎经济原则，这却是罕见的。这就导致过渡到节省的准则，以及许多科学家所具有的信念：事物的本性是简单的；也许这是指只有当事物的性质能够合理地使之简单化的时候，它才可以被理解。一种表示模式的效力，在学习者看来也可以描述为：把一切在表面上看来是分离的东西联系起来的能力。这种情况在教学中显得特别突出，我们将在后面再作陈述。
序列及其用途
教学活动包括引导学生通过一个问题或一批知识的结构，陈述或再陈述的序列，来增强学习者理解、消化和转化其所学知识的能力。简言之，一个学习者在某个知识领域中所接触到的材料的序列，会影响到他将来掌握所学知识遇到的困难程度。
通常存在着不同的序列，它们对学习者来说，有难有易，不存在对于所有学习者都适用的唯一的序列；而且在任何特定的条件下，任何具体的序列总是决定于许多不同的因素，包括过去所学的知识、智力发展的阶段、材料的性质以及个人智力素质的差异等。
假若智力发展通常是从动作、经过映象再到符号这种对现实世界的表达过程[26]，那么，最佳的序列很可能也循着同一方向发展。很明显，这是一种保守的理论。因为当学习者已经掌握了一个发展很完善的符号系统的时候，他就可以跨越前两个阶段。但是谁要是这样做，就要冒一定风险：当学习者的问题的解决不能达到既定目的时，他就可能想不到回过头来运用前两种模式。
各种选择的探索必然要受这种序列的影响：在此序列中已学的材料已变成对学习者可利用的材料。应当在什么时候受到鼓励去广泛地探索各种选择，以及在什么时候受到鼓励来集中精力考虑某个选择的假设的含义，这对学习者是一个经验的问题，对此我们将在后面再予以论述。
让我们回到前面讨论过的对兴趣的激发和保持兴趣的问题。有必要指明，在任何序列中的不确定性的程度，必然会涉及开始解决问题的行为所表现出的紧张程度，以及保持积极解决问题状态所需要的各种条件。这同样也是一个经验的问题。
正如上面已经说明的，不可能孤立地定出最佳序列的标准，并以此来判断最终的学习效果。这类的标准最低限度应包括如下因素：学习速度，同遗忘作斗争，把已经学得的知识用于新事例的迁移的可能性，把所学内容加以表达的表现形式，根据所学习的内容给予学习者的认知负担的经济原则，根据所学的内容产生的新假设及其组合的有效力原则。达到这些目标之一时，不一定必须使这一目标同其他目标发生更密切的联系。例如，学习速度有时就同知识的迁移或经济原则是对立的。
强化的形式和步骤
学习依赖于“知其结果的知识”（knowledge of results），即在一定的时间和一定的地点，可赖以矫正人们认识的知识。教学扩大了这种有矫正作用的知识（corrective knowledge）的时空适应范围。
“知其结果的知识”是很有用的，或者说它可以依赖于学习者接受有矫正作用的信息的时间和空间，不依赖这种有矫正作用的信息可以被利用的条件；甚至同时就可假定接受这种知识的适当的地点和时间，以及接受这种信息的形式。
学习和问题解决可以分成几个小阶段。这些已为不同的作者以不同的方式描述过了。但所有这些描述在一种基本特征上是一致的，即存在一种循环结构，它包括：对试验程序或检验的系统阐述，对这一试验过程的操作，以及对根据某些标准进行的试验结果的比较。这种循环结构有多种名称，如尝试与错误法、目的—手段试验法、试验与检查法、差异减除法、测验操作反射弧（TOTE）、假设试验法，等等。此外，这些“小单位”易于被看成有固定结构的东西；我们寻求在一个方程式里消除那些未知的元素，以便简化这种表达的方法，平衡这个方程式，并通过学习这门课程得到我们的学位，得到一个体面的工作，过那种优越的生活。当某人把他试图达到的标准和他的试验结果相比较的时候，“知其结果的知识”应该在解决问题的时候出现。如果它早于此刻被提出来，则可能出现两种情况，或者是不能被理解，或者必然成为直接记忆的额外负担。如果“知其结果的知识”在此刻之后出现，又将失之于太迟，不能指导下一个假设或试验的选择。但是，“知其结果的知识”如果有用，就必须提供信息，不仅提供对某人的具体行动是否成功的信息，还要提供该行动实际上是否能引导他达到所欲达到各种层次的目的的信息。这不是说，在我们消去这个方程中的一项时，我们需要知道该项是否最终会导致我们过美好的生活；然而至少应该令人得到某种“引人注目的标志”（lead notice），以表明这种消去一项的做法是否在沿着正确的轨道前进。这里，导师起着特殊的作用。因为绝大多数学习是分段开始的，而不是从一个由许多活动或因素组成的教学内容开始的。