4.2.1　土体本构模型

4.2.1　土体本构模型

至今已提出了上百种土体本构模型，但每种本构模型都是反映土的某一类或几类现象。由于土体变形行为的复杂性，各模型均有其应用范围和局限性。目前土体主要有以下几类模型：弹性类模型，如线弹性模型、Duncan-Chang模型；弹-理想塑性类模型，如Mohr-Coulomb（MC）模型、Drucker-Prager（DP）模型；硬化类弹塑性本构模型，修正剑桥（MCC）模型、硬化土（HS）模型、小应变模型。

1）弹性本构模型

（1）线性弹性模型。

线弹性理论模型是一种最基本和简单的力学模型，线弹性材料本构关系服从广义胡克定律，即应力应变在加卸载时呈线性关系，卸载后材料无残余应变。采用2个参数描述应力应变关系，即弹性模量E 和泊松比ν。线弹性模型是最简单的应力—应变关系，但不能描述土体很多重要的特征，如塑性应变、剪胀性等。

（2）非线性邓肯-张模型。

该模型是一种建立在增量广义胡克定律基础上的非线性弹性模型，可以反映土体应力-应变关系的非线性，模型参数共有8个，其物理意义明确，可以通过常规三轴试验确定，便于在数值计算中运用，因而，得到了广泛的应用。

1963年，康纳（Kondner）［95］根据大量土的三轴试验的应力应变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验曲线，如图4-1所示，其中qa为偏应力极限值，qf为偏应力破坏值。关系式为：

式中：a，b为试验常数；对于常规三轴压缩试验，轴应变εa=ε1。

图4-1　三轴试验的应力应变典型关系

1970年，邓肯（Duncan）和张（Chang）［96］根据这一双曲线应力—应变关系提出了一种增量的弹性模型，也即邓肯-张（Duncan-Chang）模型。

邓肯-张模型的数学方程表达式较简单，模型反映了岩土材料的非线性弹性。但是邓肯-张模型仍然是弹性理论，不涉及任何塑性理论。它不能反映不同应力路径的影响，考虑岩土的压硬性和剪胀性、应变软化特性以及中间主应力对强度和变形的影响。

2）弹-理想塑性本构模型

（1）摩尔-库伦（MC）模型。

MC模型是一种弹-理想塑性模型，它综合了胡克定律和Coulomb破坏准则，假定土体在到达破坏强度前为线弹性，之后为完全塑性。破坏准则的公式形式为：

MC模型共有5个模型参数，即控制弹性行为的2个参数（弹性模量E、泊松比ν），和控制塑性行为的3个参数（有效黏聚力c、有效内摩擦角φ和剪胀角ψ）。

MC模型较为简单，参数物理意义清晰，能较好地描述土体的破坏行为。然而MC模型认为土体在达到抗剪强度之前的应力-应变关系符合胡克定律，不能合理地描述土体在破坏之前的实际变形机制。MC模型的加荷和卸荷模量相同，且无法考虑应力路径的影响，在模拟开挖卸荷等行为时可能产生较大的墙体水平位移和坑底回弹以及坑外土体沉降等，与实际情况有着明显的出入。MC模型应用较为广泛，但因Mohr-Coulomb屈服面在偏平面的屈服面为六角形，进行塑性分析时因角处塑性流动方向不唯一会引起收敛困难。

（2）Drucker-Prager（DP）模型。

Drucker和Prager［97］把不考虑σ2影响的Colomb屈服准则与不考虑静水压力P 影响的Mises屈服准则联系在一起，提出了推广的Mises理想塑性模型，即DP模型［3］。1957年，Drucker等［98］又提出了土塑性力学的加工硬化理论，认为静水压力会影响土的屈服，给原来的DP模型的开口端加上了一个半球形的“帽子”屈服面，这就是最早提出的关于帽盖模型的设想，为塑性加工硬化理论在土力学中的应用奠定了基础。

