平面汇交力系的合成与平衡
【考点分析】
1.考试情况
2.重点分析：（1）平面汇交力系合成的几何法及解析法；
（2）平面汇交力系的平衡计算。
3.教学建议
考生在复习本专题时，应重点关注平面汇交力系合成的几何法及解析法、平面汇交力系平衡条件的应用，能通过平衡条件准确计算未知量。
【例题精讲】
题1图
一、选择题
1.如题1 图所示平面汇交力系中，已知F1=10kN，F2=6kN，F3=5kN，该力系的合力为（ ）。
A.0
B.3kN 竖直向下
C.3kN 竖直向上
D.5kN 水平向右
【解析】 该题考查知识点为平面汇交力系的合成。本题需要应用合力投影定理解答，即合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.如图所示，一物体受作用于质心O 的四个力F1，F2，F3，F4 作用，则物体所处的状态是（ ）。
A.静止不动 B.移动但不转动
C.转动但不移动 D.既转动又移动
【解析】 首先F1，F2，F3，F4 构成的是一个平面汇交力系，根据平面汇交力系合成的几何方法，F1，F2，F3 依次首尾相连，F4 则从F1 的起点指向F3 的终点，则F1，F2，F3 这三个力的合力即等于F4，因此四个力的合力等于2F4，合力的作用点在质心O 点。根据“力对物体的作用效果：一个不通过质心的力既可以使物体转动又可以使物体移动，通过质心的力只能使物体移动”，可知本题的结论。
【答案】 B
二、计算题
1.如题1图（a）所示，A、B 是两个大小、重量完全相同的球，光滑的木板CD 用铰固定在光滑的墙上，板的D 端用绳子水平拉住，并使板与墙之间的夹角θ=60°，问球A 和球B 对板的压力是否一样大？
【解析】 本题考查平面汇交力系的平衡计算。解题过程是先以B 球为研究对象，计算B球对A 球的作用力，再与A 球为研究对象。
【答案】 解（1）以球B 为研究对象，受力图如（b）图所示。
题2图
题1图
§2．1．1 平面汇交力系的合成
课堂练习2－1－1
一、选择题
1.平面汇交的两个力，其大小相等且与其合力一样大，此二力之间的夹角为（ ）。
A.0° B.90° C.120° D.180°
2.一物体受到两个共点力的作用，无论是在什么情况下，其合力（ ）。
A.一定大于任意一个分力
B.至少比一个分力大
C.不大于两个分力大小的和，不小于两个分力大小的差
D.随两个分力夹角的增大而增大
3.平面内三个共点力的大小分别为3N、9N 和6N，它们的合力的最大值和最小值分别为（ ）。
A.24N 和3N B.18N 和0N C.6N 和6N D.12N 和9N
4.两直角刚杆AC、CB 支承如题4 图，在铰C 处受力P→作用，则A、B 两处约束反力与x 轴正向所成的夹角α、β分别为：α=（ ），β=（ ）。
A.30° B.45°
C.90° D.135°
5.用解析法求平面汇交力系的合力时，若∑X＞0，∑Y＜0，则此时合力在第（ ）象限，合力指向（ ）方。
A.一；右上 B.二；左上
C.三；左下 D.四；右下
二、判断题
1.应用力的多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。 （ ）
2.当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。 （ ）
3.当力与坐标轴平行时，力的投影与力的大小相等。 （ ）
4.若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。 （ ）
5.合力投影定理就是合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的矢量和。（ ）
三、填空题
1.在平面力系中，如果各力的作用线都_____________，则这样的力系称为平面汇交力系。
2.进行力系的合成和平衡计算的基础是力在坐标轴上的投影，这种代数方法通常称为_________________。
3.当从投影的起点到终点的指向与坐标轴的正向一致时，投影取___________，与坐标轴的正向相反时取___________。
4.平面汇交力系的合成方法有_________________和_________________。
题4图
5.如题5图所示，F 在x 轴上的投影为Fx=___________，在y 轴上的 投 影 为Fy=_______________，α 角 为F 与x 轴 所 夹的_______________。
6.力的分力是_________________量，力的投影是__________________量。
题5图
7.在平面汇交力系中的一群力可由力的 _________________规则求合力，按相应的顺序首位相接，最后的封闭边即为 _________________。
8.合力投影定理即为_________________在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的_________________。
9.三个共面力汇交于O 点，如题9图所示，则该平面汇交力系的合力大小为_________kN。
题9图
题10图
