四、χ2检验
χ2检验（chi－square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法，可用于检验两个或两个以上率（或构成比）之间差别有无统计学意义，还可用于配对计数资料的比较。
（一）四格表资料的χ2检验
例8－7 欲比较西药与中药治疗慢性支气管炎的疗效，某医师将符合研究标准的110例慢性支气管炎患者随机分为两组，西药组86例，中药组24例，服药一个疗程，西药组显效35人，中药组显效18人，比较两组疗效差别有无统计学意义。
表8－4 中西药治疗慢性支气管炎的显效率比较
表8－4中35、51、18、6这四个格子的数据是整个表的基本数据，即用西药组和中药组的人群中显效和未显效人数，其余数据都是从这四个数据中计算出来的，故将这种资料称为四格表资料。
1．χ2检验的基本思想
χ2检验的基本公式为：
式中：χ2为卡方值；A为实际频数；T为理论频数；Σ为求和符号。
自由度为υ＝（行数－1）（列数－1）
四格表资料的自由度υ＝（2－1）（2－1）＝1。
从公式8－12可见，χ2值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。我们假设西药组和中药组的显效率相同，即两个样本率是从同一总体中取得的。如果检验假设H0成立，实际频数A与理论频数T相差不会很大，χ2值也很小，从理论上讲A－T＝0，χ2＝0；反之，如果两个率相差较大，实际频数与理论频数相差也大，χ2值大，这时检验假设成立的可能性就较小。所以当算得χ2＞χ2 0．05，ν时，我们就可拒绝检验假设，认为两个率的差别有统计意义。这就是χ2检验的基本思想。但χ2值的大小，除取决于A－T之差外，还取决于格子数（严格地说是自由度υ）的大小。从附录χ2界值表可知，自由度υ越大，χ2值越大。只有排除了这种影响，χ2值才能正确地反映A－T的吻合程度。χ2检验基本公式的应用条件是总例数n≥40，每个格子理论频数T≥5。
2．χ2检验的基本步骤
现用χ2检验基本公式检验例8－7，中西药治疗慢性支气管炎疗效的差别有无统计意义。
（1）建立假设，确定检验水准
H0：π1＝π2，中西药显效率相同；
H1：π1≠π2，中西药显效率不同；
α＝0．05。
（2）计算检验统计量
理论频数是按照检验假设的理论患病率48．18%推算的西药组和中药组理论上应该显效和未显效的人数，见表8－4括号内数值。如西药组显效理论频数T11＝86×48．18%＝41．44，意为按48．18%治愈率计算，在86名西药组中应该有41．44人显效，余此类推。
理论频数TRC：R表示行数，C表示列数，TRC表示第R行第C列的理论频数。理论频数可按下式求得：
式中：nR为与理论频数同行的合计数；nC为与理论频数同列的合计数；n为总例数。
T11＝（86×53）／110＝41．44
T12＝（86×57）／110＝44．56
T21＝（24×53）／110＝11．56
T22＝（24×57）／110＝12．44
由于行、列的合计数是固定的，所以当算得T11后，其他三个理论数可用同行或同列合计数相减而求得：
T12＝86－41．44＝44．56
T21＝53－41．44＝11．56
T22＝24－11．56＝12．44
将实际频数和理论频数代入公式8－12：
（3）确定P值，做出推断结论
查χ2界值表得
＝3．84，
＝6．63，本例χ2＝8．843 3＞6．63，P＜0．01。按α＝0．05水准拒绝H0，差别有统计学意义，可认为西药与中药治疗慢性支气管炎的疗效有差别，中药组的显效率高于西药组。
3．四格表专用公式 四格表专用公式是通过基本公式χ2＝
推导出来的，在实际工作中，专用公式的计算过程比基本公式更简单。
式中：a、b、c、d分别是四格表中的4个实际数；n表示两样本的总例数，n＝a＋b＋c＋d。将例8－7中数字代入公式8－14：
计算结果和用χ2检验基本公式一样。
4．四格表资料χ2检验的校正 当样本总例数n≥40，但有任一格子的理论频数是1≤T＜5时，需用下面的校正公式，否则计算出来的χ2值可能偏大，使原本差别无统计意义的结果反而出现差别有统计意义，从而出现判断错误。
基本公式的校正公式为：
专用公式的校正公式为：
例8－8 某医师欲比较胞磷胆碱与神经节苷脂治疗脑血管疾病的疗效，将78例脑血管疾病患者随机分为两组，结果见表8－5。问两种药物治疗脑血管疾病的有效率是否相等？
表8－5 两种药物治疗脑血管疾病有效率比较
本例总例数大于40，且有一个格子的理论数1≤T＜5，故需要用校正公式计算χ2值。计算步骤和前面相同，将表中数字代入公式8－16计算：
查χ2界值表得
＝3．84，本例χ2＝3．14＜3．84，P＞0．05。按α＝0．05水准不拒绝H0，不能认为两种药物治疗脑血管疾病的有效率不等。若本例资料不校正，χ2＝4．35，P＜0．05，结论与之相反。
当四格表资料中有一个格子理论频数小于1，或总例数小于40时，应用四格表资料的确切概率法，直接计算其概率值P（参阅有关统计专著）。
（二）配对资料的χ2检验
配对计数资料设计方法是对同一试验对象用两种不同的处理方式或将观察单位按某些重要特征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机给予两种不同处理方法，观察处理结果。配对设计的分类变量资料如表8－6所示，a、b、c、d分别表示四种处理结果，其中a、d表示两种方法结果相同的对子数，b、c表示两种方法结果不同的对子数。可用b和c来推断两个样本所代表的总体率或构成比有无差别。
