5.2.4 空间矢量的旋转坐标系表示
在电气-机械能量转换装置的电气设备中，存在很多带有转子的旋转设备，对于它的分析，有必要阐明旋转设备和静止设备的关联。空间矢量作为有用且必不可少的手段一直在被使用。本书并不分析旋转电机，而是针对电力电子学的基本分析方法，对空间矢量方法的要点进行说明。
式（5.9）是三相电压在极坐标系上的一种表示，如式（5.20）所示，它是在空间上以ω的角速度进行旋转的空间矢量e。在这里，图5.16所示为以任意角速度ωR进行旋转的坐标系，在此坐标系上该空间矢量可由式（5.21）来表示，即变换到旋转坐标系的空间矢量可以通过乘以系数e-jωRt而求得。本书中将旋转坐标系称为d-q坐标，‘″’标记表示旋转坐标系的量。
如果ωR=ω，即考虑以与电源角速度相同的角速度进行旋转的坐标系，则在该坐标系中三相电源电压对应的电压空间矢量变为不含时间要素的直流矢量（时不变旋转坐标空间矢量），如式（5.22）所示。
图5.16 a-b-c坐标系、α-β坐标系以及d-q坐标系的关系
直角坐标中，α-β坐标系和d-q坐标系间的变换如式（5.23）和式（5.24）所示，其中θR=ωRt。
另一方面，a-b-c坐标系和d-q坐标系间的直接变换由式（5.25）和式（5.26）给出。
例5.6
在图5.17所示电路中，将相电压（有效值）为E、角速度为ω的三相对称电源瞬间投入到三相平衡LR电路中，但是，电抗器间的互感M=-0.5L，在相位为θ时投入，求a相的暂态电流ia。
图5.17 三相电源和LR电路
解 对具有复数环路的电路暂态现象进行求解计算比较复杂，所以利用空间矢量来进行计算。首先进行α-β坐标变换，利用前述的各个变换式进行电路变换，可得如图5.18所示的α-β坐标系中的等效电路和电路方程式（5.27）。图中，将三相电源等效表示为单一的一体化电源，其中的电压和电流同时用空间矢量表示。
另外，电压空间矢量e可由式（5.28）表示。
图5.18 基于α-β坐标系的三相一体化（空间矢量表示）电路
该等效电路中的电源是复数，对其实部和虚部而言各自微分方程式成立。由于三相电路的互感项用空间矢量表示时不存在，所以两个方程式可以独立求解。在t=0时刻开关投入，用普通解法的暂态电流可以通过式（5.29）和式（5.30）求取，或者用式（5.31）的极坐标表示。
根据式（5.5），再对电流进行a-b-c坐标变换，可求得ia如式（5.32）所示。(https://www.daowen.com)
其他解法 进一步将图5.18所示的等效电路进行以电源角速度旋转的d-q坐标变换，可得如图5.19所示等效电路。图中采用单一的直流一体化电源。其中，
，电源是直流电压源，该电路对应的微分方程由式（5.33）给出。
图5.19 d-q坐标系中的三相一体化电路
应该注意式（5.33）中i″的微分，i″是想象的旋转坐标系中的量，所以被认为是时不变直流量，但是，从实际的固定坐标看旋转坐标系上的量会随着时间变化，因此有必要先将该量返回到固定坐标来进行微分，然后再次对其进行旋转坐标变换，即
于是对应的微分方程变成如式（5.35）所示。
虽然上述微分方程是复数方程，但是与实数情况一样容易求解。首先，求出上述方程右边为零时特征方程的特征根。
因此，其一般解变为式（5.37）。
另一方面，对于特殊解，由于电源是直流的，所以令微分方程式（5.35）左边的微分项为零进行求解。
由此可以求出电流的解是一般解和特殊解的和，如式（5.39）所示。
从t=0的初始条件出发可求得A如下：
于是，所求解由式（5.41）给出。
该解是以电源角速度ω进行旋转的d-q坐标系上的解。由该解可知，右边第1项的稳态解不含时间函数t，第2项的暂态解含有时间函数exp[-（2R/3L）t-jωt]，这意味着稳态解是随着d-q坐标旋转的直流量，而暂态解则是被放置在α-β固定坐标系中随时间逐渐衰减的。
对式（5.41）乘以exp（jωt），向静止α-β坐标系变换，可得式（5.42），这与式（5.31）表示的电流空间矢量一致。
若根据式（5.5）对式（5.42）进行a-b-c坐标变换，则可得电流ia。