四、承载力计算
（一）预应力作用分项系数γp
1.考试要求
（1）《考试大纲》的要求：一级掌握，二级了解
（2）“试题”回顾
【试题7.4.6】 预应力混凝土结构设计（2006年）
下述关于预应力混凝土结构设计的观点，其中何项不妥？
（A）对后张法预应力混凝土框架梁及连续梁，在满足纵向受力钢筋最小配筋率的条件下，均可考虑内力重分布
（B）后张法预应力混凝土超静定结构，在进行正截面受弯承载力计算时，在弯矩设计值中次弯矩应参与组合
（C）当预应力作为荷载效应考虑时，对承载能力极限状态，当预应力效应对结构有利时，预应力分项系数取1.0；不利时取1.2
（D）预应力框架柱箍筋应沿柱全高加密
2.《混凝土结构设计规范》规定和算例
《混凝土结构设计规范》规定
10.1.2 预应力混凝土结构设计应计入预应力作用效应；对超静定结构，相应的次弯矩、次剪力及次轴力等应参与组合计算。
对承载能力极限状态，当预应力作用效应对结构有利时，预应力作用分项系数γp应取1.0，不利时γp应取1.2；对正常使用极限状态，预应力作用分项系数γp应取1.0。
对参与组合的预应力作用效应项，当预应力作用效应对承载力有利时，结构重要性系数γ0应取1.0；当预应力作用效应对承载力不利时，结构重要性系数γ0应按本规范第3.3.2条规定。
预应力作用分项系数γp的算例见【例7.4.13】。
（二）受拉承载力
1.考试要求
（1）《考试大纲》的要求：一级掌握，二级了解
（2）“试题”回顾：暂缺
2.《混凝土结构设计规范》规定和算例
《混凝土结构设计规范》规定：
6.2.22 轴心受拉构件的正截面受拉承载力应符合下列规定：
N≤fyAs+fpyAp （6.2.22）
式中 N——轴向拉力设计值；
As、Ap——纵向普通钢筋、预应力筋的全部截面面积。
【例7.4.10】 24m预应力混凝土屋架下弦杆的计算
条件：下弦杆截面尺寸为280mm×180mm；混凝土强度等级为C60；预应力筋为钢绞线1×7标准型
S12.7，fpy=1320N/mm2；普通钢筋，按构造要求配置，4
12（As=452mm2）；杆件内力，永久荷载标准值产生的轴向拉力NGk=820kN，可变荷载标准值产生的轴向拉力NQk=320kN，可变荷载的组合值系数ψc=0.7。
要求：按正截面受拉承载力确定预应力筋的数量。
答案：杆件截面的轴向拉力设计值N应取可变荷载效应控制的组合与永久荷载效应控制的组合之较大值。
由可变荷载效应控制的组合：
N=1.2MGk+1.4NQk=1.2×820+1.4×320=1432kN
由永久荷载效应控制的组合：
N=1.35NGk+1.4ψcNQk=1.35×820+1.4×0.7×320=1420.6kN
所以，轴向拉力设计值为 N=1432kN
根据《混凝土结构设计规范》6.2.22条式（6.2.22）可得：
采用2束1×7标准型低松弛钢绞线，每束5
S12.7，则Ap=2×5×98.7=987mm2。
（三）受弯承载力
1.考试要求
1）《考试大纲》的要求：一级掌握，二级了解
2）“试题”回顾：暂缺
2.《混凝土结构设计规范》规定和算例
《混凝土结构设计规范》规定：
6.2.7 纵向受拉钢筋屈服与受压区混凝土破坏同时发生时的相对界限受压区高度ξb应按下列公式计算：
2 预应力混凝土构件：
式中 σp0——受拉区纵向预应力筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力筋应力，按
本规范公式（10.1.6-3）或公式（10.1.6-6）计算。
6.2.10 矩形截面或翼缘位于受拉边的倒T形截面受弯构件，其正截面受弯承载力应符合下列规定（图6.2.10）：
图6.2.10 矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算
混凝土受压区高度应按下列公式确定：
α1fcbx=fyAs-fy′As′+fpyAp+（σ′p0-f′py）Ap′ （6.2.10-2）
混凝土受压区高度尚应符合下列条件：
x≤ξbh0 （6.2.10-3）
x≥2a′ （6.2.10-4）