学习者通常只能说出个别循环是否起作用——从一些具体事件所获得反馈是相当简单的——而往往不能说出这整个循环过程是否引向最终目的。这是很有趣的事情，即为问题的解决而提出的不很精确的暂时出路之一（如在波利亚的笔记[27]中所指的“启发式”的根本规律），必须与给整个问题下定义有关。总之一句话，教学的唯一目的是对学习者提供更高水平的、适合于他所作努力的有关信息。可以肯定，学习者最后必须发展技巧，以使自己能获得这种高水平的、有矫正作用的信息，教学及其辅助工具最终也必须走向一个目的。最后，假如问题解决者要发挥这个作用，他就必须在他不理解的时候去学习，去认识；还要像罗杰·布朗所建议的那样[28]，对导师表明自己所不理解的东西，以便能够得到帮助。这种不理解的信号最终会变成一种“自我通知的信号”和相当于暂时停止的命令。(https://www.daowen.com)
问题解决者正确地运用信息的这种能力，作为他们的内在状态的一种机能，众所周知是各有不同的。有一种信息极少发挥作用的内在状态，即有强烈冲动和焦虑不安的内在状态。这是没有理由来怀疑的观点，它有充分的研究结果可以说明。另一种是被称为“功能障碍”（functional fixedness）的内在状态，问题解决者实际上使用唯一的有矫正作用的信息去评价某一单个的假设，而这恰恰是错误的。通常用的例子是，当必须根据一个对象的新含义来对待它的时候，仍然根据它的惯常含义来处理它；因此，我们就不会把锤子当成钟摆的摆锤，因为在我们的思想中锤子的观念早已成为“固定的”了。无数的研究者指出这样的事实，即在上述情况下，对于问题的解决就会存在某种明显的不协调性和难以纠正性。有些例证表明，极度的冲动和焦虑不安，可导致人更易于发生“功能障碍”。显然，通常类型的有矫正作用的信息，直接的反馈，在这样的状态中是最不起作用的；适宜的教学方针，其目的是在继续提供有矫正作用的必要的信息之前，可使用特殊的手段来结束这种状态。在上述场合，教学很像一种治疗，它之所以必要，也许不是因为这种治疗需要人们经常在辅助措施单上为问题解决者寻求治疗性质的忠告，而是因为，恰像乔治·汉弗莱[29]所提出的，当问题被证明是难以解决的时候，人们常会转身避开的缘故。
倘若要有效地利用信息，那就必须把信息翻译成学习者企图解决问题的方法。倘若其可译性不能有效地实现，那么这类信息就成为纯属无用的东西。譬如，当一位滑雪新手还不能辨别什么动作是错误的时候，便告诉他“转用上坡的滑雪动作”，倒不如简单地告诉他把身子向山坡一侧倾斜，这样可能获得成功。或者，在认知的领域，目前也有值得引起注意的一批实例，它指明“否定的信息”——关于某事物为“非”的信息——对于一个寻求掌握某一概念的人来说是特别无用的。虽然从逻辑上说它是有用的，但从心理学上说是无用的。有矫正作用的信息的可译性，在原则上也能运用于表达的形式及其经济原则。假若学习或问题的解决是在一种模式中进行的——如动作式的、映象式的或符号式的，那么，必须按照同一模式提供有矫正作用的信息，或者把它转化成这样的一种形式。那种超越学习者处理信息能力的有矫正作用的信息，明显是一种无用的东西。
最后，必须重复说明前面叙述过的一个普通观点。教学是一种暂时的状态，其目的是使教育对象——学习者或问题解决者获得自我的充分满足。任何有矫正作用的控制都会带来这样的危险性：使得学习者长期依赖于导师的矫正。导师必须以某种方式去矫正学习者，但最终要让学习者自己能作出这种矫正。否则，教学的结果便是造成这样一种掌握知识的形式，即永远依赖于教师的形式。
从教学中选出的例证
在举出例证说明某些已经提出的观点之前，先就我举出例证的意图略加说明。最近十年来，人们已在数学课程方面做了大量的工作。人们只要一提到课程设计方案，下列这些单位所做的设计的重要意义，就会受到人们的赞赏。它们是：学校教学研究小组设计、伊利诺伊大学数学研究委员会设计、教育服务社的设计、麦迪逊的设计、非洲教学计划、马里兰大学数学设计、伊利诺伊大学算术设计，以及斯坦福设计。从这些设计活动中，为多种目的而去选择例证材料已成为可能的了。可是，这种断章取义的实例决不能成为根据。
因为事实是，已经掌握的影响数学学习的各种因素的证据仍然不足，对教学过程的研究——在数学上的如同在所有其他学科一样——尚未和课程建设联系起来进行。众所周知，心理学家仅在某一课程已经付诸实施之后，才以评价的“新设备”武装他们自己而登上舞台。可以肯定，这样的课程会更加有效力和更加有用：如果原始的教学材料能在试验条件下被试用，那么教材的版本和修订便可建立在直接的试用结果的知识之上。