DP模型中屈服准则采用了广义的Mises屈服准则，其表达式为：

式中：J2为偏应力第二不变量；I1为应力张量第一不变量；参数α 和k 可由表征材料凝聚强度c摩擦角φ的屈服应力资料来确定。对于三轴压缩，参数α 和k 可表示为：

对于平面应变条件下，参数α 和k 与凝聚强度c摩擦角φ的关系为：

DP模型屈服准则所表示的屈服面，在主应力空间为一个圆锥面。DP模型对MC模型的屈服面函数做了适当的修改，采用圆锥形屈服面来代替MC模型的六棱锥屈服面，易于程序的编制和进行数值计算。然而，MC模型存在的缺陷同样存在于DP模型之中。

3）硬化类弹塑性本构模型

（1）修正剑桥（MCC）模型。

剑桥模型是英国Roscoe等在正常固结和弱超固结黏土试样的排水和不排水三轴试验基础上［99］，基于临界状态理论提出了剑桥（Cam-Clay）模型。此后，Roscoe和Burland进一步提出了修正剑桥（MCC）模型［100］，MCC 模型从理论上和试验都较好地阐明了土体的弹塑性变形特性，是应用最为广泛的软土本构模型之一。

CC模型假定软土在排水条件等向压缩下，比体积ν和ln p′形成一条直线，即原始压缩曲线，如图4-2所示。当卸载时试样回弹，比体积ν和ln p′成一条回弹曲线其中，有效平均应力p′定义为：

体积比ν可表示为：

原始压缩曲线可由如下方程表示：

回弹曲线可由如下方程表示；

图4-2　原始压缩曲线和回弹曲线

式中：λ 为ν-ln p′平面中原始压缩曲线的斜率；κ为ν-ln p′平面中回弹曲线的斜率；N为原始压缩曲线上在单位压力下的比体积；νs为回弹曲线卸载到单位压力是对应的比体积。

同时，土体在持续的剪应力作用下，体积变形和应力保持不变，但剪切变形不断增大而破坏。剪切试验是破坏点的轨迹即为临界状态线（CSL）。在ν-ln p′平面中CSL与原始压缩曲线平行，如图4-3所示。N 与Γ 的关系为：

式中：Γ 为临界状态线上在单位压力下的比体积。

图4-3　ν-ln p′平面中CSL

图4-4　修正剑桥模型在p′-q′面上的屈服面

MCC模型在p′-q′面上的屈服面如图4-4所示。

该模型基本概念明确，考虑了岩土材料静水压力屈服特性、剪缩性和压硬性，较好地适宜于正常固结黏土和弱超固结黏土，通过试验容易获得计算参数，便于在岩土工程中推广。然而修正剑桥模型有它的局限性，它的屈服面只是塑性体积应变的等值面，采用塑性体积应变作硬化参量，因而没有充分考虑剪切变形；只能反映土体剪缩，不能反映土体剪胀，该模型也未考虑土体刚度在小应变范围内的变化特性。

（2）硬化土（HS）模型。

HS模型由Schanz等［101］在Vermeer的双硬化模型基础上提出，该模型为等向硬化弹塑性模型，与邓肯-张模型相同，HS模型假设在三轴排水剪切试验中剪应力q 与轴向应变ε1成双曲线关系。不同的是HS模型采用塑性理论代替邓肯-张模型的弹性理论，且HS模型考虑了土体的剪胀性，模型中引入了盖帽屈服面，可以同时考虑土体的剪切硬化和压缩硬化。此外，HS模型引入加卸载模量Eur，考虑了基坑开挖过程中的卸荷影响。

