2.2.3　隧道变形计算模型

2.2.3　隧道变形计算模型

为简化计算，假设地表荷载作用前隧道变形已经稳定、隧道与周围土体始终保持接触，并且不考虑土体固结、蠕变以及荷载随时间的变化。取隧道微元体单元进行受力分析（图2-4），可以得到如下两个平衡方程：

图2-4　隧道微元体单元受力分析

式中：Q 和M 分别为作用在隧道上的剪力和弯矩；q 为堆载引起的附加应力；Dt为隧道外径；p 为地基反力，由式（2-1）确定；w（x）为堆载引起的隧道沉降。

根据Timoshenko梁理论，内力与变形之间的关系为：

式中：θ为梁截面中性面的转动角度。

联立各式，可以得到地表竖向荷载下盾构隧道竖向位移w（x）的微分控制方程：

式（2-19）为4阶常微分方程，很难直接得到其显式解析解，故采用有限差分法将微分方程转换为代数形式的差分方程，通过编程求其数值解。先将隧道离散成n+5个微单元体，每个单元体的长度为l，如图2-5所示，-2、-1、n+1和n+2均为虚节点。假设隧道两端均自由，即无弯矩和剪力作用。因此，对于0节点和n 节点，分别满足边界条件：Q0=Qn=0，M0=Mn=0。根据差分原理，结合边界条件，式（2-19）可以改写为以挠度w（x）为未知数的向量—矩阵表达式：

式中，W=［w0w1......wn-1wn］T；S=［q0q1......qn-1qn］T；

图2-5　隧道离散分析

求解式（2-20）就可以得到地表荷载作用下隧道的纵向变形，然后联立式（2-13）、式（2-16），可以进一步得到隧道承受的弯矩、剪力、张开量和错台量［24］。