10.链杆AC 的内力为20kN，如题10 图所示，已知F=40kN，则绳索CB 的角度值α为________。
四、计算题
1.如题1 图所示，试求各力在x，y 轴上的投影。已知F1=200N，F2=120N，F3=F4=100N。
题1图
2.在某平面内有四个共点力，其方向如题2 图所示。已知F1=100N，F2=200N，F3=240N，F4=280N，试求该力系的合力。
题2图
课后练习2－1－1
一、选择题
1.某力在某轴上的投影的绝对值等于该力的大小，则该力在另一任意与之共面的轴上的投影为（ ）。
A.一定等于零 B.不一定等于零
C.一定不等于零 D.仍等于该力的大小
2.两个力在同一坐标轴上的投影相等，则这两个力的关系是（ ）。
A.一定相等 B.一定不相等
C.不一定相等 D.以上说法都不对
3.平面汇交力系合成的结果是（ ）。
A.一个力偶 B.一个合力
C.一个合力和一个力偶 D.无法确定
4.刚体（a）和（b）在某平面内受共点的四个力作用，如题4图所示，刚体（a）、（b）的合成结果是（ ）。
A.F4、F1 B.-F1、F2 C.2F1、0 D.0、0
5.题5图所示的力的多边形表示的是由F1、F2、F3、F4、F5 等组成的平面汇交力系，其合力为（ ）。
A.F2 B.F3 C.0 D.F4
6.如题6图所示，共点两分力大小F1=F2=F，它们之间夹角为60°时，合力为R，当它们之间夹角为90°时合力为（ ）R。
题4图
题5图
题6图
二、判断题
1.各力的作用线交于一点的力系称为平面汇交力系。 （ ）
2.平面汇交力系的合力为R，则R 对物体的作用效应与各分力对物体的作用效应相同。（ ）
3.如果某力在两坐标轴上的投影均为已知，则力的大小和方向唯一确定。 （ ）
4.应用解析法求某平面汇交力系的合力R，则R 的方向由两投影的正负号来确定。 （ ）
5.力沿着坐标轴方向分力的大小等于该力在此坐标轴上的投影。 （ ）
三、填空题(https://www.daowen.com)
1.力多边形的封闭边代表_________________，应用力的多边形法则求合力时，如按不同的顺序画各分力，则力多边形的形状 ___________，力多边形的封闭边___________，合力的大小___________，方向___________。
2.平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形___________。
3.平面汇交力系合成的结果是一个___________。合力的大小和方向等于原力系中各力的___________，合力的作用点在_________________。
4.ΣX=0表示力系中所有的力在___________轴上的投影的___________为零。
5.力垂直于某轴，则力在该轴上投影为___________。
6.在用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，所求得的结果___________。
7.已知两共点力的大小分别是10kN 和6kN，则它们合力的最大值是 __________，最小值是__________。
8.如题8图所示，力F 在x 轴上的投影是线段___________，在y轴上的投影是线段 ___________；力F 在x 轴分力的大小是线段___________，在y轴上的分力的大小是线段___________。
题8图
四、计算题
1.已知F1=50N，F2=60N，F3=90N，F4=80N，各力的方向如题1图所示，试分别求各力在x 轴和y 轴上的投影。
题1图
2.已知F1=F2=F3=200N，F4=100N，各力的方向如题2图所示，试用解析法求该力系的合力。
题2图
3.如题3图所示为一固定圆环，受三根绳索的拉力，已知FT1=100N，FT2=200N，FT3=150N，拉力的方向如图所示。试用解析法求此三根绳索的合力。
题3图
4.已知F1=400N，F2=1000N，F3=100N，F4=500N，各力的方向如题4图所示，试用解析法求该力系的合力。
题4图
§2．1．2 平面汇交力系的平衡
课堂练习2－1－2
一、选择题
1.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的（ ）为零。
A.合力 B.合力偶 C.主矢 D.主矢和主矩
2.平面汇交力系的独立平衡方程的数目为（ ）。
A.6 B.4 C.3 D.2
3.在一条绳索中间挂一很小的重物，两手握紧绳索两端往两边拉，若不计绳索的自重和不
考虑绳索的拉断，在水平方向能将绳索拉成（ ）。
A.水平 B.直线
C.不可能拉成直线 D.以上都不正确
4.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是各力在两个坐标轴上投影的代数和（ ）。
A.一个大于0，一个小于0 B.都等于0
C.都小于0 D.都大于0
5.利用平衡条件求未知力的步骤，首先应（ ）。
A.取分离体 B.作受力图 C.列平衡方程 D.求解
二、判断题
1.一个汇交力系如果不是平衡力系，则必然有合力。 （ ）
2.在应用平面汇交力系的平衡方程解题时，所选取的两根投影轴必须相互垂直。 （ ）