模型共包含11个参数，其定义见表4-1。

表4-1　HS模型参数定义

续　表

标准的固结排水三轴试验屈服曲线可描述为：

式中：qa为剪切强度极限值；qf为偏应力破坏值；参数E50为主加载时50%极限荷载所对应的割线模量，它由下面的方程给出：

式中：为对应于参考约束力pref的参考割线模量。

依赖于参考应力的加卸载模量和切线模量可表示为：

HS模型遵守摩尔-库伦破坏准则，土体偏应力的破坏值qf可表示为：

HS模型为等向硬化弹塑性模型，可以同时考虑土体的剪切硬化和压缩硬化。并且HS模型引入加卸载模量Eur，考虑了基坑开挖过程中的卸荷影响，比较适用于分析基坑工程对周边环境的变形影响。但是其并未考虑土体刚度在小应变范围的变化特性，因此应用于敏感环境深基坑工程有一定的局限性。

（3）小应变硬化土模型。

Benz（2006年）在HS模型的基础上，结合修正的Hardin-Drnevich剪切模量关系式［102］，考虑了土体在小应变区域内的刚度随应变的非线性变化［103］。试验证明，小应变情况下的应力-应变曲线可以用双曲线模拟，Hardin-Drnevich模型给出的剪切模量关系式为：

其中，极限剪切应变γr定义为：

式中：τmax为破坏时的剪应力。

为了避免错误地使用较大的极限剪应变，建议使用割线模量Gs减小到初始值的70%时的剪应变γ0.7来替代γr。式（4-19）可改为：

Benz假定，G0与参考围压pref下的初始剪切模量具有如下的关系式：

与之类似，E0与参考围压pref下的初始弹性模量有如下关系：

HSS模型可以考虑软黏土的硬化特性，区分加载和卸载，且刚度依赖于应力历史和应力路径，同时考虑了土体在小应变区域内的刚度随应变的非线性变化特性。

土体初始模量G0的试验确定方法：通常采用动力的方法来测量，主要有现场动力测试和室内动力测试。现场动力测试方法有跨孔地震法（CHST）和动力触探法（SCPT）等。室内动力测试方法有：共振柱法、弯曲元法。共振柱试验是测定土最大剪切模量较为可靠的方法之一，其原理是使土样的一端受到轴向的或扭转的简谐振动的激振，激振产生的应力波传向试样的另一端并被反射回来，调节激振频率，使试样振端的应变幅达到最大值，也就是使试样系统发生共振，此时所测得的共振频率即为土试样系统的固有频率fn，可以通过式（4-23）计算出土样的动剪切模量Gd：

式中：Gd为试样的动剪切模量（MPa）；ρ 为试样的质量密度（kg/m3）；fnT为系统的扭转振动共振频率（Hz）；H 为试样固结后的高度（m）；βT 为扭转振动频率方程的特征值。

弯曲元法也被广泛认为是测定土的最大剪切模量有效方法之一，弯曲单元是压电陶瓷机电传感器，可以把电能转换成机械运动。把弯曲单元安装在三轴压力室的底座和上帽处，输入电流激发单元弯曲，放射出剪切波通过土样传递，剪切波速是Vs。波的传递导致接收单元振动，示波器捕捉到电流信号。通过源单元和接受单元之间剪切波传递时间确定剪切波速Vs。可用式（4-24）来计算非常小应变剪切模量Gmax：

式中：ρ为土样密度。

HSS模型除包含HS模型的全部参数（表4-1）外，还包含两个小应变参数和γ0.7，共计13个参数。其中，参考初始剪切模量可用参考初始弹性模量替代，，ν为土体泊松比。

4）土体本构模型的选用

通过上述关于土体本构模型的介绍可知，每种本构模型都是反映土的某一类或几类现象，想用一个普适的数学模型描述土体性状的全貌是很困难的。在选择地基模型时，应根据土的类别和工程特点进行有针对性的选择。相对而言，HSS模型不仅考虑软黏土的压硬性与剪胀性，区分加载与卸载刚度且其刚度依赖于应力历史和应力路径，而且它还考虑了小应变范围内土体剪切模量随应变增大而衰减的特点，适用于上海地区复杂敏感环境岩土工程的分析。下文重点介绍上海软土HSS模型的参数确定方法及应用，详见文献［104］。