凭借系统的观察研究——这种工作在精神实质上接近于皮亚杰所做的工作，也接近于像生态学者廷伯根[30]所做的工作——研究者能够获得详细的信息，这样他们便可以认识学生如何掌握已经提出的内容，认识这个学生的同一类型的错误是什么，以及这些错误是如何改正的。一个人，只要有归纳总结的能力，有根据某种学习或概念形成的理论，并知道那些同一类型的错误的性质以及应运用怎样的矫正方法，他就可以有保证、有计划地改变那些可能影响学习的条件，直接地把这些因素变为他所设计的课程实践。并不需要总是属于观察性质的研究。把某人的数学资料编成目录单的形式，并使之成为详细的教学活动记录以供分析，这常常是可能做到的事情。
如果弄清楚详细分析学习过程的意图是什么，那么，从休伯斯[31]的文章中可以举出一个很有用处的例子。例如，他观察到“3+x=8”这个题式对于孩子来说，比“x+3=8”的题式更易于解答；从表面上看来，这个观察似乎无足轻重，可是经过仔细观察之后，便会明白并非如此。困难是否来自要处理的那个未知数是位于方程式之前，或者来自一般英语语言上的转化习惯，因为按照这种习惯，一个词在句子中间被删去比在句子开头被删去更便于使句子完整。至于什么地方安排未肯定因子最能被人理解的问题，以及关于语言习惯和数学习惯之间可能产生什么干扰的问题，肯定都是值得细致地加以研究的。
现在让我们回到一些数学的例证上来，这些例证可以有效说明前面说过的理论与假设中所提出的问题。它们并不是任何事物的证明，仅仅是为了寻求什么是值得仔细研究的方法[32]。
为了说明从不同情况观察所得的现象，我把讨论的范围限制在对一个儿童小组所进行的具体研究上。在观察4名（两男两女）8岁儿童的报告中，首先指明这几名儿童每天上一小时数学课，每周上课4天，为期6周。这些儿童的智商范围是120～130，他们来自一所设计培养独立解决问题能力的、进行重点教育的私立学校三年级。他们都来自中等职业家庭。教师是一位研究数学的知名学者丹尼斯（Z.P.Denies），他的助手是哈佛大学一位长期对人类思维过程从事艰苦研究的心理学教授。
在一间宽敞的屋子里，每个儿童分别坐在四角的桌子边学习。每个儿童的旁边坐着一位观察导师，他们都受过心理学训练，在大学数学方面有扎实的基础知识，很了解所教数学的基本内容。在教室的中央摆着一张大桌子，上面放着各种方形木块、天平、杯子、豆类、粉笔等，作为教学的辅助教具。在6周的课程中，孩子们被传授的数学内容为：因式分解，加法与乘法的分配律和交换律，最后是二次函数。
每个孩子都有一系列印有按一定顺序排列的问题卡片，可以根据自己的速度来学习这些卡片教材，使用前面提到的材料。这些卡片给他指明解决不同种类习题的方向。讲授教师和助手在桌子间巡回，根据需要给予学生帮助，而每一个观察导师也同样根据需要进行帮助。问题的序列设计，首先是为了提供一项包含不同种类材料的具体结构来辨别数学的许多概念。每个孩子都从这样的结构中受到启迪，根据已经构成的结构去构思数学概念的一些感知表象（perceptual images）。然后进一步鼓励孩子们去发展或者采用一套符号来描述他所想象的结构。经过这样一个周期的活动之后，每个孩子继续学习一种把他正在学习的概念进一步具体化的结构，这种结构和他已经学习过的内容是严格同一形态的，不过是用不同的材料和改变了的外形来表现而已。当这样一个新课题被介绍给孩子们时，他们便得到一个机会去发现新课题和以前所学的内容之间的联系，并且表明如何扩大以前用过的那套数学上的符号系统。这些符号系统的使用过程，保留在每分钟的详细记录之中；与此同时，还有关于孩子们的构成的照片。
决不能说这些孩子、教师、教室，或用以进行试验的数学，是在三年级中安排的典型事例。4个儿童拥有6位教师乃是罕见的事情，而且8岁的儿童一般也不会学习二次函数。但是我们所考虑的是涉及数学学习的种种过程而不是其典型性。看来有充分理由设想：这些儿童所发生的种种思想过程，对于8岁的人类来说，都是很正常的现象。
激励儿童去解决问题
我们在这里面临的首要任务之一，是激发和支持孩子们的兴趣，并且引导他们进行解决问题的活动。同时还有一项特殊的目标有待实现——教给孩子们分析因素的方法，让他们具有这种综合技能，用一种可以理解的形式来解决问题。当然不能认为依据我们的经验来判定我们所采用的方法为最好；但是，无论如何这个方法看来是可行的。
