2.2.1 地基模型
在土与结构相互作用分析中，地基软土通常采用Winkler地基模型［68-69］、Pasternak地基模型［70］、Kerr地基模型［34，71］以及连续弹性体模型［72］进行模拟。Winkler地基模型将土体简化成一系列相互独立的土弹簧，不考虑土体之间的剪切力作用，采用Winkler地基模型会低估外部荷载作用下结构的变形［10］；与Winkler地基模型相比，Kerr地基模型包含三个待定参数，但参数的正确取值比较困难；连续弹性体模型虽然能够反映土体应力的扩散特性、结果相对精确，但是计算过程过于复杂，不便于工程应用。与上述三种计算模型相比，Pasternak模型属于双参数地基模型，在Winkler地基模型中的各个独立弹簧之间通过增加约束来反映土体的连续特性，从而较好地考虑土体与结构之间的相互作用，由于相关参数已经被学者广泛研究和应用，本书采用Pasternak地基模型来模拟隧道与土体之间的相互作用。
外荷载作用下，Pasternak地基模型中地基反力p 与土体位移w（x）之间的关系可以表示成：
式中：ks为地基反力系数；Gs为地基剪切刚度。
Vesic［73］在Biot的研究基础上，通过分析外荷载作用下置于地表上的一根梁的变形特性，得到了地基反力系数的经验公式kvesic，并被大量学者应用于土与结构相互作用分析中：
式中：Es为土体弹性模量；vs为土体弹性模量泊松比；Dt为地基梁的宽度；EI 为梁的抗弯刚度。
然而，对于具有一定埋置深度的梁而言，忽略土体对梁的约束作用使得Vesic经验公式在一定程度上会低估土体的地基反力系数［74-75］，从而过大地估计结构的变形。基于此，Liang等［76］、Zhang等［8］各自给出了考虑深度修正的地基反力系数经验公式。Liang等［9］分别采用这两种经验公式计算了堆载下隧道的变形响应，结果表明虽然他们的表达式有所不同，但计算结果基本一致。因此，为反映隧道的埋深，本书采用Zhang等［8］提出的经验公式来确定地基反力系数：
式中：η1为地基梁埋置深度修正系数；z0为埋置深度。
实际工程中，上海地区隧道的埋深与隧道直径之比通常会大于0.5，因此需要考虑对地基反力系数进行修正。
关于地基土体剪切刚度Gp的取值，大量学者已经进行过研究［71，77-78］，本书采用Tanahashi［77］的研究成果：
式中：H 为土体有效压缩层的厚度。徐凌［79］采用Mindlin解对外荷载作用下土体的附加应力沿深度的变形进行了详细的研究，结果表明位于基底2.5倍地基梁宽度处的附加应力已经衰减为外荷载的20%，而实际工程中基底2.5倍地基梁宽度以下土体的弹性模量一般明显大于直接位于基地下土体的弹性模量，因此建议有效压缩层的深度取为H=2.5Dt。