2.2.4 地面加载作用下隧道附加应力计算
图2-6为地面加载作用下下卧运营隧道的变形响应示意图。假设地面堆载均匀分布，堆载大小为p，范围为L1×L2（L2为沿隧道轴向，L1垂直于隧道轴向）。地铁隧道的外直径为Dt，隧道轴线到地表的距离为z0=10m。根据上文分析，土体采用Pasternak地基模型，隧道采用Timoshenko梁模型［24］。为了得到外荷载作用下隧道纵向变形响应，本书做出如下假定：
①外荷载施加前，隧道已经处于稳定状态，且忽略已经产生的变形。
②不考虑土体的塑性变形，即认为外荷载作用下隧道周围土体始终处于弹性状态。
图2-6 地面加载作用下隧道变形计算示意图
③隧道变形过程中始终与周围土体保持接触。
④隧道的存在不影响地面堆载在土体中引起的自由应力场。
（1）均质地基。
均质土层中，堆载作用下土体附加自由应力场属于半无限弹性空间问题，可以采用经典的Boussinesq解进行计算：
式中：
，X 和Y 分别为ξ-η坐标系下的横、纵坐标，如图2-7所示。
图2-7 坐标变换
坐标系x-y（隧道坐标系）和坐标系ξη（荷载坐标系）的关系可以采用坐标转换矩阵得到：
式中：α 为oo′的连线与x 轴的夹角；θ为隧道轴线（x 轴）与ξ轴的夹角。
由于本书采用Timoshenko梁模拟隧道，因此为了得到堆载作用在隧道上的附加荷载，还需要在式（2-21）的基础上乘以隧道直径。
（2）分层土体。
基于弹性半无限体理论，有一些学者［22］分别提出了分层土体中地基应力求解方法，具体推导过程简述如下。
矩形荷载作用下，土体微单元体的平衡方程为：
假设土颗粒不可压缩，土体变形为线弹性，基于广义胡克定律，有：
几何方程为：
将式（2-24）和式（2-25）代入式（2-23）中，可以得到：
采用如下变换：
结合式（2-25），有：
双重Fourier变换与逆变换采用如下形式进行：
对式（2-27）进行Fourier变换，并用矩阵形式表示，有：
式（2-29）可以简化表示为：
基于常微分方程理论，式（2-30）的解为：
依据Cayley-Hamilton定理，可以求得矩阵Q 和M。
式（2-30）的矩阵形式为：
将式（2-32）进行变换，可以得到与有限元类似的刚度矩阵：
对于多层弹性空间问题（图2-8），基于式（2-33），任意一层（第j 层）的应力位移的关系可以表示为：
图2-8 多层弹性空间问题
对于多层弹性空间问题，底层为弹性半无限空间时，在弹性半空间无限体内，当z→∞时，所有位移和应力分量都趋于零。Q 中每个元素中均含有e-kz和e2kz项，这与半空间无限体的边界条件不符合，因此去掉元素中的e2kz项，并令z=0，可以求得半无限空间体顶部的应力位移关系为：
结合式（2-34）和式（2-35），就可以得到分层土体的应力位移关系：
对式（2-36）采用双重Fourier逆变换，就可以得到地表堆载作用下土层内部各个分量在真实空间域上的解，详细推导过程可以参见艾智勇等［22］的研究成果。
基于式（2-28），采用双重Fourier逆变换和高斯积分法，可以得到分层地基中地表堆载引起的附加应力，通过与经典的Boussinesq解进行对比，来验证分层地基应力计算模型以及数值变换的正确性。假设地表作用100kN的荷载，荷载作用范围为4×10m，地基土为弹性半空间无限体，弹性模量为10MPa，泊松比为0.33。分别采用Boussinesq解和本书解（其中土体分层数取为二层和四层）计算10m 处的附加应力，计算结果如图2-9所示，对比结果表明，本书计算结果与Boussinesq解一致，从而验证了本书分层土体附加应力计算模型的可靠性。
图2-9 附加应力计算结果对比