在我们观察这些孩子之前，相当一部分的激励工作已经完成了。孩子们在教师和家长中已看到成年探索者作工作的典范。他们对于要检验和抵制的各种假设并不持特别反对的态度。我们所面临的主要问题（如教师多于学生的情况）是要防止发生那种儿童需要依靠我们才能行动的情况，如果这样，就与我们工作的意图相左了。我们都有过同孩子们在一起工作的经验。孩子们来自那种极少智力刺激的生活环境，在那种环境里极少强调独立思考，而相反的做法倒很为明显。的确，我们只能重述我们工作的情况，在实验中，我们重视对学习的事前安排，孩子们几乎都是为了我们将要采用的下列方法而受到特殊的训练：十分强调独立工作，按自己的步调，作出自己的反应。如果我们在实验小组中采用更有权威性的、更加易于记忆的方法，我们就得为之准备好基础。按当时的情况来说，工作已经很好地开始了。
第一个学习任务是这样给孩子们介绍的，即每人必须用不同的方法把一套立体的木块码成多层的“楼房”（在桌子上摆成各种矩形的“房子”，高度不要超出“房子”的宽度），有一堵一堵的墙，一座一座的建筑物。这个问题具有某种饶有兴趣的不确定的答案，这便激励孩子们确实用尽了各种可能的方法来造出各种建筑物。毫无疑问，他们也会被教师的明显的好奇心唤起热情。过了一定时间之后，鼓励儿童开始持续作文字记录，记下他们所能造的建筑物的形状，以及各种形状的尺寸大小。有些六面体（立方体）被证明是难于重新再组合成原来形状（当然是指最佳的处理）的，而其他的则被证明可以用许多有趣的方法把它们组合起来——每排三个的三排立方体可以成为九个，这种有九个立方体的三层“楼房”便是3×3×3的立方数，如此等等。因式分解的概念很快就被掌握了，而且只需要稍加指点，儿童就会对分配问题继续作一些有趣的推测。这项任务有它自己的方向，这个方向又是建立在这样的意义上，即它有清楚的目标：如何根据二维（长、宽）或三维（长、宽、高）的形式摆弄一套立方体呢？它也有其附加的特征，这就是通过多种选择赖以建立的观念：是哪些不同的方法，使人得出这样的规律？由于儿童在技巧上有所增进，他们就会改用其他方法去堆砌一些立体形，如棱锥体、三角形；在那里立方体便会被看成“菱形”以及其他形状；等等。这一阶段的游戏，有必要在每一次活动中都去判断某个儿童是否应该让他按照自己的能力单独做他所发现的工作。
我们将会看到，当我们轮到讨论天平的时候，因式分解的概念由于应用于“新”的问题而进一步加深了。我在这里提及此点，是因为它涉及根据这个方向去解决问题的一系列方法的重要性。情况常常是这样的：必须引进新颖的事物，以便使这种进取精神持续下去。使用天平架时，其任务就是发现金属环的不同的组合方法，这些金属环可以挂在天平架的一边来平衡挂在天平架另一边第九个钩子上的一个金属环。事实上，这与要求用不同的方法将九个立方体的木块排列起来是同样的问题。但是，这个问题在形式上不同了，而新的形式看起来有可能激发孩子们的兴趣，尽管这个问题和另一个已经被探索了的司空见惯的问题是属于同一形态的。
结构和序列
我们可以最恰当地举例说明这项工作开始时所拟定的那些研究要点；这里，我们引证选择4名儿童进行二次函数教学活动的研究来说明这些要点。给每个儿童发一些建筑材料，包括一些大方块木板，它们的尺寸是没有规定的，可以简称为“未知的，或是长为x和宽为x”。还有数量不少的木条，其长度与上述正方形木块的边相等，其宽可以定为“1”，或其面积可以简称为“1×x”。此外还有许多小方块木头，四边的宽度相等于长木条的宽度“1”，因而其面积恰好是“1×1”。请读者注意，这些材料所代表的不是像所有这些东西那么简单。一开始就有必要使儿童相信，我们确实不知道，而且也没有注意大方块木板是多少厘米；我们对这些方块木板的尺码毫无兴趣。一定程度的想入非非可使学生养成一种不重视测量具体尺寸的态度，此外，那种把未知数简单地称为x的诱导力是很大的。此后，儿童自己就易于发现这些长木条都是x长——因其长度与大方块木板一致。他们相信（如他们所应当相信的），窄面的尺寸是“1”，而他们对这个随意决定的实际长度是清楚的，那是由于有一个孩子宣称这种长木条的宽度是“1”，从而构成一个“x”的因子。至于“1×1”的小木方块，也可以简单地用相同的方法证明它是构成“1×x”长木条的因子。这是一种不太费力的方法，但却是很好的数学方法。
可以提问上面那个儿童，他是否能用他手边的材料做一个比“x×x”更大的方块。自然，他就很快地做成像下列图像所表示的方块。
