5.2.3  三相交流电路的空间矢量表示

5.2.3 三相交流电路的空间矢量表示

E₁为有效值，一般的三相对称交流电压由式（5.6）给出。

图5.11 坐标空间中空间矢量逆变换的概念

对式（5.6）进行坐标变换，表示为α-β坐标的物理量，如式（5.7）所示^[8]。

进一步，可以变换为式（5.8）所示的极坐标物理量。

尽管这是一定长度的矢量以一定的角速度ω在空间旋转，但这却是时变矢量，称之为电压空间矢量。当然，本方法可以处理矢量长度及速度为时变的矢量。另外，时不变的矢量特别用大写粗字表示，例如，像E₁=E_1α+jE_1β=E₁e^jθ一样进行表示。于是，利用式（5.4）也可以直接计算式（5.9）。

其次，考虑连接电压空间矢量和电流空间矢量的阻抗矩阵，对三相电路的方程式进行矩阵表示，可得式（5.10）。

式（5.1）给出了从a-b-c坐标到α-β坐标的变换，可以将其变换矩阵用[c]表示，则[c]的逆变换矩阵[c]^-1可由式（5.11）表示^[9]。

利用这些变换矩阵，a-b-c坐标系中的阻抗和α-β坐标系中的阻抗可以按照式（5.12）进行变换。

例5.4

如图5.12所示的带有铁心的三相电抗器，求其阻抗和空间坐标中的阻抗。

解 该电抗器的阻抗矩阵用微分算子p（=d/dt）表示，绕组电阻为R₀，可得式（5.13）。

图5.12 带有互感的平衡三相电抗器

电阻部分进行α-β坐标变换时保持不变，而电感部分需按照式（5.14）进行坐标变换。

α-β坐标中的电感项没有零相部分，互感项也消失了。另一方面，需留意α-β轴部分各自变为原来值的3/2倍，对于电气设备，经常会遇到这种情况。(https://www.daowen.com)

[L_αβ]=[c][L_abc][c]-1

对电路进行α-β坐标变换后，互感项变为零，分析起来比较方便。由于α-β轴正交，所以正交的电抗器没有互感，从而达到坐标变换的目的。若在上述的三相电抗器上施加三相交流电压，则对其在α-β坐标系进行变换时可得如图5.13所示电路（参考例5.6），可将三相电源在进行空间矢量表示时表现为图示的一体化电源。图中二重圆符号是象征性地表示电压电流都是复数，当然，电压电流量也用复数e和i表示。另外，各种一体化电源已经在表1.2中给出。

图5.13 三相LR电路的空间矢量（α-β坐标系）表示

例5.5

在图5.14中，当e_a=150V，e_b=300V，e_c=0时，试求它的空间矢量e。另外，将该电压施加到由R=10Ω构成的三相平衡电路上时，求电流空间矢量i，并且计算此时的功率。进一步，对i进行逆变换求得i_a、i_b、i_c，试确认计算值与普通的电路计算所得的各电流值以及总功率值相比，是否有所不同。

图5.14 具有3个直流电源的电路计算举例

这个问题并不满足e_a+e_b+e_c=0的条件，请讨论一下，怎样考虑它比较好？

解 空间矢量不仅限于三相交流，通过这个例题来强调它可以适用于各种各样的情况。首先，求取空间矢量。

其次，电流空间矢量通过电压空间矢量除以电阻10Ω来求取。

i=（e_α+je_β）/10≈j21.2A，i_α=0，i_β≈21.2A

消耗功率为P。对上述电流空间矢量进行逆变换，通过式（5.17）可以求得a-b-c坐标系中的电流。

再次，根据普通的电路方程式计算电流，基于两个环路联立方程式计算可得

另外，计算的功率为P=10×15²+10×15²=4500W。

由式（5.16）的电压空间矢量求取各相电压为

在原来电源e_a=150V，e_b=300V，e_c=0中，将e_b分割成e_b=150+150，则根据需满足e_a+e_b+e_c=0的条件，e_a的150V和e_b的150V等价为e_c相，于是，两者的电压空间矢量在坐标空间上表示后如图5.15所示，两者完全等价。

图5.15 基于等效电压分量的空间矢量合成