2.2.2 隧道模型
常用的经典梁模型有两种：一是Euler-Bernoulli梁，二是Timoshenko梁模型。这两种模型最大的区别在是否考虑了梁截面的剪切变形，可以说Euler-Bernoulli梁是Timoshenko梁的一种特殊形式如图2-1所示。
图2-1 梁的变形模式
城市地铁隧道通常由预制管片组成，管片与管片之间通过螺栓连成一个整体。一般来讲，管片接头的存在会削弱隧道结构的整体刚度。而现场工程大量监测数据表明，隧道沿轴线方向的变形可以分解为两部分（图2-2）：一是弯曲引发管片的弯曲变形，造成管片的张开；二是不均匀沉降诱发的剪切应力引发管片之间的错台［80-82］。戴宏伟等［26］、李俊昱等［83］采用Euler-Bernoulli梁分别计算了隧道和管线的纵向变形，但Euler-Bernoulli梁只能考虑弯曲变形，无法得到管片之间的错台量大小，因此本书采用Timoshenko梁来模拟盾构隧道。
为了考虑管片之间接头的存在引起隧道纵向刚度的衰减，学者们进行了大量的研究［84-85］，其中日本学者Shiba提出的刚度等效方法由于概念清楚、计算方便，在工程中得到了大量应用，如图2-3所示。隧道纵向刚度等效包括抗弯刚度等效和抗剪刚度等效，其推导过程简述如下［79，85］。
图2-2 隧道变形模式
图2-3 管片环的应力应变图
（1）抗弯刚度等效。
为得到盾构隧道的纵向抗弯刚度，Shiba［85］做出了如下基本假设：
①平截面假设，即假定隧道横截面上每一处的变形量与离中性轴的距离成正比。
②弯矩荷载作用下，环缝处管片环受拉侧的拉力全部由螺栓承担，而受压侧的压力由管片单独承担。
③从安全性角度出发，认为环缝的影响范围为ls/2，且忽略轴力对环缝抗弯刚度的影响。
④将不均匀分布的纵向螺栓等效成沿环向连续分布，螺栓的平均线刚度为：kj=
，nb、Eb、lb和Ab分别为环缝处纵向螺栓的个数、螺栓的弹性模量、长度和横截面积。
根据变形协调条件，有：
根据轴力平衡条件，有：
式中：Ec为管片的弹性模量；εc为管片的压应变；εt为管片的拉应变；m=r sinφ为中性轴的高度；φ为中性轴对应的角度；φ为环缝接头的转角；ls为管片环的长度；δj为螺栓的张拉变形；t为管片的厚度；r为螺栓距隧道轴线的距离。
根据弯矩平衡条件有：
结合变形协调条件和轴力平衡条件可以解得中性轴位置：
结合变形协调条件和弯矩平衡条件有：
式中：
为管片环横截面对于隧道轴线的惯性矩。
因此，弹性状态下考虑环缝的隧道等效抗弯刚度为：
值得注意的是，Shiba给出的计算模型存在两方面的缺陷：一是未考虑轴向荷载对管片抗弯刚度的影响，在某种程度上会低估隧道结构的抗弯刚度；二是未考虑管片和螺栓的屈服造成抗弯刚度的衰减。这两方面对隧道纵向抗弯刚度的影响值得进一步研究。
由弯矩引起管片环之间最大张开量可以表示为：
（2）等效抗剪刚度。
Wu等［82］认为，在忽略环缝处管片与管片之间摩擦力的情况下，剪切荷载Q 作用下管片环总的剪切变形u 为接缝处螺栓的剪切变形uj和管片的剪切变形us之和：
根据剪切变形的定义，u、uj和us可以分别表示成：
式中：κb和κc分别为螺栓和管片的剪切系数，对于圆形截面，κb=0.9，对于圆环状截面，κc=0.5；Gb和Gc分别为螺栓和管片的剪切模量。
联立式（2-14），Wu等［82］得到了隧道的等效剪切刚度，对隧道的等效剪切刚度提出的计算公式更为全面地反映了相关影响因素，更为符合工程实际：
由剪切引起管片之间的错台量可以表示为：
