线性代数_高等教育

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第1章行列式

在解决有关工程和经济等实际应用问题时，常需要求解方程组. 而线性方程组是这些方程组中最简单和最常见的类型. 在中学的代数课程中，学习过二元一次方程组和三元一次方...

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1.1 二阶与三阶行列式

求解二元线性方程组利用消元法，分别消去未知数x1，x2，得若a11a22-a12a21≠0，则方程组（1.1）有唯一解观察式（1.3）的结构，发现式（1....

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1.2 n阶行列式

在1.1节，介绍了二阶、三阶行列式的定义. 在1.2节中，将根据二阶、三阶行列式的规律引出n阶行列式的定义. 首先，介绍全排列的相关知识. 把n个不同的元素排成...

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1.3 行列式的性质

在1.2节中，引入了n阶行列式的定义，并利用定义计算了一些特殊行列式（如上三角行列式等）. 然而，对于一般的n阶行列式，当n较大时，直接利用定义计算将非常烦琐，...

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1.4 行列式按行（列）展开

一般说来，行列式的阶数越低，计算就越简单. 因此，我们自然会考虑是否能用低阶行列式来表示高阶行列式的问题. 为此，我们需要先引入余子式和代数余子式的概念. 定义...

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1.5 克莱姆（Cramer）法则

含有n个未知数x1，x2，…，xn的n个线性方程的方程组与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有下述的克莱姆（Cramer）法则. 定理5...

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习题1

1. 利用对角线法则计算下列二阶、三阶行列式： 2. 按自然数由小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）2413；（2）4637251；（3）315...

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第2章矩阵

矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是线性代数研究中应用广泛的有力工具. 本章主要介绍矩阵的概念、矩阵的运算、逆矩阵及分块矩阵....

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2.1 矩阵

有m个方程n个未知数的线性方程组其系数及常数项可以排成m行n+l列的数表这个数表与方程组有一一对应的关系，于是对方程组的研究就可以转化为对这个数表的研究. ...

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2.2 矩阵的运算

定义3　设有两个m×n矩阵A=（aij）m×n，和B-（bij）m×n，则矩阵A与矩阵B的和记作A+B，并规定为注意：只有同型矩阵才能进行加法运算. 矩阵加法...

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2.3 逆矩阵

在数的运算中，当a≠0时，有 aa-1=a-1a=1，其中，称为a的倒数（或称为a的逆）. 在矩阵的运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A...

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2.4 矩阵的分块

对于行数和列数较高的矩阵，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算转化为小矩阵的运算. 将矩阵用若干条纵线和横线分成若干个小矩阵，每个小矩阵称为原矩阵的子块，以子块为...

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习题2

（1）2A+BC;（2）CTBT；（3）A-4BC；（4）（A-4BC）T. 2. 计算下列乘积： 3. 设，问：（1）AB=BA吗？（2）（A+B）2=A...

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第3章矩阵的初等变换与线性方程组

本章首先介绍矩阵的初等变换及初等矩阵的概念，并建立矩阵的秩的概念，接着利用初等变换讨论矩阵的秩的性质，最后重点讲解矩阵的秩与线性方程组解的3种情况（无解、有唯一...

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3.1 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中，都起着重要作用. 定义1　下面3种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对调...

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3.2 初等矩阵

定义2　由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 3种初等变换对应3种形式的初等矩阵. （1）对调单位矩阵的两行或两列把单位矩阵E中的第i行和第1...

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3.3 矩阵的秩

在3.1节中我们指出，给定一个m×n矩阵A，它的标准形由数r完全确定. 这个数也就是A的行阶梯形矩阵中非零行的行数，这个数便是矩阵A的秩. 但由于这个数的唯一...

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3.4 线性方程组的解

设有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组方程组（3.1）可写成以向量x为未知元的向量方程 Ax=b，（3.2）第2章中已说明，线性方程组（3.1）与向量方...

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习题3

1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵： 2. 利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵： 3. 利用矩阵的初等变换求解下列矩阵方程： 4. 求下列矩阵的秩，并求其一个最...

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第4章向量组的线性相关性

本章在介绍n维向量及相关概念的基础上，讨论向量组的线性相关性，引人最大无关组和向量组的秩的概念，由向量组的秩和矩阵的秩之间的关系讨论线性方程组的解的结构，最后给...

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4.1 向量组及其线性组合

对二维和三维向量的概念进一步推广，我们现给出n维向量的定义. 定义1　n个有序的数a1，a2，…，an所组成的数组称为n维向量. 这n个数称为该向量的n个分量，...

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4.2 向量组的线性相关性

定义4　给定向量组A:a1，a2，…，am，若存在不全为零的一组数k1，k2，…，km，使 k1a1+k2a2+…+kmam=0，则称向量组A是线性相关的，否...

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4.3 向量组的秩

从4.2节定理4可以看出，向量组的线性相关性与矩阵的秩有密切的联系. 为使讨论进一步深入，我们引入向量组的秩的概念，并给出向量组的秩和矩阵的秩之间的关系. 定义...

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4.4 线性方程组的解的结构

线性方程组的求解方法和解的理论，是线性代数的核心内容. 在第1章中我们介绍了克莱姆法则，但克莱姆法则只适用于讨论方程个数与未知数个数相同的线性方程组；在第3章中...

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4.5 向量空间

定义7　设V是非空的n维向量的集合，若集合V对向量的加法及向量的数乘这两种运算封闭，则称集合V是一个向量空间. 所谓对运算“封闭”是指，对任何a∈V，b∈V，有...

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习题4

1. 设向量，求2α1+α2+3α3-4α4. 2. 已知向量，（1）设（α-ξ）+2（β-ξ）=3（α-β），求向量ξ；（2）设2ξ-η=α，ξ+n=β，...

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第5章相似矩阵

矩阵的特征值与特征向量是线性代数中十分重要的内容，是矩阵和向量理论深层次上的发展. 本章主要讨论矩阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算及矩阵的相似对角化问题，...

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5.1 向量的内积及正交性

定义1　设有n维向量称xlyl+x2y2+…+xnyn为向量x与y的内积，记作[x，y]，即 [x，y]=xlyl+x2y2+…+xnyn. 内积是两个向量之...

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5.2 方阵的特征值与特征向量

在数学及物理中的一些问题，如解微分方程组、方阵的对角化、动力学系统和结构系统中的振动及稳定性等问题，常常可归结为求一个矩阵的特征值与特征向量的问题. 定义7　设...

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5.3 相似矩阵

定义8　设A，B都是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P-1AP=B，则称A与B是相似的，或称B是A的相似矩阵. 称P-1AP为对A作相似变换，可逆矩阵...

《线性代数》简介

第1章 行列式