我们要求他记录所做的每一个更大的方块使用了多少木料，以及每个方块有多长多宽。他会描画每个他制作的方块，把每个方块具体地数出来：“一个x方块，两根长木条和一个小方块”；或者说：“一个x方块，四根长木条和四个小方块”；或者说：“一个x方块，六根长木条和九个小方块”；如此等等。我们从语言上帮助他，并且教给他如何将这些记录下来的方法。这个大的方块是一个“x2”，这些长木条每一根都是“1x”，可简写为“x”，而小方块可视为“1×1”，或简写成“1”。“和”的表示方法可以缩写成“+”。于是他便可以写出一个组成的方块公式为：x2+4x+4。在这个时候，所有这些不过是把一些名字集合在一个小句子里而已。究竟这个方块是多长多宽还是一个问题。对此，孩子们能够很快地量度出来——一个x和2，或者x+2，因此，这全部的事情便变成（x+2）2。括弧不是那么容易被理解的。但孩子们很快就能写下他们所领悟的第一个等式：（x+2）2=x2+4x+4。实际上，每一样东西都有一个相适应的可以用手指指出的符号。这样，他便拥有一个符号系统，借以翻译他们制造的东西的形态。
现在我们继续来制作一些更大的正方形，制作每个正方形的孩子都要写清楚他用了哪些方木块，它们的长、宽是多少。这需要一些画了平行线的纸，让儿童准确作记录，以便他反复观察和检查，看看会出现什么情况；此外，鼓励他反复检查他所做的记录以及这些记录所指的具体方块结构。
可以再设想如下的一张顺序表，这是孩子自己构思的产物：
x2+2x+1=（x+1）×（x+1）
x2+4x+4=（x+2）×（x+2）
x2+6x+9=（x+3）×（x+3）
x2+8x+16=（x+4）×（x+4）
经过这样的推理学习，不使他在数字上获得一些发现，那几乎是不可能的。这就是“x”的值随着2、4、6、8的顺序增长，而小方块的值随着1、4、9、16的顺序增长；但方块的体积则是按照（x+1）2、（x+2）2、（x+3）2、（x+4）2的方式增大的。可见关于规律性在标记法方面所表现的句法上的顿悟（syntactical insights）和涉及那些被识别的具体事物的“知觉—操作”的顿悟是彼此配合的。
过了一段时间以后，一些新的操作出现了，这些给标记法的进展提供进一步的依据。他把（x+2）2这样大小的方块，以一种新的办法重新建造一次。人们可以发问，这是否是一种结构的操作？是不是一种正确的因式分解？但是，孩子们正在学习用同样数量的木块——即使如此，还是有不同标记的表达方式。哪里是语言的开始而又是操作终止的地方呢？这种相互影响将永远继续下去。我们在后面还要回过头来讨论这个例子。
现在的问题是把孩子们已经学得的符号概念和那个具体的、看得见的、可以为人工操作拼凑起来的方块所得到的感性认识分开。因为假如孩子们用数学的特性来处理，他们必定会运用数学本身的符号，否则，他们就一定会被限制在狭隘的范围，甚至限制在不重要的视力能直接看到的（也仅仅是部分地）具体事物的范围之中。像x2和x3这样的概念固然可以给孩子提供看得见的相应物体，但是对xn如何表达呢？
如何使儿童摆脱所感知的具体形态的物体而转到符号概念上来呢？或许从变化和差异的特性上可以部分地加以开导。
重新给孩子们展示天平架，并告诉他们：“在天平架的一边，任意选择一个钩子，并按此钩子距离中心点的某个格数上挂上若干个与格数相等的小环。现在设法在天平架的另一边，也挂上若干个小环以使之平衡。要做记录。”回忆一下，孩子们在因式分解的练习上对天平架是熟悉的。他们知道，在天平架的一边第九个钩子上挂上2个小环，必须在另一边以9个小环挂在第二个钩子上，才可求得平衡；或者换句话说，把m个小环挂在n格的位置上，可同在m格的位置上挂上n个小环取得平衡。于是他们回到构思的活动上，在天平架上能够像方块组合那样进行工作吗？只需要稍加努力，思考一下，就能想出下列变化。例如x是5，那么5个小环挂在第五个钩子上就是x2了；5个小环挂在第四个钩子上就是4x
了；而4个小环挂在第一个钩子上就是4。三者加起来就构成了：x2+4x+4。我们如何能发现这正是前面所说的正方块的宽（x+2）乘以长（x+2）的奥秘呢？请看，假如x是5。那么x+2就是7；因此7个小环挂在7号钩子上，这样就出现了自然规律——天平平衡了。一个符号系统可以为两个明显不同的结构和可感知的事物服务。符号系统以其更广泛的等同意义，比那些具体事物（如用各种木块或天平架）来表达知识更为经济。使用这一套更为方便的语言所遇到的阻力是极小的。现在的结构可以这样开始——方程式的交换和分配的特性可以表达为：x（x+4）+4=x2+4x+4，这样，（x+4）个小环挂在第x号钩子上，加上挂在第一个钩子上的4个小环也能得到平衡。孩子们如果愿意，也可反复用方木块来试验，会发现同样的材料也能提出前面所叙述过的设计。