表8－6 配对设计的分类变量资料示意表
当b＋c≥40时，
当b＋c＜40时，需要用下面的连续性校正公式：
式中1为连续性校正数。
例8－9 设有132份食品标本，把每份标本一分为二，分别用两种不同的检验方法作沙门菌检验，检验结果见表8－7，试比较两种检验方法的阳性结果是否有差别。(https://www.daowen.com)
表8－7 两种检验结果比较
从上表可看出，a和d是两种检测方法结果一致的情况，对于比较两种检测方法有无差别无意义；b和c是两种方法检测结果不一致的情况，配对资料的χ2检验只考虑b和c对结果的影响。
本配对资料的χ2检验步骤如下：
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0：两种检测方法效果无差别；即b＝c H1：两种检测方法效果有差别；即b≠c
α＝0．05。
（2）计算χ2值
本例中b＝10，c＝31，b＋c＝41≥40，故用公式8－17计算χ2值
（3）确定P值
查χ2界值表，χ20．05，1＝3．84，χ2＝10．76＞χ20．05，1＝3．84，则P＜0．05，按照α＝0．05的检验水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义。即两种检测方法的检出率不同，甲法检出率高于乙法。
（三）行×列表资料的χ2检验
当行数和（或）列数超过2时，通常称为行×列表资料，简记为R×C表。常用于多个率（或构成比）的差异性的比较。行×列表的计算常采用其专用公式：
υ＝（行数－1）×（列数－1）
式中：n为总例数；A为每个格子的实际数；nR为与A相应的行合计数；nC为与A相应的列合计数。
1．多个样本率的比较
例8－10 研究复方哌唑嗪对高血压病治疗效果的临床试验并与复方降压片和安慰剂作比照，结果见表8－8，问三种药物效果有无差别？
表8－8 三种药物治疗高血压病的有效率比较
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0：π1＝π2＝π3，即三种药物的总体有效率相同；
H1：π1、π2、π3不等或不全相等，即三种药物的总体有效率不同或不全相同；
α＝0．05。
（2）计算检验统计量χ2值
（3）确定P值，做出统计推断
＝5．99，本例χ2＝32．74＞
＝5．99，则P＜0．05，按照α＝0．05水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，即三种药物的总体有效率有差别。2．多个构成比的比较
例8－11 某医师在研究血管紧张素I转化酶（ACE）基因I／D多态与2型糖尿病肾病（DN）的关系时，将249例2型糖尿病患者按有无糖尿病肾病分为两组，资料见表8－9，问两组2型糖尿病患者的ACE基因型总体分布有无差别？
表8－9 DN组与无DN组2型糖尿病患者ACE基因型分布的比较
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0：两组2型糖尿病ACE基因型的总体构成比相同；
H1：两组2型糖尿病ACE基因型的总体构成比不同；
α＝0．05。
（2）计算检验统计量χ2值
查χ2界值表得0．01＜P＜0．05，按α＝0．05的水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义。可以认为DN组与无DN组的2型糖尿病患者的ACE基因型分布不同。
3．行×列表资料χ2检验的注意事项
（1）理论频数不宜太小：一般不宜有1／5以上格子的理论频数小于5，或有一个理论频数小于1。对理论数太小有三种处理方法：①最好增加样本含量以增大理论频数；②删去理论频数太小的行和列；③将理论频数较小的行或列与邻行或邻列合并以增大理论频数。但后两法可能会损失信息。
（2）当多个样本率（或构成比）比较的检验：如果结论为拒绝检验假设H0，接受H1，只能认为各总体率（或总体构成比）之间不全相等，但不能认为彼此间都不相等。
（刘 凌）
一、选择题
1．某医院某年住院病人中肺癌患者占5%，则5%是 （ ）
A．发病率 B．相对比 C．构成比 D．绝对数 E．患病率
2．经调查得知甲乙两地的冠心病粗死亡率为40／10万，按年龄构成标化后，甲地冠心病标化死亡率为45／10万；乙地为38／10万，因此可以认为 （ ）
A．甲地年龄别人口构成较乙地年轻
B．乙地年龄别人口构成较甲地年轻
C．甲地冠心病的诊断较乙地准确
D．甲地年轻人患冠心病较乙地多
E．乙地冠心病的诊断较甲地准确
3．四格表χ2检验中，χ2＜χ20．05，1，可以认为 （ ）
A．两总体率不同 B．不能认为两总体率不同
C．两样本率不同 D．不能认为两样本率不同
E．以上都不对
4．用病理检查和CT检查对50名疑似恶性肿瘤患者做检查，病理检查有32名阳性，CT检查有26名阳性，两种方法均阳性者20名，两种方法检查均为阴性的人数是 （ ）
A．8 B．12 C．18 D．24 E．30
二、计算题
1．对100名胃癌术后患者随机等分为两组分别进行中西医康复治疗，结果中医治疗组有32人病情稳定，西医治疗组有41人病情稳定，试分析胃癌中西医的康复治疗效果是否有差异。
2．某研究者欲比较心电图和生化测定诊断低钾血症的价值，分别采用两种方法对79名临床确诊的低钾血症患者进行诊断，结果如下表，问两种方法的监测结果有无差别。
表检测8－1 两种方法诊断低钾血症的结果