式中 Ap、Ap′——受拉区、受压区纵向预应力筋的截面面积；
σ′p0——受压区纵向预应力筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力筋应力；
as′、ap′——受压区纵向普通钢筋合力点、预应力筋合力点至截面受压边缘的距离；
a′——受压区全部纵向钢筋合力点至截面受压边缘的距离，当受压区未配置纵
向预应力筋或受压区纵向预应力筋应力（σ′p0-f′py）为拉应力时，公式
（6.2.10-4）中的a′用as′代替。
【例7.4.11】 使用阶段正截面承载力计算
条件：某预应力混凝土简支梁跨度和截面尺寸、配筋如图7.4.7所示，采用先张法生产，混凝土强度等级为C50，预应力筋采用螺旋肋消除应力钢丝
H9（fptk=1570N/mm2），非预应力筋采用HRB400。放张时强度达100%，裂缝控制为二级。
材料：
C50混凝土：ft=1.89N/mm2，fc=23.1N/mm2
预应力筋（螺旋肋消除应力钢丝）：fptk=1570N/mm2，fpy=1110N/mm2，fpy′=410N/mm2，Ep=2.05×105N/mm2
非预应力筋（HRB400）：fyv=360N/mm2
几何尺寸：h0=h-ap=900-63.5=836.5mm，A0=12174.3mm2
Ap=14×63.62=890.68mm2，Ap′=3×63.62=190.86mm2
张拉控制应力：σcon=σ′con=0.75fptk=0.75×1570=1177.5N/mm2
图 7.4.7
预应力损失：σl=332.98N/mm2，σl′=217.37N/mm2
跨中弯矩：M=627.42kN·m
要求：验算受弯承载力。
答案：已知完成全部预应力损失后预应力筋Ap、Ap′的应力为
σp0=σcon-σl=1177.5-332.98=844.52N/mm2
σ′p0=σcon-σl′=1177.5-217.37=960.13N/mm2
（1）求界限相对压区高度
根据《混规》第6.2.7条式（6.2.7-3）：
（2）确定T形截面类型：
σp′=σ′p0-f′py=960.13-410=550.13N/mm2（Ap′受拉）
fpyAp=1110×890.68=988655N
α1fcbf′hf′-σp′Ap′=1.0×23.1×360×（80+50/2）-550.13×190.86=768182N
固为fpyAp＞α1fcbf′hf′-σp′Ap′，属第二类T形截面。
（3）确定压区高度
根据《混规》第6.2.11条式（6.2.11-2）：
（4）计算受弯承载力：
根据《混规》第6.2.10条式（6.2.10-1）：
所以正截面受弯承载力满足要求。
（四）受剪承载力
1.考试要求
1）《考试大纲》的要求：一级掌握，二级了解
2）“试题”回顾：暂缺
2.《混凝土结构设计规范》规定和算例
《混凝土结构设计规范》规定：
6.3.4 当仅配置箍筋时，矩形、T形和I形截面受弯构件的斜截面受剪承载力应符合下列规定：
V≤V′cs+Vp （6.3.4-1）
Vp=0.05Np0 （6.3.4-3）
式中 Vcs——构件斜截面由混凝土和箍筋的受剪承载力设计值；
Vp——由预加力所提高的构件受剪承载力设计值；
Np0——计算截面上混凝土法向预应力等于零时的预加力，按本规范第10.1.13条计算；当Np0大于0.3fcA0时，取0.3fcA0，此处，A0为构件的换算截面面积。
注：1.对预加力Np0引起的截面弯矩与外弯矩方向相同的情况，以及预应力混凝土连续梁和允许出现裂缝的预应力混凝土简支梁，均应取Vp为0；
2.先张法预应力混凝土构件，在计算预加力Np0时，应按本规范第7.1.9条的规定考虑预应力筋传递长度的影响。
【例7.4.12】 使用阶段斜截面承载能力计算
条件：同【例7.4.11】，支座截面剪力V=250.8kN，箍筋选用HRB400级。
要求：配置箍筋。
答案：已知完成全部预应力损失后预应力钢筋Ap、Ap′的应力为
σp0=σcon-σl=1177.5-332.98=844.52N/mm2
σ′p0=σcon-σl′=1177.5-217.37=960.13N/mm2