对比也是一种手段，利用这种手段能够使那些过于明显反而不易辨别的东西变成具有明显特征的东西。从一个8岁女孩的下述发现，足以说明这个事实。“是的，4×6=6×4，这在数学上讲是毫无问题的；就像在4间爱斯基摩人的圆顶小屋中，每间住6个爱斯基摩人，和在6间爱斯基摩人的圆顶小屋中，每间住4个爱斯基摩人，在人数上是一样的。但是，a venetian blind（一个眼瞎的威尼斯人）和a blind Venetian（一个盲目的威尼斯民族）是不同的。”通过认识我们平常语言中许许多多的不可替换的特点，来认识数学语言的可替换性就能被部分地理解了。但是，这仍然仅仅是部分地理解什么是可替换性和不可替换性。如果我们想更深一步地发展这种区别能力，我们便应该具体地区别两套可以按任何顺序去做的操作活动之间的差异（或相反）的性质。例如，我们把一些信投入邮筒里的顺序，或者，我们观看不同电影的顺序，和另一种不能替换的操作顺序相对比，如穿袜子和穿鞋，必须是一个在先，一个在后。经过这样的对比之后，可以把孩子们的注意力转到学习更一般的可替换的和不可替换的事例的概念上来，转到处理符号的方法上来；也许可以用完全相同的符号序列和已经加以安排的完全相同的符号系列来完成这个任务。
我们不需要重述本系列研究的明显特点是什么。本系列研究的目标是从二次函数的动作性表象开始的——有些事情可以确确实实地“做出来”，或“建立起来”——并从那里发展为一种形象性的表象模式，不论这样做要受到什么限制。循此前进，符号发展了，由于变化和对比的应用，就会转化成为恰当的符号系统。此外，为达到这个目标，还可以从尽可能是最经济的一种表象开始，并且只有在下述情况下，才增加其复杂性：当存在某些方法可以让孩子们把一种复杂的事例和以前遇到过的更为简单的事物发生联系的时候。
在孩子们的表演中最引人注目的是：当他们用一种超出直接感知的办法来为他们自己表达事物时，常不知如何开始，并缺乏最初的表现能力。我们认为，想要获得更为全面的理解力，就需要建立一种中介作用的表象性结构，使之能超越那种直接的形象。孩子们总是这样开始演示的：对某种概念构思出一个具体的表现形式，为了完成操作上规定的种种意图，制造出一种具体的模型。这个结构的成果便是某种形象和一些操作，它们“代表”某个概念。紧接这项任务的是提供表现手段；这些手段不受特殊的操作方法以及特别的形象所限制。只有符号的运用才能够提供这种方式的表达一般概念的手段。请考虑一下这个问题。
我们已经指明，如何给孩子们多种具体形象来表达一个（用普通符号表现的）同样的一般概念，由此我们希望引导他们“忘掉”某概念的许多特殊的感情上的特征，一直到能够理解这个概念的一些抽象的特征。但是可以肯定，这不是描述孩子们如何不断发展理解力的最好办法。这种抽象力的增长是很重要的。在我们观察孩子们时引起我们惊讶的是：他们不仅了解已经学过的东西的抽象性，而且积聚了很多具体的形象作为例子来证实这些抽象的概念。当他们寻求处理新问题的方法时，这个工作通常不仅仅是简单地用抽象的方法进行，而且通过用“拼凑”形象的方法进行。这里有一个实例可以作说明。从用木块做成的具体模型来表示二次函数到用天平架上的平衡结构装置来表示，一件很有趣的事就是：孩子们会用一种具体的特殊的东西同另一种具体的特殊的东西“平衡”起来。天平的一边“代表”方木块的面积，而另一边“代表”那方块各边的长度。这些木块和天平都是用来学习的重要教具。一些从事研究工作的数学家曾告诉我们，同样教具的使用——启发式教学法——结果说明，他们更乐于采用使某些问题形象化的教学方法，即让其他的问题无声地得到处理，或者根据写在纸上的符号的一种意象去处理的方法。
我们得到了暂时得出的结论：对于一个孩子来说，也许有必要学习数学，这不仅是为了使他具有牢固的抽象概念（这种抽象概念构成他正在学习的东西的基础），而且可以让他具有大量可以看得见的有形物，来把那些数学问题加以形象化。因为如果缺乏这种有形物，则探索客观事物的一致性以及用符号的办法去检查一个人正在做什么事情是很难进行的。我们有幸再次在丹尼斯博士的帮助下教10名（一组）9岁的孩子以数学中“群论”的初步认识。为了使他们开始获得数学的“群”（group）的概念，我们给他们由下面四种操作组成的“群”的例子。取一本书作为工具。书面的中央竖一个箭头，这四种操作是：向左转动90度，又向右转动90度，再旋转180度（不管其旋转的方向如何），最后让它停止在所旋转的位置上。