1.2.1 加卸载引起的附加应力场和位移场
土体与隧道的相互作用分析一般采用两阶段法。两阶段法主要分为两个步骤：一是计算堆载作用下土体的附加应力场和位移场；二是以附加应力场或位移场为输入条件，计算土与结构的相互作用。
土体中附加应力与位移的计算是一个十分重要而又复杂的问题。为了准确、合理地进行地基沉降计算，国内外众多学者进行了深入的研究。
在早期的研究中通常假设“地基中某一点的沉降仅取决于作用于该点的压力，而和邻近的地基不发生联系”来计算加卸载作用下地表的沉降，这就是经典的Winkler地基模型。Winkler地基模型忽略了地基中的剪应力，认为地基变形只发生在基底范围内，并且采用该模型无法计算土体中的附加应力场。
随后，Boussinesq假设土体为连续均匀各向同性半无限弹性体，得到了集中力荷载作用下土体中任意一点的附加应力和位移，这就是经典的Boussinesq解。在Boussinesq解的基础上，Mindlin得到了半无限空间内部荷载作用下土体中的附加应力和位移解，在计算桩基沉降中得到了广泛应用。
Zhang等［8］、Liang等［9］将Boussinesq解引入地下管线和隧道领域，得到了地面堆载作用下地下管线和盾构隧道的附加应力场；Liang等［10］、魏纲等［11］借助于Mindlin解，提出基坑开挖引起隧道周围附加应力场的计算方法；Verruijt and Booker［12］、Loganathan and Poulos［13］基于弹性力学理论得到了隧道开挖下土体位移场的解析算法；Cheng等［14］基于汇源法得到了基坑开挖卸载在周围土体中引起的位移场。
实际上，自然沉积而成的地基土，在形成过程中具有明显的取向性，水平和竖直方向的性质存在差异，呈现各向异性。在水平方向可以近似地看成各向同性，但在垂直方向其性态与水平方向相比差异比较大，类似这样沉积形成的天然地基，其应力、应变关系采用层状地基模型来描述其受力状态更为合理。上述都是基于均质半无限空间土体这一假设，无法考虑土体的成层特性，一旦隧道处于分层土体，且土体性质差别比较大时，采用Boussinesq解或Mindlin解均会产生较大的误差。因此，有必要对地面堆载作用下分层土体中的附加应力场和位移场进行研究。
在我国地基基础设计规范中，提出了工程实践中便于应用的分层总和法，将地基的成层性和非均质性考虑到沉降计算中去。它在计算某分层的竖向变形量时，将非均质地基中的附加应力分布用均质弹性半空间的理论解答来代替。但是，该方法主要是为了计算基础中心点的沉降，一旦涉及比较多的计算点，沉降计算将会变得十分繁琐，不适合大面积堆载下土体中的位移场计算。
Bufler［15］和Bahar［16］各自独立地提出了传递矩阵法，他们利用Cayley-Hamilton定理，分别对二维和三维的各向同性弹性层推出了传递矩阵，但由于当时的计算条件有限，他们并没有给出应力和位移的数值解。
Booker和Small［17］在比奥固结理论的基础上，采用有限元方法，得到了堆载作用下两层土体中的附加应力和位移。
王凯［18］根据弹性力学基本方程，运用逐步“递推回带法”求解了N层弹性连续体系各层应力和位移积分公式中积分常数的表达式。通过对表达式的分析及相应的数学运算，得出适应于N层体系的应力、位移积分计算的一系列公式。但是，该法比较繁琐，不易于推广应用。钟阳等［19，20］则从静力平衡方程、物理方程及几何方程出发，构造出应力位移关于竖向及径向坐标偏微分之间的矩阵传递关系式，再对该关系式进行关于径向坐标的Hankel变换，得到任意层的状态向量与初始状态向量之间的关系式。任意层的状态向量可运用相应层的传递矩阵与初始状态向量的乘积表示，最后只要求解二元一次方程组就可以得到任意层关于Hankel变换的解析解，再对其进行Hankel反变换，得出该层的位移和应力解，用该法求解多层弹性半空间问题，概念清晰，公式简洁，易于应用。
钟阳和张永山［21］直接从弹性力学及矩阵理论出发，利用Hankel积分变换推导出了单层弹性半空间轴对称问题的刚度矩阵，然后按传统的有限元法组成总体刚度矩阵。通过求解由总体刚度矩阵所构成的代数方程就可求出荷载作用下多层弹性半空间轴对称问题的精确解。艾智勇等［22］提出了基于“解析层元”的分层土体总刚度矩阵构造方法。由于刚度矩阵的元素只含有负指数项，计算时不会出现溢出或病态矩阵现象。
张治国等［23］、梁发云等［24］利用弹性层状半空间理论分别研究了隧道开挖卸载和地面堆载下层状地基的附加应力。