（1）截面尺寸验算
因为
，且：
0.2βcfcbh0=0.2×1.0×23.1×80×836.5=309170N=309.17kN＞V=250.8kN
因此，截面尺寸满足要求。
（2）配置抗剪钢筋
Np0=σp0Ap+σ′p0Ap′=844.52×890.68+960.13×190.86=935447N=935.447kN
因为Np0＞0.3fcA0=0.3×23.1×121743=843679N=843.679kN，所以取Np0=843.679kN
又有：Vp=0.05Np0=0.05×843.679=42.18kN
则由式
有：
选双肢
8箍筋，Asv1=50.3mm2，则有：
，取s=250mm
所以配置双肢箍
8@250即可满足使用阶段斜截面承载力要求。
（五）锚头下的局部受压承载力
1.考试要求
1）《考试大纲》的要求：一级掌握，二级了解
2）“试题”回顾：暂缺
2.《混凝土结构设计规范》规定和算例
《混凝土结构设计规范》规定：
6.6.1 本条对配置间接钢筋的混凝土结构构件局部受压区截面尺寸规定了限制条件，其理由如下：
4 在预应力锚头下的局部受压承载力的计算中，按本规范第10.1.2条的规定，当预应力作为荷载效应且对结构不利时，其荷载效应的分项系数取为1.2。
【例7.4.13】 锚具下的局部受压承载力
条件：某21m预应力混凝土层架下弦杆，如图7.4.8所示。截面尺寸为260mm×180mm，孔道2φ50。混凝土强度等级为C40，fc=19.1N/mm2。预应力钢筋采用消除应力钢丝两束，每束6
H9，Ap=763mm2，fptk=1470N/mm2，fpy=1040N/mm2。间接钢筋，HPB300，
8（As=50.3mm2），fyv=270N/mm2。σcon=0.75fptk=0.75×1470=1103N/mm2。
要求：施工阶段放松预应力钢筋时锚具下局部受压的承载力验算。
答案：（1）计算参数
图 7.4.8
采用JM12锚具，直径为100mm，垫板厚20mm。
锚具下混凝土局部受压面积Al可按压力Fl从锚具边缘在垫板中按45°扩散的面积计算。为简化计算，在计算混凝土局部受压面积Al时，近似可按图7.4.8两实线所围的面积代替两个圆面积。
Al=260×（100+2×20）=36400mm2
锚具下混凝土局部受压底面积
Ab=260×（140+2×70）=72800mm2
混凝土局部受压净面积
Aln=36400-2×π×502/4=32473mm2
（2）局部压力设计值
根据《混规》第10.1.2条“对承载能力极限状态，当预应力作用效应对结构有利时，预应力作用分项系数γp应取1.0，不利时γp应取1.2”；局部压力设计值等于预应力筋锚固前在张拉端的总拉力，此处应考虑预应力作用分项系数γp=1.2。
Fl=1.2σconAp=1.2×1103×763=1009906N=1009.9kN
（3）局部受压区截面尺寸验算
根据《混规》式（6.6.1-2）计算：
根据《混规》第6.6.1条，式（6.6.1-1）：
1.35βcβlfcAln=1.35×1×1.41×19.1×32473N=1181kN
Fl=1009.9kN＜1.35βcβlfcAln=1181kN（满足要求）
（4）局部受压承载力计算
间接网片采用4片
8方格焊接网片，间距s=50mm，l1=240mm.l2=260mm
Acor=（240-8）×（260-8）=58464mm2＜Ab=72800mm2
且Ab=72800mm2＞Al=36400mm2
根据《混规》式（6.6.1-2）计算：
根据《混规》第6.6.3条式（6.6.3-2）计算横向钢筋网的体积配筋率：
ρv=（nAs1l1+nAs2l2）/（Acors）=（4×50.3×240+4×50.3×260）/（58464×50）=0.034
根据《混规》第6.6.3条式（6.3.3-1）验算局部受压承载力：
0.9（βcβlfc+2αρvβcorfyv）Aln=0.9（1.0×1.41×19.1+2×1.0×0.034×1.27×270）×32473=1468.5kN＞Fl=1009.9kN （满足要求）