他们很快就理解这样的数学“群”的重要特性：任何安排的操作系列都相当于从原来的位置出发的一次转动。用数学方式描述这种性质的方法和通常使用的方法是不同的，但是对于孩子们则是很有用处的。我们用一系列的转动（它们确实不能构成某种数学群）与这种清晰明确的特性加以对比：学生会举出向左转三分之一，向右转三分之一，又转半圈（左右旋转均可），最后停住。这可作为不能构成群的反例。但是很快便看出这行不通。我们给孩子们布置了做四次操作，或六次操作，以及其他各种次数的游戏。这是一种有着“封闭”特性（我们是如此称呼它的）的游戏。由一些转动连成的任何组合，其结果都能由一次转动而取得。当然，孩子们是极其机敏的，但是很快就明显地表现出他们在想象方面需要某些帮助——在此情况下，需要一种形象化的符号——这种帮助可以使他们坚持探索，然后去发现某种新游戏是否和他们已经改进了的游戏同属一个类型。这个例子的教具当然是“矩阵”，在矩阵上面写出了所有四种转动，然后在左边顺序写出这些转动；这样就能检验出每一对转动的组合是否能够相当于一次转动。在这种情况下，矩阵是引路的拐杖，或者是启发式的教学方法。虽然这个拐杖与数学上“群”的抽象概念无关，然而它确是对孩子们极为有用的东西。它不仅帮助他们保持探索的进行，而且在比较这一“群”和另一“群”的一致性时也是有用的。他们开始练习的矩阵是这样的：
s a b c s=停止
s s a b c a=向左转动1/4
a a c s b b=向右转动1/4
b b sc a c=转半圈
c c b a s
任何由四个元素组成的“群”（four-groups）都有不同的结构吗？如果没有这个表示详细记录的矩阵作为工具来标明其一致性时，回答这样的问题是极端困难的。请看这样一个游戏：一个立方体如果按下面方向转动后它将停在什么位置上？绕纵轴转动180度，其情况如何呢？绕横轴转动180度，情况又如何呢？如果以其对角线为轴转动180度，其情况又如何呢？它能被简化成为更少的操作吗？它包含了上述的“群”吗？
总起来说，我们所实验的这一组孩子，虽然其数学理解力的发展依赖于他们“摆脱实例”（example-free）的抽象能力的发展，但这并不会导致他们放弃想象。恰恰相反，我们有这样的印象，他们丰富了的想象对于解决新问题是极为有用的。
我们愿意指出学习数学会带来巨大的智力发展，这种发展开始于工具的使用活动，一种通过制造事物而理解这些事物含义的活动。这样的操作活动可以使特定映象的形式重现出来。最后借助于符号系统，通过映象的转化，凝聚成为不变的东西，至此，学习者便达到理解他正在处理的诸种事物的形式的和抽象的特性。可是，一旦抽象概念形成，学习者便不受一定的事物表面现象所蒙蔽而变得自由了。不过，他们仍然依赖他在掌握抽象概念进程中所建立起来的映象贮存库。正是这种贮存库可以使他们通过方便的、灵活的探索问题的手段，以及把现在研究的问题和已经掌握的问题联系起来，在启发式的水平上进行学习。
强化和反馈
关于有“矫正”作用的信息，我们选用的有些练习是特别适于说明的。通过我们设计的木块和往后借助于天平架来学习二次函数的过程，孩子们能够用直接的试验结果判定他们是否“到了那里”。一堆方木块可以聚合成一种结构，不管是合成正方形或非正方形，孩子能够一眼就看明白。利用天平也能获得同样的效果：它是平衡的或者是不平衡的。在学习者和教学材料之间，教师并不介入活动。
但是我们很明白，教师必须通过某些方式参与进去。首先，在严格的范围内决定这些序列的性质，以便孩子们有最大的机会弄清以前发生过的事情和现在正在出现的事情之间的关系。我们不知道在这些序列的活动中是否会很成功，除非孩子们在相当短的时间里学会了某些精细的数学运算。指导我们工作的是某种心理学—数学的直觉思维，以及我们所做的那个可能令人满意的设计；如果从理解如何把它做得更好的观点来看，这当然是不能令人满意的。
我们在有些场合是失败了，如从一个特殊孩子表现兴趣淡薄的情况来判断即如此，当时我们需要肯定这个孩子是否真正理解了某件事情。我们的最引人注目的失败是：我们试图通过符号形式使孩子们了解（可能是太早了）数学上的分配概念，如了解a×（b+c）和（a×b）+（a×c）这两式可以看作是相等的。我们最机敏的小学生中有一人在开始学习一小时之后，叹了一口气评论说：“它们又在重复按分配定律分配。”事实上我们的困难在于对提供他们一个符号模式以矫正映象结构的重要性做了错误的判断。在我们太热切于肯定他们已明白了曾经做过的有关因式分解结构的符号模拟，并且认为他们已在映象模式的水平上很好地理解了这些模拟。而事实证明，进一步学习映象结构是一桩恼人的事情。
