3.3 矩阵的秩

3.3　矩阵的秩

在3.1节中我们指出，给定一个m×n矩阵A，它的标准形

由数r完全确定. 这个数也就是A的行阶梯形矩阵中非零行的行数，这个数便是矩阵A的秩. 但由于这个数的唯一性尚未说明，因此，我们用另一种方式来给出矩阵的秩的定义.

3.3.1　矩阵的秩的定义

定义3　在m×n矩阵A中，任取k行k列（k≤min{m，n}），位于这些行列交叉处的k2个元素按原来的次序所构成的k阶行列式，称为A的k阶子式.

由排列组合知识可知，矩阵Am×n共有个k阶子式.

例如

从A中选取第1、第2行及第2、第4列，它们交叉处元素构成A的一个二阶子式. 再如取A的第1、第2、第3行及第1、第3、第4列对应的A的三阶子式为

显然A的每一元素aij都是A的一阶子式，当A为n阶方阵时，其n阶子式为|A|.

定义4　设在m×n矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式. 数r称为矩阵A的秩，记作R（A）=r.我们规定零矩阵的秩为0.

注意：

（i）由行列式的展开法则可知，在A中，当所有r+l阶子式全等于0时，所有高于r+l阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为A的最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A中不等于0的子式的最高阶数.

（ii）若矩阵A中存在某个s阶子式不等于0，则R（A）≥s；若所有t阶子式全为0，则R（A）<t.

（iii）对任意m×n矩阵A，有O≤R（A）≤min{m，n}.

（iv）对任意m×n矩阵A，有R（A）=R（AT）.

（v）对n阶方阵A，若|A|≠0，则R（A）=n，此时方阵A可逆，所以可逆矩阵又称满秩矩阵；若|A|=0，则R（A）<n，此时方阵A不可逆，因此不可逆矩阵又称降秩矩阵（或奇异矩阵）.

例3.5　求下列矩阵的秩：

解　易看出，A中有一个二阶子式，而A的三阶子式只有一个，且|A|=0，所以R（A）=2.

B是一个行阶梯形矩阵，其非零行的行数为3，因此B的所有4阶子式全为0. 而以3个非零行的第一个非零元为对角线的三阶子式

是一个上三角行列式，它显然不等于0，因此，R（B）=3.

3.3.2　矩阵的秩与矩阵的初等变换

对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求矩阵的秩是非常麻烦的. 由例3.5可以看出，当矩阵是行阶梯形矩阵时，它的秩就等于非零行的行数，一看便知. 因此，我们自然想到用矩阵的初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但进行初等变换后，矩阵的秩是否会发生变化呢？

定理3　若A～B，则R（A）=R（B）.

证　先证明A经过一次初等行变换变为B，则R（A）≤R（B）.

设R（A）=r，则A中必存在某个r阶子式D≠0. 下面对3种初等行变换分别证明R（A）≤R（B）.

（1）当时，在B中取与D有相同序号的行和列所组成的子式D1，则D1与D完全相同，或D1是D交换两行得到的，故有

D1＝D，或D1＝-D，

即D1≠0，故R（B）≥r=R（A）；

（2）当（常数k≠0）时，在B中取与D有相同序号的行和列所组成的子式D2，此时

D2=D，或D2=kD，

即D2≠0，故R（B）≥r=R（A）；

（3）当时，由于对变换ri↔rj，结论成立，因此只需考虑这一特殊情况分3种情形：

①A的r阶子式D不包含A的第1行，这时D也是B的r阶非零子式，故R（B）≥r=R（A）；

②D包含A的第1行也包含A的第2行时，在B中取与D有相同序号的行和列所组成的子式D3，由行列式的性质知D3=D≠O，故R（B）≥r=R（A）；

③D包含A的第1行但不包含A的第2行时，在B中取与D有相同序号的行和列所组成的子式D4，记作

其中，D5也是B的r阶子式，由D4-kD5=D≠O可知，D4与D5不同时为0，所以B中总存在r阶非零子式D4或D5，故R（B）≥r=R（A）.

以上证明了A经一次初等行变换变为B，有R（A）≤R（B）. 由于B也可经一次初等行变换变为A，故有R（B）≤R（A）. 因此R（A）=R（B）.

经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩也不变.

设A经初等列变换变为B，则AT经初等行变换变为BT，由上面的证明可知R（AT）=R（BT），又R（A）=R（AT），R（BT）=R（BT），因此R（A）=R（B）.

综上所述，若A经有限次初等变换变为B（即A～B），则R（A）=R（B）.

由定理3可知，要求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中，非零行的行数即为该矩阵的秩.

例3.6　设

求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式.

解

因为行阶梯形矩阵中，有3个非零行，所以R（A）=3.

记A=（a1，a2，a3，a4，a5），则矩阵A0=（a1，a2，a4）的行阶梯形矩阵为

可知R（A0）=3，故A0中必存在一个3阶非零子式，它也是A的一个3阶非零子式. 现计算A0的前3行构成的子式.

因此这个子式就是A的一个最高阶非零子式.

例3.7　设，问k为何值时，可使

（1）R（A）=1；（2）R（A）=2；（3）R（A）=3？

解

因此

（1）当k=1时，R（A）=1；

（2）当k＝-2时，R（A）=2；

（3）当k≠1且k≠-2时，R（A）=3.

3.3.3　矩阵的秩的性质

前面已经提出了矩阵的秩的一些基本性质，将这些性质归纳起来，阐述如下：

性质1　0≤R（Am×n）≤min{m，n}，且R（A）=0的充分必要条件是A=O.

性质2　R（A）=R（AT）.

性质3　R（A）=R（kA）（k≠0）.

性质4　若A～B，则R（A）=R（B）.

性质5　若P，Q可逆，则R（PAQ）=R（A）.

性质6　max{R（A），R（B）}≤R（A，B）≤R（A）+R（B），特别地，当B=b为列向量时，有

R（A）≤R（A，b）≤R（A）+1.

证　因为A的子式和B的子式都是（A，B）的子式，所以R（A）≤R（A，B），R（B）≤R（A，B），因此max{R（A），R（B）}≤R（A，B）.

设R（A）=s，R（B）=t.把A和B分别作列变换化为列阶梯形矩阵和，则和中分别含有s个和t个非零列，可设，分别为

由于，中只含有s+t个非零列，因此R（，）≤s+t，而R（A，B）=R（，），故R（A，B）≤s+t，即

R（A，B）≤R（A）+R（B）.

性质7　R（A±B）≤R（A）+R（B）.

证　对矩阵（A±B，B）作初等列变换，易知

于是

R（A±B）≤R（A±B，B）=R（A，B）≤R（A）+R（B）.

性质8　R（AB）≤min{R（A），R（B）}.（证明见3.4节）

性质9　若Am×nBn×l=O，则R（A）+R（B）≤n.（证明见第4章）

例3.8　设A为n阶方阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n.

证　因为（A+E）+（E-A）=2E，由性质7有，

R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）=n，

而R（E-A）=R（A-E），故

R（A+E）+R（A-E）≥n.