3.平面汇交力系平衡的几何条件是力的多边形自行封闭。 （ ）
4.当平面汇交力系平衡时，选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。 （ ）
5.用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，投影轴的方位不同，平衡方程的具体形式也不
同，但计算结果不变。 （ ）
三、填空题
1.平面汇交力系平衡的几何条件是_________________，解析条件是_________________。
2.用解析法解平面汇交力系平衡问题的步骤：___________、___________、____________。
3.平面汇交力系有___________个独立的平衡方程，即ΣFx=___________，ΣFy=___________；可求解_________________个未知量。
4.两直角刚杆ABC、DEF 在F 处铰接，支承如题4图所示。若各杆重不计，则当垂直BC 边的力F从B 点移动到C 点的过程中，A 处约束力的作用线与AB 方向的夹角从_________度变化到_________度。
题4图
四、计算题
1.起吊时构件在图示中的位置平衡，构件重W=30kN。试用解析法求钢索AB，AC 的拉力。
题1图
2.已知F=10kN，A，B，C 三处都是铰接，杆的自重不计，求图示三角支架各杆所受的力。
题2图
课后练习2－1－2
一、选择题
1.题1图示两个作用在三角形板上的平面汇交力系图（a）汇交于三角形板中心，图（b）汇交于三角形板底边中点。如果各力大小均不等于零，则图（a）所示力系（ ），图（b）所示力系（ ）。
A.可能平衡 B.一定不平衡 C.一定平衡 D.不能确定
题1图
2.一个不平衡的平面汇交力系，若满足ΣFx=0的条件，则其合力的方向是（ ）。
A.与x 轴垂直 B.与x 轴平行
C.与y 轴垂直 D.通过坐标原点O
3.三铰结构由杆AC，BC 和3个铰链A，B，C 组成，如题3所示。已知杆长为L，各杆自重不计，F 作用在铰C 上，当与AB 的夹角θ 增大时，AC 和BC 两杆所受的力（ ）。
A.减小 B.增大
C.不变 D.与θ角的变化无关
题3图
题4图
4.简支刚架在C 处受一水平力P 作用，如题5图所示。不计刚架本身自重，则铰A 的合力方向是（ ）。
A.沿AC 竖直向上 B.沿BC 指向右上
C.沿AB 水平向右 D.沿DA 指向左下
5.应用平面汇交力系的独立平衡方程，最多可以求解的未知量个数是（ ）。
A.6 B.4 C.2 D.1
6.下列关于平面汇交力系平衡的表述正确的是（ ）。
A.平面汇交力系平衡的充要条件是合力和合力偶都等于零
B.平面汇交力系平衡的充要条件是合力等于零
C.平面汇交力系平衡的解析条件是力系中所有各力在坐标轴上的投影的矢量和分别等于零
D.平面汇交力系有三个独立的平衡方程，应用这些平衡方程可以求解三个未知量。
题1图
二、判断题
1.题1图所示刚体的三点A，B，C 上分别作用有三个力F1，F2，F3，这三个力恰好构成一个三角形，则此刚体必能保持平衡。 （ ）
2.平面汇交力系平衡时，力多边形中各力首尾相接，但在作力多边形时各力的顺序可以不同。 （ ）
3.应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，为简化计算，坐标系中的某一轴最好与一未知力的作用线重合。 （ ）
4.列平衡方程求解未知力时，若求出的未知力为负值，则说明该力的实际方向与坐标轴的方向相反。 （ ）
5.平面汇交力系平衡的方程时ΣFx=0，ΣFy=0，ΣMo（F）=0。 （ ）
三、填空题
1.当坐标轴x，y 相互不平行，也相互不垂直时，若某平面汇交力系满足∑X=0，∑Y=0，则该平面汇交力系必是___________力系。
2.作用于某一物体同一点上的两个力，F1=5N，F2=12N；当两个力的夹角___________，它们的合力为7N，当两力的夹角___________，它们的合力为17N。
3.ΣFy=0表示力系中所有的力在___________轴上的投影的___________为零。
4.应用平面汇交力系平衡的几何条件，根据矢量顺序规则和自行封闭的特点可以求解___________个未知量，确定未知力的___________和 ___________。
四、计算题
1.如题1图所示的压榨机ABC，在C 铰链处作用一铅垂力F，使B 块压紧物体D。若已知长度l，h，不计各构件自重和摩擦，求物体D 受到的压力。
题1图
2.如题2图所示，重物D 重为F。若不计其他各构件的重量，并忽略滑轮的大小和摩擦，试求支座A，C 的约束力。
题2图
3.如题3图所示，压榨机的连杆OA，AB 重忽略不计，与铅垂线的夹角均为α，各铰链均光滑。已知铰链A 处作用水平力P，试求压板B 对工件的压紧力Q。
题3图
4.如题4图所示，铰接四连杆机构CABD 的CD 边固定，在铰链A 上作用一力Q，∠BAQ=45°，在铰链B 上作用一力R，∠ABR=30°，这样使四边形CABD 处于平衡。已知∠CAQ=90°，∠DBR=60°，求力Q 与R 的关系。杆重忽略不计。
题4图