对于过分冲动和渴望的问题，我们没有什么新的观察可资报告。我们的学生中有一人由于在家受其父亲的影响，对数学表现了极强的学习动力。这个孩子第一天就表现出了他的卓越才能。他在黑板上把两个很大的、不好对付的数目相乘，同时宣称：“我懂得很多数学。”他可能是我们最好的学生，但是，在他纠正自以为他所需要的就是最困难的计算概念之前，他却没有取得什么太大的进步。也正是他埋怨我们设计的、用来学习二次函数的那些木块必须是同样大小的。但是当他一旦渴望去求解未知数（如“x”）的时候，他就表现出相当大的才能。在这一点上，他的父亲是我们的意外的助手，因为他教给他的孩子“x's”是从代数学来的，这是绝大多数学生在中学才能学习的课程。
也许在这类实验方面，人们所遇到的最大的问题是设法置身于此方法之外，防止自己变为妨碍孩子能力发展的、经久不变的信息的来源者，应使孩子成为自己行为的矫正者。但是每间教室的情况在这方面是不一样的，而且每对学生和老师的情况也是不同的。有些教师和学生相处得很好，相互间关系密切；也有些教师和学生发生抵触现象，这当然是另外的事情了。
一些结论
首要的、明显的结论是人们在准备课程教材时必须事先考虑到下列问题：心理倾向、结构、序列和强化等，不管他是否在考虑撰写一本教科书，或做一个课时计划，或一个教学单元的安排，或教学大纲，或者，说实在的，哪怕是一次带有教学目的的谈话也当如此。但是，这个明显的结论又使人联想到一些并不太明显的含义。
支持研究作用的作风，允许一个人去估计他在处理有关教学的因变量方面如何做得成功，这就要求教师、教材以及心理学家经常进行亲密的合作。正如前面指出过的，一门课程必须由教材专家、教师，以及心理学家共同制订，并且恰当地考虑到教材的固有结构，它的系列安排，心理学上的强化步伐，以及解决问题所需要的心理倾向的建立与保持。当课程建立起来之后，还必须通过仔细的观察和实验方法详加检验，这不是简单地估计孩子们是否“达到”要求，而且要看他们正在用什么教材以及如何组织教材。矫正工作正是在“随时测验”的基础上进行的。正是这样一个程序才会把评价进程放到这样的时间、地点，即在该课程的建设中将评价的结果用于改正课程的设计。
凡是涉及个人差异问题的偶然因素均应加以了解。十分清楚，他们的差别在很多方面会以不同的程度表现出来——譬如，孩子解决问题的心理倾向，有程度的不同；他们的兴趣有程度上的差别，他们用来完成任何具体任务的技能有不同，他们表达事物所喜欢采用的模式有不同，他们在安排任何具体程序时能否容易地通过的能力有不同，以及他们最初依赖于教师的外部强化的程度也不同；等等。个人之间差异的事实有力地表明，在教材和方法上需要采用多元主义和某种明智的机会主义。早先而不是此刻我就已断定还没有一个唯一理想的序列适用于任何年龄组的儿童。坚持应有这种理想序列的人提出的结论是：有可能编排一种课程使某组孩子或某群抽样的孩子感到满意。这毋宁说，如果一门课程在课堂教学中是有效果的，它必须有不同的激发孩子兴趣的方法，有不同的提示序列的方法，和给某些孩子“跳过”某些学习内容的不同机会，而其他孩子则要学完所有的内容，还要提供不同的处理问题的方法。简言之，一门课程必须包含许多可以通向同一目标的途径。
我们的例证选自数学，但是有些概括性的说明也适用于其他领域。第一是需要许多天才的数学家努力去鉴定应当教给学生的数学基本结构。这就是说，一门数学课程的简明性取决于数学本身的历史及其发展。即使数学具有一种如此光荣的智力传统，也是不够的。因为，虽然发现十进位制有许多优点，但是学生在尚未认识到这种十进位制不是数学之神从高山之巅扔下来的东西之前，是不会欣赏这些优点的。只有当学生学习了不同的数字进位之后，十进位制所达到的成就才能被认识。
最后，一种教学理论要设法阐明这样的事实，即一门课程不仅要反映出知识本身的性质，而且要反映出理解知识和获得知识的过程的性质。这是具有典型的冒险精神的事业，在那里，教材和方法之间的界限必将越来越趋于不确定。在大学院系中奉为至宝，并写进一系列具有权威性著作中的很多知识，乃是前人的许多智力活动的成果。教某人学习这些学科，主要的并不是要他记住那些成果。毋宁说，是要教他参与可能构建知识的过程。我们教一个科目，并非要建立这个科目的许多小型的活动图书室，而是要使一个学生自己有条理地思考，使他考虑问题时像一位历史学家所做的那样，参与获得知识的过程。认识是一个过程，决不是一个结果。