“现代数学女王”的新风采

法国数学家狄多奈这样形容拓扑学，说拓扑学是“现代数学的女王”。

从定义上说，拓扑学是数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，比如四边形可形成6条线段，其他5条长度定了，另一条也就定了。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。20世纪40年代中期，在师从陈省身先生之前，吴文俊对拓扑学还所知甚少。在陈省身先生的指导下，吴文俊步入了数学的圣殿。由于勤奋研究和超群的领悟能力，他开始在拓扑学的深水中游泳了。那时美国数学家惠特尼推导出了著名的“对偶定理”，这是一个十分基本的公式，可是证明长得异乎寻常，吴文俊形容它“总有十几页、几十页长，没法在杂志上发表”，出一本书倒合适。吴文俊经过精心推导，给出了一个只有几页纸的证明。当时最具权威的美国学术刊物《数学年刊》刊载了这个公式，惠特尼说，我的公式可以扔掉了。

吴文俊独创新意给出的这个简单证明，成为拓扑学中“示性类”的一个重要成果。仅仅一年多时间吴文俊就在以难懂著称的拓扑学的前沿领域取得如此巨大成就，这确是国际数学界并不多见的，足见吴文俊的研究功力。

1947年11月吴文俊赴法国留学，当时正是布尔巴基学派的鼎盛时期，也是法国拓扑学正在兴起的时期。吴文俊在此期间在拓扑学领域取得了一系列重大成果，其中最著名的是“吴示性类”与“吴示嵌类”的引入及“吴公式”的建立。示性类是刻画流形与纤维丛的基本不变量。40年代末，示性类研究尚处在起步阶段，瑞士的斯蒂费、美国的惠特尼、苏联的庞特里亚金和中国数学家陈省身等著名科学家，先后从不同角度引入的大都是描述性的示性类概念。这些数学家从不同途径引入的示性类，分别以斯惠示性类、庞示性类、陈示性类命名。吴文俊将示性类概念化繁为简，从难变易，形成了系统的理论。吴文俊分析了这些示性类之间的关系，着重指出，陈示性类可以导出其他示性类，反之则不然。他在示性类研究中引入了新的方法和手段，在微分情形，他引出了一类示性类，被称为“吴示性类”。它不单是描述性的抽象概念，而且是可具体计算的。吴文俊给出了斯惠示性类可由吴示性类表示的明确公式被称为“吴（第一）公式”。这些公式给出各种示性类之间的关系与计算方法，从而导致一系列重要应用，使示性类理论成为拓扑学中完美的一章。

在谈到“吴示性类”“吴示嵌类”“吴公式”的时候，笑容通常都十分灿烂的吴文俊像孩子那样缩了一下脖子：他的工作成果曾被五位“菲尔兹奖（数学界最高奖）”获得者引用，其中三位还在他们的获奖工作中使用了吴文俊的成果。他说，现在在国际数学界有一个有趣的现象，许多研究文章直接以“吴公式”为题或使用“吴公式”，已不再引用吴文俊的原文，也就是说人们也许已不大知道“吴”是何许人了。这说明这些拓扑学研究成果已广为人知，成为拓扑学的基础性、经典性的内容了。

在拓扑学研究中，吴文俊起到了承前启后的作用，极大地推进了拓扑学的发展，引发了大量的后续研究，许多著名数学家从他的工作中受到启示或直接以他的成果为起点，获得了一系列重大成果。

1989年，法国数学家狄多奈出版了巨著《代数拓扑学家和微分拓扑学史1900—1960》，其中引用吴文俊的研究成果17次。他写道，吴文俊把示性类由极为繁复的形式转化为现代的漂亮形式。数学大师陈省身称赞道，吴文俊“对纤维丛示性类的研究做出了划时代的贡献”。